全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明学案
第2讲不等式的证明
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
考点2 综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．
考点3 分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
考点4 反证法
证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．
考点5 放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
考点6 柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式
定理1 若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．
2．柯西不等式的向量形式
定理2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，假设为“a ，b ，c 全不为0”．( ) (2)若
x ＋2y
x －y
>1，则x ＋2y >x －y .( ) (3)|a ＋b |＋|a －b |≥|2a |.( )
(4)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．[2018·温州模拟]若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2
C.
a
c 2
＋1>b
c 2＋1
D ．a |c |>b |c | 答案 C
解析 应用排除法．取a ＝1，b ＝－1，排除A ；取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D.显然
1c 2
＋1>0，对不等式a >b 的两边同时乘以1c 2＋1，立得a c 2＋1>b
c 2＋1
成立．故选C.
3．[课本改编]不等式：①x 2＋3>3x ；②a 2＋b 2
≥2(a －b －1)；③b a ＋a b
≥2，其中恒成立的是( )
A ．①③
B ．②③
C ．①②③
D ．①② 答案 D
解析 由①得x 2＋3－3x ＝? ????x －322＋34
>0，所以x 2＋3>3x ；对于②，因为a 2＋b 2
－2(a －b
－1)＝(a －1)2
＋(b ＋1)2
≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab <0时，b a ＋a b －2＝(a －b )
2
ab
<0，
即b a ＋a b
<2.故选D.
4．[2018·南通模拟]若|a －c |<|b |，则下列不等式中正确的是( ) A ．a c －b
C ．|a |>|b |－|c |
D ．|a |<|b |＋|c | 答案 D
解析 |a |－|c |≤|a －c |<|b |，即|a |<|b |＋|c |，故选D.
5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c
的最小值为________．
答案 9
解析 解法一：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1
c
，得
a ＋
b ＋
c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c
c
＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ??
??c b ＋b c
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，等号成立．
解法二：由柯西不等式得：
(a ＋b ＋c )? ????1a ＋1b ＋1c ≥?
??
??a ·1
a ＋
b ·1b
＋c ·1c 2，
即1a ＋1b ＋1
c
≥9.
6．[2017·全国卷Ⅱ]已知a >0，b >0，a 3＋b 3
＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)≥4； (2)a ＋b ≤2.
证明 (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
) ＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4.
(2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b )
≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )3
4，
所以(a ＋b )3
≤8，因此a ＋b ≤2.
板块二 典例探究·考向突破 考向
比较法证明不等式
例 1 [2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝??????x －12＋????
??x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
解 (1)f (x )＝?????
－2x ，x ≤－1
2
，
1，－12 2， 2x ，x ≥12 . 当x ≤－1 2 时，由f (x )<2，得－2x <2， 解得x >－1，即－1 2 ； 当－12 ； 当x ≥12时，由f (x )<2，得2x <2，解得x <1，即1 2≤x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1 (2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1 －(1＋ab )2 ＝a 2 ＋ b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |. 触类旁通 比较法证明的一般步骤 一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法． 【变式训练1】 [2018·福建模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )． 解 (1)当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1； 当－1 2时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解； 当x ≥－1 2时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1， 综上，M ＝{x |x <－1或x >1}． (2)证明：证法一：因为f (ab )＝|ab ＋1|＝|(ab ＋b )＋(1－b )|≥|ab ＋b |－|1－b |＝|b ||a ＋1|－|1－b |. 因为a ，b ∈M ，所以|b |>1，|a ＋1|>0， 所以f (ab )>|a ＋1|－|1－b |， 即f (ab )>f (a )－f (－b )． 证法二：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1| ≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2 >|a ＋b |2 ， 即证a 2b 2 ＋2ab ＋1>a 2 ＋2ab ＋b 2 ， 即证a 2b 2 －a 2 －b 2 ＋1>0，即证(a 2 －1)(b 2 －1)>0. 因为a ，b ∈M ，所以a 2 >1，b 2 >1，所以(a 2 －1)(b 2 －1)>0成立，所以原不等式成立． 考向 用综合法与分析法证明不等式 例 2 (1)[2018·浙江金华模拟]已知x ，y ∈R . ①若x ，y 满足|x －3y |<12，|x ＋2y |<16，求证：|x |<3 10； ②求证：x 4 ＋16y 4 ≥2x 3 y ＋8xy 3 . 证明 ①利用绝对值不等式的性质得： |x |＝15[|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|]≤15[|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|]<15? ????2×1 2＋3×16＝310. ②因为x 4 ＋16y 4 －(2x 3 y ＋8xy 3 ) ＝x 4 －2x 3 y ＋16y 4 －8xy 3 ＝x 3 (x －2y )＋8y 3 (2y －x ) ＝(x －2y )(x 3 －8y 3 ) ＝(x －2y )(x －2y )(x 2 ＋2xy ＋4y 2 ) ＝(x －2y )2 [(x ＋y )2 ＋3y 2]≥0， ∴x 4 ＋16y 4 ≥2x 3 y ＋8xy 3 . (2)[2018·徐州模拟]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b .(提示：可考虑用分析法找思路) 证明 ∵b a >0，a b >0， ∴要证b a >a b 只要证a ln b >b ln a 只要证ln b b >ln a a .(∵a >b >e) 取函数f (x )＝ln x x ，∵f ′(x )＝1－ln x x 2 令f ′(x )＝0，x ＝e ∴当x >e 时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减． ∴当a >b >e 时，有f (b )>f (a )， 即 ln b b >ln a a ，得证． 触类旁通 综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提． 【变式训练2】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： ①ab ＋bc ＋ca ≤13 ； ②a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证明 ①由a 2 ＋b 2 ≥2ab ，b 2 ＋c 2 ≥2bc ，c 2 ＋a 2 ≥2ca 得a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2 ＝1， 即a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤1 3 . ②证法一：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ＋(a ＋ b ＋ c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥a ＋ b ＋ c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证法二：由柯西不等式得： (a ＋b ＋c )? ?? ??c 2a ＋a 2b ＋b 2 c ≥(c ＋a ＋b )2 ， ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴c 2a ＋a 2b ＋b 2 c ≥1. (2)[2015·全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： ①若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； ②a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明 ①因为(a ＋b )2 ＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2 ＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋ d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2 >(c ＋d )2 .所以a ＋b >c ＋d . ②(ⅰ)若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2 <(c －d )2 ，即(a ＋b )2 －4ab <(c ＋d )2 －4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由①得a ＋b >c ＋d . (ⅱ)若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2 >(c ＋d )2 ， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 于是(a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab <(c ＋d )2 －4cd ＝(c －d )2 ， 因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 考向 反证法证明不等式 例 3 [2015·湖南高考]设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1 b .证明： (1)a ＋b ≥2； (2)a 2 ＋a <2与b 2 ＋b <2不可能同时成立． 证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． (2)假设a 2 ＋a <2与b 2 ＋b <2同时成立，则由a 2 ＋a <2及a >0，得0 ＋a <2与b 2 ＋b <2不可能同时成立． 触类旁通 对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论． 【变式训练3】 [2018·达州校级期末]已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14 . 证明 假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >1 4. 三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >1 64(*) 又(1－a )a ≤? ??? ?1－a ＋a 22＝14 ， 同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤1 4. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤1 64， 与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 考向 柯西不等式的应用 例 4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数a i ，b i (i ＝1,2，…，n )，有(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2 ≤(a 2 1＋a 2 2＋…＋a 2 n )(b 2 1 ＋b 22＋…＋b 2 n )，当且仅当a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (1)证明：当n ＝2时的柯西不等式； (2)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2 ＋b 2 ＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2 ＋n 2 的最小值． 解 (1)证明：当n ＝2时，柯西不等式的二维形式为：(a 2 1＋a 2 2)(b 2 1＋b 2 2)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2 ，(a 2 1＋a 2 2)(b 2 1＋b 2 2)－(a 1b 1＋a 2b 2)2 ＝a 21b 2 2＋a 22b 2 1－2a 1a 2b 1b 2＝(a 1b 2－a 2b 1)2 ≥0，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时取得等号． (2)由柯西不等式得(a 2 ＋b 2 )(m 2 ＋n 2 )≥(ma ＋nb )2 ，所以5(m 2 ＋n 2 )≥52 即m 2 ＋n 2 ≥5，所以 m 2＋n 2的最小值为 5. 触类旁通 利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用． 【变式训练4】 [2018·皇姑区校级期末]设xy >0，则? ????x 2＋4y 2? ?? ??y 2＋1x 2的最小值为( ) A ．－9 B ．9 C ．10 D ．0 答案 B 解析 ? ????x 2＋4y 2? ????y 2＋1x 2≥? ?? ??x ·1x ＋2y ·y 2 ＝9.当且仅当xy ＝2xy 即xy ＝2时取等号．故选 B. 核心规律 1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程． 3.不等式证明中的裂项形式： (1) 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k . (2)1k 2<1k 2－1＝12? ?? ??1k －1－1k ＋1. (3)1k －1k ＋1＝1(k ＋1)k <1k 2<1(k －1)k ＝1k －1－1k . (4) 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12???? ??1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2). 满分策略 1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构． 2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以 “至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法． 3.高考命题专家说：“放缩是一种能力．”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！ 板块三 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标] 1．已知a ，b ，c ，d 均为正数，S ＝a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c ，则一定有( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 a a ＋ b ＋ c ＋ d ＋ b a ＋b ＋ c ＋ d ＋ c a ＋ b ＋ c ＋ d ＋ d a ＋ b ＋ c ＋d ＝1， S < a a ＋ b ＋b a ＋ b ＋ c c ＋ d ＋ d c ＋d ＝2， ∴1 2．[2018·驻马店期末]若x 1，x 2，x 3∈(0，＋∞)，则3个数x 1x 2，x 2x 3，x 3x 1 的值( ) A ．至多有一个不大于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都大于1 D ．都小于1 答案 B 解析 解法一：设x 1≤x 2≤x 3，则x 1x 2≤1，x 2x 3≤1，x 3x 1 ≥1.故选B. 解法二：设x 1x 2>1，x 2x 3>1，x 3x 1 >1， ∴x 1x 2·x 2x 3·x 3x 1>1与x 1x 2·x 2x 3·x 3x 1 ＝1矛盾， ∴至少有一个不大于1. 3．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ，则M 、N 的大小关系为________． 答案 M 解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝ x ＋y 2＋x ＋y ＝M . 4．已知a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ＝4，则3a ＋2b 的取值范围是________． 答案 [－213，213] 解析 根据柯西不等式 (ac ＋bd )2 ≤(a 2 ＋b 2 )·(c 2 ＋d 2 )，可得(3a ＋2b )2 ≤(a 2 ＋b 2 )·(32 ＋22 ) ∴－213≤3a ＋2b ≤213. 3a ＋2b ∈[－213，213]． [B 级 能力达标] 5．求证：11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)<12(n ∈N * )． 证明 ∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1 ∴左边＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1<12 . 6．[2018·泸州模拟]设函数f (x )＝? ??? ??x －4a ＋|x ＋a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥4； (2)若f (2)<5，求a 的取值范围． 解 (1)证明：??????x －4a ＋|x ＋a |≥? ??? ??x ＋a ＋4a －x ＝a ＋4a ≥4；当且仅当a ＝2时取等号． (2)f (2)＝? ??? ??2－4a ＋|a ＋2|. ①当a ＝2时，? ??? ??2－4a ＋|2＋a |<5显然满足； ②当 0 <5，即a 2 －5a ＋4<0?1 ③当a >2时，不等式变成a 2 －a －4<0，∴1－172 综上，a 的取值范围为1 1＋17 2 . 7．[2018·龙门县校级模拟]已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)若不等式f ? ?? ??x ＋12≤2m ＋1(m >0)的解集为[－2,2]，求实数m 的值； (2)对任意x ∈R ，y >0，求证：f (x )≤2y ＋4 2y ＋|2x ＋3|. 解 (1)不等式f ? ?? ??x ＋12≤2m ＋1?|2x |≤2m ＋1(m >0)， ∴－m －12≤x ≤m ＋1 2 ， 由解集为[－2,2]，可得m ＋12＝2，解得m ＝3 2. (2)证明：原不等式即为|2x －1|－|2x ＋3|≤2y ＋4 2y . 令g (x )＝|2x －1|－|2x ＋3|≤|(2x －1)－(2x ＋3)|＝4， 当2x ＋3≤0，即x ≤－3 2时，g (x )取得最大值4， 又2y ＋4 2y ≥2 2y ·42y ＝4，当且仅当2y ＝4 2y ，即y ＝1时，取得最小值4. 则|2x －1|－|2x ＋3|≤2y ＋42y . 故原不等式成立． 8．[2018·黄山期末](1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：x ，y ∈R ，有x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2 a ＋b ； (2)若0 证明 (1)证法一：? ????x 2a ＋y 2b (a ＋b )＝x 2＋bx 2a ＋ay 2 b ＋y 2≥x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y )2 ， 当且仅当bx 2a ＝ay 2 b ，即|bx |＝|ay |时取等号， 由于a ，b ∈(0，＋∞)，所以有x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2 a ＋b . 证法二：由柯西不等式得 (a ＋b )? ????x 2a ＋y 2b ≥? ?? ??a ·x a ＋b ·y b 2， 即(a ＋b )? ?? ??x 2a ＋y 2 b ≥(x ＋y )2 ， x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2a ＋b . (2)假设结论不成立，即(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 同时大于1. ? ??? ? (2－a )b >1(2－b )c >1(2－c )a >1?(2－a )b ·(2－b )c ·(2－c )a >1， 而(2－a )b ·(2－b )c · (2－c )a ＝(2－a )a ·(2－b )b ·(2－c )c ≤? ????2－a ＋a 22? ?? ? ? 2－b ＋b 22 ? ?? ??2－c ＋c 22＝1， 这与(2－a )b ·(2－b )c ·(2－c )a >1矛盾． 所以假设错误，即(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1. 9．[2018·天津期末]已知x >y >0，m >0. (1)试比较y x 与 y ＋m x ＋m 的大小； (2)用分析法证明：xy (2－xy )≤1. 解 (1)因为y x － y ＋m x ＋m ＝m (y －x ) x (x ＋m ) ，x >y >0，m >0. 所以m (y －x )<0，x (x ＋m )>0， 所以 m (y －x )x (x ＋m )<0，即y x －y ＋m x ＋m <0， 所以y x < y ＋m x ＋m . (2)证明：(用分析法证明)要证xy (2－xy )≤1， 只需证2xy －(xy )2 ≤1， 只需证(xy )2 －2xy ＋1≥0， 即证(xy －1)2≥0， 因为x ，y >0，且(xy －1)2 ≥0成立， 所以xy (2－xy )≤1. 10．[2018·江阴市期末]已知实数a >0，b >0. (1)若a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2； (2)若a －b ＝2，求证：a 3 ＋b >8. 证明 (1)假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋a b ≥2，因为a >0，b >0，所以1＋ b ≥2a,1＋a ≥2b ，1＋1＋a ＋b ≥2(a ＋b )， 即2≥a ＋b ，这与已知a ＋b >2相矛盾，故假设不成立． 综上，1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2. (2)∵a －b ＝2，∴b ＝a －2， ∵b >0，∴a >2， ∴a 3 ＋b －8＝a 3 －8＋a －2＝(a －2)(a 2 ＋2a ＋5)， ∴(a －2)[(a ＋1)2 ＋4]>0， ∴a 3 ＋b >8. 高中数学第二讲证明不等式的基本方法复习课练习（含解析）新 人教A 版选修45 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．比较法的一个易错点． 忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论． 2．分析法和综合法的易错点． 对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误． 3．反证法与放缩法的注意点． (1)反证法中对结论否定不全． (2)应用放缩法时放缩不恰当． 专题一 比较法证明不等式 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差．基本步骤是作差(商)—变形—判断—结论，关键是变形，变形的目的是判号(与1的大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等． [例?] 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． 证明：因为b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝ ? ????b a x 2＋a b y 2－2xy ＋? ?? ??c b y 2＋b c z 2－2yz ＋ ? ????a c z 2＋c a x 2－2zx ＝? ????b a x －a b y 2＋ ? ????c b y －b c z 2＋? ?? ??a c z －c a x 2≥0， 所以b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 归纳升华 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． [变式训练] 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2 ＋1≥ab ＋a ＋b . 证明：法一 因为a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12 [(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， 所以a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b . 法二 a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1， 对于a 的二次三项式， Δ＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0， 所以a 2－(b ＋1)a ＋b 2 －b ＋1≥0， 故a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b . 专题二 综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立． 证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误． [例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 归纳升华 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 2016-2017学年高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法、 综合法与分析法课后练习 新人教A 版选修4-5 一、选择题 1．设0 答案：A 3．已知a >2，x ∈R ，P ＝a ＋1a －2，Q ＝? ????12x 2－2，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P >Q C ．P 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 第2讲 不等式的证明 1．基本不等式 定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则 a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则 a ＋ b ＋c 3 ≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向． 对于任意的x 、y ∈R ，求证|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x －1|＋|x |≥1， |y －1|＋|y ＋1|≥2， 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. 若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：1a 2＋1 b 2≥8. 证明：因为a ＋b ＝1， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝1. 因为a >0，b >0， 所以1 a 2＋1 b 2＝ （a ＋b ）2 a 2 ＋ （a ＋b ）2 b 2 ＝1＋2b a ＋ b 2a 2＋1＋2a b ＋a 2b 2＝2＋? ????2b a ＋2a b ＋? ?? ?? b 2a 2＋a 2 b 2≥2＋ 证明不等式的基本方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法； 教学难点： 理解放缩法的解题及应用。 1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。 4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立； 2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； 4） 肯定原来命题的结论是正确的。 5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强，必须恰到好处， 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。 类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式 例1. 求证：x 2 + 3 > 3x 解析：∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23 (32222>+ -=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 答案：见解析 练习1. 已知a ， b ， m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++ 第二讲证明不等式的基本方法复习课学案 （含答案） 第二讲第二讲证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法复习课复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法. 2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法. 3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范1比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是不等式的意义及实数大小比较的充要条件证明的步骤大致是作差恒等变形判断结果的符号2综合法综合法证明不等式的依据是已知的不等式以及逻辑推理的基本理论证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式已知或已证成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握3分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质.已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件执果索因，最后得到的充分条件是已知或已证的不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加 以证明，所以分析法和综合法可结合使用4反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”“存在性”的命题；结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题5放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有舍掉或加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求证bcax2caby2abcz22xyyzzx证明 bcax2caby2abcz22xyyzzxbax2aby22xycby2bcz22yzacz2cax22zxba xaby2cbybcz2aczcax20，bcax2caby2abcz22xyyzzx成立反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法跟踪训练1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证a2mb2nab 2.证明 a2mb2nab2na2mb2mnnma22abb2mnna21mmb21n2mnabmnn2a2m2b22mna bmnnamb2mn0，a2mb2nab 2.类型二 综合法与分析法证明不等式例2已知a，b，cR，且 abbcca1，求证1abc3；2abcbaccab3abc证明1要证abc3，由于a，b，cR，因此只需证abc23，即证a2b2c22abbcca3，根据条 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间； （2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ． 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3 第二讲：不等式 ———————————————————————————————————————————— 第一部分 概述 不等式部分包括：解不等式；不等式的证明 在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明； 交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广： 需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式 均值不等式及其推广 第二部分 知识补充： 1、 柯西不等式的证明 1212,,2 ((112111n n a b R a b a b n a a a n n a a a +?∈+≥≥≥++++≥≥≥ ++L L 有平方平均）算术平均）调和平均） 推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====L L L L n 柯西不等式设是实数则 当且仅当或存在一个数 使得时等号成立222222 212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥n n b a b a b a B Λ++=2211， b b b C n 2 2221+++=Λ222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥② 证明： 柯西不等式的推论一 柯西不等式的推论二 柯西不等式的应用 2AC B 不等式就是②≥()222 2121122222 121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++L L L L 若全部为零，则原不等式显然成立。若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f Λ又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ++-++?+++L L L ≤ 证明： 22 2222 12212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++?+?++?L L L ≥ 例1已知12,,,n a a a L 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++L L ≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++L L ≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++L L ≤2 111,n n i i i i i a R a n a +==????∈≥ ? ?????∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 2 22222222 ()() ()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a ∴ ===不 高中数学 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 第2讲几何证明选讲、不等式选讲 高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质； (2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求；(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求. 真题感悟 1.(2017·江苏卷)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足. 求证：(1)∠P AC＝∠CAB； (2)AC2＝AP·AB. 证明(1)因为PC是圆O的切线，所以∠PCA＝∠CBA， 又AP⊥PC，所以∠P AC＋∠PCA＝90°， 因为AB为半圆O的直径， 所以∠CAB＋∠CBA＝90°， 所以∠P AC＝∠CAB. (2)由(1)可得△P AC∽△CAB，所以AP AC＝AC AB， 所以AC2＝AP·AB. 2.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD. 证明由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°， 由E为BC中点，可得DE＝CE＝1 2BC， 则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝∠C， 又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD . 3.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8. 4.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3， 又|y －2|＜a 3， ∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a 3＝a . 则|2x ＋y －4|＜a 成立. 考 点 整 合 1.相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 2.(1)圆内接四边形的性质定理： ①圆的内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 3.(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.高中数学第二讲证明不等式的基本方法复习课练习(含解析)新人教A版选修45
高考数学全国卷选做题之不等式
备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理
不等式典型例题之基本不等式的证明
高中数学基本不等式证明
高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法、综合法与分析法课后练习 新人教A版选修4-5
2，∴a －2>0， P ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4. 又Q ＝? ????12x 2－2≤? ?? ??12－2＝4.∴P ≥Q . 答案： A 4．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b >2，ab >1”是“a >1，b >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： ∵a >1，b >1?a ＋b >2，ab >1 a ＋ b >2，ab >1?/ a >1，b >1 举例说明a ＝3，b ＝12 . 答案： B 二、填空题 5．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析： ∵a >b >0， ∴x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b ) ＝b a ＋b ＋a －b a ＋a －b ＝ b a －b －a ＋b a ＋b ＋a a ＋a －b <0. 答案： < 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a ＋b c 的取值范围是________． 解析： 由题意知c 2＝a 2＋b 2≥2ab ， 即ab c 2≤12 .
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