垂直于弦的直径说课稿

垂直于弦的直径

尊敬的各位评委老师，上午好！今天我说课的内容是《垂直于弦的直径》。下面我将从以下几个方面进行说课：

一、教材分析

《垂直于弦的直径》是人教版九年级上册第二十四章第一节第二课时的内容，是在学生学习和掌握了圆的性质的基础上进行研究的，是本章的重点又是本章的难点。

二、教学目标

知识技能：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及推论并运用其解决有关的证明计算问题。

过程与方法：经历“动手操作、观察、猜想”的探索过程，体会合作学习的乐趣。情感态度：

1、通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，感受数学在生活中的运用，激发学习热情.

2.在探究活动中学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果.

三、教学重难点

重点：圆的对称性，垂径定理及推论的应用.

难点：垂径定理及推论的应用.

四、教法学法

在教学中，充分利用自制教具进行教学。强调学生的动手操作和主动参与，让他们在大胆猜想、动手操作、观察发现、自主探究、合作交流、归纳总结等大量数学活动中积累有关图形的特征。

五、教学过程

1、情景引入（学生课前上网搜索赵州桥的有关资料）

问题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

设计意图：通过对赵州桥历史的了解，渗透爱国教育，让学生感受1300多年前数学在生活中的运用，激发学生学习热情，思考如何解决实际问题，带着问题探

究学习。

2、学习目标

（1）理解圆的轴对称性

（2）掌握垂径定理及其推论并运用其解决有关的证明、计算问题

设计意图：让学生了解本节课的主要学习任务是什么

3、问题探究

（1）折一折、叠一叠

用纸剪一个圆（课前布置学生准备好），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴

设计意图：通过动手折叠，培养学生的动手操作能力，使学生在解决问题的过程中不断探究、学习新知识.

（2）如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．

①这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

②你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？

学生动手操作，小组合作交流，归纳总结出垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

设计意图：让学生体验用“叠合”法推证问题的过程，使学生明白轴对称图形的性质在证明题时的应用，形成解决问题的一些基本策略。

然后让同学们讨论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。这种说法对吗？

当学生讨论时要适当的引导学生对弦是否是直径进行分析，小组合作交流，归纳总结出垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．了解了垂径定理及其推论后，这里要强调几何语言的规范书写形式以及几何语言在解题过程中的重要性。

4、辨别是非题：

①平分弧的直径必平分弧所对的弦

②平分弦的直线必垂直弦

③垂直于弦的直径平分这条弦

④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤弦的垂直平分线是圆的直径

⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧

设计意图：让学生更进一步理解平分弦的直径垂直于弦，这条弦不可以是直径5、算一算

现在你能解决赵州桥主桥拱半径的问题吗？（让学生尝试自己解决）

设计目的：前后呼应运用新知识解决问题，体现了数学知识在生活中的实际应用6、课堂检测

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴有（）条

A、一条 B 、两条 C、三条 D、无数条

（2）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．

（3）已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点。求证：AC＝BD。

设计意图：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

7、感悟收获：

我学会用“叠合法”证明垂径定理了吗？我掌握垂径定理及其定理推论了吗？我还有什么是不清楚的？

围绕三个问题以生与生交流，师与生交流，来完成本节课的总结。

8、布置作业：

必做题：1、教材90页习题24.1第8、9题；选做题：2、基础训练拓展延伸设计意图：分层次布置作业，使不同能力学生得到发展,尊重了学生的个体差异。

六、板书设计

§24.1.2 垂直于弦的直径

一、圆的轴对称性三、定理推论

二、垂径定理四、例题解析

七、设计说明:

本节课根据学生的认知规律和新课改的要求，本着激发兴趣、积极投入、由易到难、突破难点、突出重点、充分发挥学生主体地位，使学生在自主探索、积

极思考、合作交流的过程中掌握知识和提高技能这一主体思路下设计的。

在教学过程中，我始终：

坚持一个原则——教为主导，学为主体

坚守一个理念——先学后教，以学定教

贯穿一个思想——享受数学，快乐学习

24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 岫岩满族自治县 雅河中学关良壬

24.1.2垂直于弦的直径教学设计 岫岩雅河中学关良壬 教材分析 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 学情分析 本节课实际是圆的计算在八年级下册第十八章勾股定理的基础上加上新知识圆的内容所以上课前先要了解学生对勾股定理的掌握情况。 教学目标 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——作弦心距。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。 3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质； ②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获 得成功的体验。 教学重点垂径定理及其应用。 教学难点垂径定理的语言表述。 教学方法探究发现法。 教具准备圆形纸片、电脑、三角板、圆规。 教学设计 一、教学活动设计：

垂直于弦的直径

垂直于弦的直径 ------垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400

多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． ⌒ ⌒

24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

公开课教案

讲解新课: 1 、证明猜想 ⑴提问: 什么是猜想的题设？ 什么是猜想的结论？ ⑵要求学生根据“猜想”的题设和结论说出已知和求证. ⑶用大屏幕打出证明过程. 结合证明过程提问: (1)证明利用了圆的什么性质? (2)证明CE＝DE还有其它方法吗? 教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把 它叫做“垂径定理”. 2、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 ﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥ 两条弧.（优弧、劣弧） 为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. 练习1 ⑴若AB为⊙Ｏ的直径, CD⊥AB于E , ⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧. 3、例题讲解 例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离 为3㎝. 求:⊙Ｏ的半径.（学生回答,教师板书过程） 学生积极思考作答。 积极观察、思考，得 出新的证明方法。 引导学生剖析定理的 条件，结论，有利于 学生的深刻理解和全 面把握。 巩固定理的条件和结 论。

教 学 过 程 学 生 活 动 解:连结OA,作OE ⊥AB,垂足为 E. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝ ,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝ , 在Rt △AOE 中, ()cm AE OE OA 5432222=+=+= ∴⊙Ｏ的半径为5㎝. 教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2 ⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ； ⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ； ⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 . 例2①已知:在以O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的 直径AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 例2②已知:在以O 为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 课堂小结 ⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. ⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业: ① 证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明） 书中P88 3 P89 4 ② 目标P90. 学生口述证明过程，教师板书。 引导学生总结出圆的一条重要辅助线。 巩固定理内容。 通过例题的变式，分层教学，使学生达到不同的目标。

《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《垂径定理》教学设计 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2 课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称 轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2 ．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】 1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 【教学重点】 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】 和圆有关的相关概念的辨析理解。 （提前一天布置） 1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸） 2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问

1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 第二环节讲授新课 活动内容： （一）探索垂径定理。 做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分 重合。 2．得到一条折痕CD。 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足。 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图 问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。 在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB 提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。 证明过程见PPT。 几何语言

全国优质课——基本不等式教学设计

《3.4基本不等式》教学设计

1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性. 四、教学重点与难点： 1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用 2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值. 五、教学策略分析： 1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣； 2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念； 3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略； 4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心； 5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点； 6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。

初中数学九年级《圆 复习》公开课教学设计

第24章 圆 复习（１） 教学目标： 1、系统熟悉圆的有关概念。 2、巩固有关圆内一些角的性质和定理。 3、进一步掌握应用圆的有关知识解决某些数学问题。 教学重点：综合利用所学知识解决圆内有关角的计算类问题。 教学难点：灵活运用所学知识解决数学问题。 教 具：圆规，三角板 板书设计：圆 复习（１） 复习：圆的相关性质 例１ 练习 例２ 巩固 教学设计： 复习引入：我们学习了圆，你都了解了圆的哪些知识？ （对称性，弦，弧，圆周角，圆心角，弦心距，垂径定理。。。。。） 幻灯片展示圆的性质：(自我展示) 1. 圆的对称性: 2. (1)圆是轴对称图形； (2)圆是中心对称图形。 ２. 垂径定理: , ①CD 是圆O 的直径, ②CD ⊥AB ③AP=BP,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 同学们想一想，条件２和条件３组合，能得到１吗？ 条件１和条件３组合，能得到２吗？ 谈谈你的看法？（学生举例说明） 条件２和条件３组合，能得到１。而条件１和条件３组合，不能得到２。 结论：平分（不是直径）的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ３.圆周角: 定义： 性质１：在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

性质２：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等. 性质３：半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角). 性质４：900的圆周角所对的弦是圆的直径. 性质５：圆的内接四边形对角互补。 例题讲解： 例１：如图，在⊙O 中，弦AB=1.8cm,圆周角∠ACB=30°, 例２，如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ） 【分析】由三角形外角定理求得∠C 的度数，再由圆周角定理可求∠B 的度数． 【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD ﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°， 故选C ． 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键 合作探究： 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ） 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ， 根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD ， 在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2， 则OD==4， tan ∠CDO==， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ， 则tan ∠OBC=，

垂直于弦的直径(一)

垂直于弦的直径（一） 一、教学目标： （1）知识目标 ①使学生理解圆的轴对称性。 ②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。 ③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。 （2）、能力目标 ①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力 ②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。 （3）、情感目标 ①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。 ②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。 2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。 3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。 4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。 5、教具：课件 教学过程 一、创设情境 问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题） 问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？ 二、分析猜想

1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。 A B C D O A B C D O A B C D O 2、问题：在直径CD 的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中 =，=。 3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。 4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。 （教师利用投影，增加效果） 5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE） 三、论证评价 1、证明 这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。 分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE 重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。 证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)： （1）连接OA、OB。 （2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。 （3）用亮光显示点A、B。 （4）用亮条显示AE、BE。

24.1.3 弧、弦、圆心角-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

24.1圆的有关性质(第3课时) 一、内容和内容解析 1．内容 弧、弦、圆心角之间的关系． 2．内容解析 弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用． 二、目标及其解析 1．目标 (1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用． (2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明． 达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化． 三、教学问题诊断分析 由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路． 本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用． 1

垂直于弦的直径教案

24．1．2 《垂直于圆的直径》教学设计 凤庆县雪山中学阿应金 授课题目：《直于圆的直径》课型：新授课 授课对象：九年级（154、155）授课学时：1课时（45分钟）参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社） 一、教学分析 1.教学内容分析 节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。 2.教学对象分析 一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。 初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。 信息素养：大部分学生的信息素养一般。 3．教学环境分析 虽然学生的基础差，但对于图片比较感兴趣，所以选择多媒体教室环境，可以激发学生的学习兴趣。 1．每个学生准备若干张圆形纸片； 2．教师自制的多媒体课件；

二、教学目标 1、知识与技能： ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2、过程与方法： ①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3、情感与态度：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。 三、教学重点、难点 教学重点：垂径定理及其应用。 教学难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用。 教学方法：本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 四、教学关键 圆的轴对称性的理解。 五、教学过程：

垂直于弦的直径知识点总结

24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（ ）． A ．仅有1条 B ．仅有2条 C ．有无数条 D ．仅有有限条 3．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为 E ． （1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？ （3）①在图中，连接OA ，OB ，则△OAB 是等腰三角形，那么 直径CD 既是⊙O?的________，又是△OAB 的________． ②把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合， 点A 与点B 重合，AE 与____?重合， ?AC 与______重合，?AD 与_____重合． ③同理可得到AE_____BE ，? AC =_______，?AD =________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．??BC BD (第4题) (第5题) (第8题) 5．如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）． A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．1cm 6．在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，且CD 平分AB 于E ，OE=3cm ，AB=8cm ，则⊙O?的半径为________． 7．在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于E ，∠COD=100°，则∠COE=_______． E O C B A

《垂直于弦的直径》练习题

24.1.2 垂直于弦的直径 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 思路解析：根据垂径定理可得. 答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算. 答案：43 cm 3.判断正误. (1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误. 答案：两个命题都错误. 4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形. 答案:6 10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 思路解析：根据圆的轴对称性回答. 答案：直径所在的直线 2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

图24-1-2-2 图24-1-2-3 思路解析：由垂径定理回答. 答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM 3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm. 思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：13 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长. 图24-1-2-4 思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=2 1 AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ， ∴AM=21 AB. ∵OA=21 ×10=5，OM=4， ∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 快乐时光 医学院的口试 教授问一学生某种药每次口服量是多少? 学生回答:“5克.” 一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?” 教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!” 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( ) A.3 2 B.3 3 C. 2 2 3

《垂直于弦的直径》的教学设计

《垂直于弦的直径》的教学设计 【教材分析】 《垂直于弦的直径》是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十四章第24.1.2节内容。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据． 【学情分析】 1、学生已学过轴对称图形的概念及其性质；数的范围已经扩充到实数，能灵活运用勾股定理解决实际问题． 2、学生在第24.1.1节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念． 3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学数学问题的能力． 【教学目标】 1、知识与技能目标： ①理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． ②掌握垂径定理及其推论． ③学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题． 2、过程与方法目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法． 3、情感与态度目标： 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识． 【教学重点】 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明． 【教学难点】 垂径定理及其推论的运用． 【教学用具】 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件． 【教学过程】 圆形纸张、圆规、直尺、投影仪． 【教学过程】 一、创设问题情境： 教师提问：世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识．学生：回答问题之后，一边观看图片，一边聆听老师的讲述，引发思考． （通过赵州桥知识的简单介绍，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，激发学生的好奇心和获得新知的欲望．） 教师指出：欲解决此问题，必须具备圆中“垂直于弦的直径”的一些重要性质． 二、探究学习新知： 活动一：教师播放幻灯片，显示实践探究内容及要求． 将圆形纸张沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

垂径定理优质课教学设计

垂径定理教学设计 【教学目标】 知识与技能： 1、知识目标：通过实验观察，让学生探索垂径定理的证明过程； 掌握垂径定理，能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、 归纳问题和解决问题的能力，培养发散思维。 过程与方法： 1、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、 深化新知，共同感受收获的喜悦。 2、在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的解题方法和常见辅助线作法，渗透类比、转化、数形结合、方程、 建模等数学思想和方法 情感态度与价值观： （1）体会数学知识与现实生活的密切联系； （2）通过图片欣赏感受数学文化，激发学习热情； （3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度，培养学生勇于探索的精神。【教学难点】 垂径定理的证明和应用。 【教学重点】 运用垂径定理解决有关证明与计算问题 【教学媒体】 自制教具，圆规，三角尺，PPT课件 【教学方法】 问题教学法、实验教学法、探究教学法、引导发现法

设计意图：通过该观察和猜想让学生感知当直径与弦垂直时有特殊的性质。 2、操作验证 你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来个猜想是否合理吗？动手试一试。培养学生养成严谨的思维习惯。 弦对的两图2 图3 图1

②、归纳垂径定理的几个基本图形 设计意图：让学生熟记定理应用的条件，检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 垂足为M，AB=12，半径OB=10

师生共同总结常用方法：垂径定理常和勾股定理结合使用，半径、半弦、弦心距三个量中任知两个量，可求第三个量。 设计意图：让学生即学即练，初步运用定理解决简单计算问题，并总结解题方法。 方法归纳：当半径、半弦、弦心距三个量中不直接具备 进一步培养学生运用垂径定理解决有关计算问题的能力，初步感受“连半径”这一辅助线作法和方程思想。

垂直于弦的直径教学设计教学设计

§24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计 【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径（新人教版九年级数学教材P81~P83） 【教学目标】 1.理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论。 2.能运用垂径定理解决一些实际问题。 【教学重点】垂径定理及推论。 【教学难点】垂径定理的应用。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】圆形纸片、多媒体、三角板、圆规。 【教学设计】 一、教学活动设计： 二、教学过程设计： （一）实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州 桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称 赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，

距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的智慧结晶。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米， 拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） （二）尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (b) B B ⌒

（图2） （图3） 2．实验操作： （1）让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 （2）作直径CD ，再作⊙O 的一条弦AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ；将⊙O 沿着直径折叠。 通过操作，你能发现相等的线段有 ，相等的弧有 . 3．提出猜想：根据以上的探究，我们可以大胆提出这样的猜想—— ∵CD 是⊙O 的直径，CD AB ∴EA ＝EB ，AD ︵＝BD ︵，AC ︵＝BC ︵ ． 三、引导探究，证明定理 1．验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 (a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E

垂直于弦的直径 教案

24．1．2 垂直于圆的直径 授课题目：垂直于圆的直径课型：新授课 授课对象：九年级学生授课学时：1课时（45分钟） 参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社） 一、教材分析 1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。 2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。 二、教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。 三、教学关键 圆的轴对称性的理解 四、教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 五、教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 六、教学辅助 多媒体、可折叠的圆形纸板。 七、教学方法 本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 八、教学过程：

人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教学设计 【教学目标】 1、知识目标： (1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； (2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； (3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标： (1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法； (2)在解题过程中，注重发散思维的培养。 3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 【教学重点】探索并证明垂径定理。 【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题. 【教学方法】引导发现法、直观演示法 【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT 课件，实物展台 【教学过程】 一、创设问题情境，激发学习兴趣： 1．出示赵州桥图片：我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。 2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。 （图1） 3. 出示学习目标： ( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性. （2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。 二、尝试操作，发现定理： （一）活动一： 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ （二）活动二：操作思考 1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

垂直于弦的直径评课(1)

哈四十七中学：王志源继任骨干2010年 《垂直于弦的直径》评课材料 哈47中学：王志源 张老师上了一节不错的公开课，让我们开了眼界。本节课的教学任务主要是通过学生的探究、发现、操作交流等教学活动，理解掌握垂径定理及其运用。 如何让学生积极主动地参与对新知的构建，数学能力的发展，情感的满足，在本节课的教学中，谢老师做了一下几点安排： 一、对学习目标的选定 1、探究圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论。 2、能用垂径定理及其推论解决问题。首先从目标制定来看，谢老师能根据本班的学情及课标的要求，精心设计目标。其次从学习目标的实现来看，有两个小目标：①概念目标；②运用性目标。设定目标及实际操作体现了目标的可操作性、科学性。 二、教学过程的有效实施 有效的才是最好的。本节课的有效性主要体现在以下几个方面： 1、教师的授课安排 本节课的重点内容是垂径定理和两个推论。而推论是任意交换题设和结论所得的命题较为复杂，学生容易混淆。张老师从学生已有的知识出发，让学生通过动手操作、观察，归纳出圆的对称性，培养学生的动手操作能力。 2、学生的学习效果 通过合作交流和自主学习，学生经历探究问题的过程，归纳垂径定理，通过例2、例3的学习，学生明确在圆中解决有关弦的问题时，常常需要通过圆心做弦的垂线段（即弦心距），通过作辅助线，把垂径定理和勾股定理结合起来，利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理求解。学生分析问题和解决问题的能力得到了提高。 当然，一节课很难做到十全十美。 第一点，对学生回答问题细节的处理，学生用全等三角形解答时，全等三角形对

应顶点、对应角、对应边应写在对应位置。 第二点，平分弦（不是直径）为什么不能是直径，这是一个难点，应由学生探讨、归纳总结出相应答案，而不应由老师一句带过。

圆的基本性质复习课教案(市公开课)

圆的基本性质复习课 宁波东海实验学校 丁燕波 教学目标： 1． 在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2． 在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆 定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论； 3． 通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的 能力。 4． 通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。 教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性 教学难点：相关性质的应用 一、引入： 师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？ 生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。 师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。 师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？ 生：因为它们所对的圆心角相等。 师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。 二、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且 OD//AC 。求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位， 合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每 组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // C O D A C O B O D A ∠=∠∠=∠∴, O C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO D ∠=∠∴ BD CD =∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦 相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所 对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。