(2012?四川)如图,动点M到两定点A(﹣1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.
【分析】(Ⅰ)设出点M(x,y),分类讨论,根据∠MBA=2∠MAB,利用正切函数公式,建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①,利用①有两根且均在(1,+∞)内
可知,m>1,m≠2设Q,R的坐标,求出x R,x Q,利用,即可确定
的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3)
当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=,
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点(2,±3)在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知,轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立,消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在(1,+∞)内
设f(x)=x2﹣4mx+m2+3,∴,∴m>1,m≠2
设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),
∵|PQ|<|PR|,∴x R=2m+,x Q=2m﹣,
∴==
∵m>1,且m≠2
∴,且
∴,且
∴的取值范围是(1,7)∪(7,7+4)
(2015?新课标II)设向量,不平行,向量λ+与+2平行,则实数λ=.【分析】利用向量平行即共线的条件,得到向量λ+与+2之间的关系,利用向量相等解答.
【解答】解:因为向量,不平行,向量λ+与+2平行,所以λ+=μ(+2),
所以,解得;
故答案为:.
(2013?四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是.
【分析】由偶函数性质得:f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可变为f (|x+2|)<5,代入已知表达式可表示出不等式,先解出|x+2|的范围,再求x范围即可.
【解答】解:因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),
则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,
即|x+2|2﹣4|x+2|<5,(|x+2|+1)(|x+2|﹣5)<0,
所以|x+2|<5,
解得﹣7<x<3,
所以不等式f(x+2)<5的解集是(﹣7,3).
故答案为:(﹣7,3).
(2015?新课标II)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()
A.0 B.2 C.4 D.14
【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.
【解答】解:由a=14,b=18,a<b,
则b变为18﹣14=4,
由a>b,则a变为14﹣4=10,
由a>b,则a变为10﹣4=6,
由a>b,则a变为6﹣4=2,
由a<b,则b变为4﹣2=2,
由a=b=2,
则输出的a=2.
故选:B.
(2015?四川.15)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.
其中的真命题有(写出所有真命题的序号).
【分析】运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②;
通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断③;
通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断④.
【解答】解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;
对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(﹣,
+∞)递增,则n>0不恒成立,
则②错误;
对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f (x1)=g(x2)﹣f(x2),
考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,h′(x)=2x+a﹣2x ln2,
当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;
对于④,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,
h′(x)=2x+a+2x ln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.
故答案为:①④.
(2013?四川)已知函数,其中a是实数,设A(x1,f
(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.【分析】(I)利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出;
(II)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,因为切线互相垂直,可得
,即(2x1+2)(2x2+2)=﹣1.可得
,再利用基本不等式的性质即可得出;(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴
x1<0<x2.分别写出切线的方程,根据两条直线重合的充要条件即可得出,再利用导数即可得出..
【解答】解:(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在[﹣1,0)上单调递增;
当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增.
(II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f′(x)=2x+2,
∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2),
∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,
∴,
∴(2x1+2)(2x2+2)=﹣1.
∴2x1+2<0,2x2+2>0,
∴=1,当且仅当﹣(2x1+2)=2x2+2=1,即,时等号成立.
∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值为1.
(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵,故不成立,∴
x1<0<x2.
当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为