高三数列应用题专项训练
数列应用题专题训练
一、储蓄问题
对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。
复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：
(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；
(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？
分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利，5年的零存整取本利是
2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；
若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列{a n}，则a1=50+1000×0.01=60元，
a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，……a n=60-(n-1)·0.5
所以{a n }是以60为首项，-0.5为公差的等差数列， 故a 10=60-9×0.5=55.5元 20次分期付款总和S 20=
2
5
.5060+×20=1105元，实际付款1105+150=1255(元) 答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。
例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：
2
)
30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：
n 2
-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2
，如果该城市每年人口
平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m 2
，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2？(精确到0.01)
解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP
a 1 = 6×500 = 3000万m 2，d = 30万m 2
，a 10 = 3000 + 9×30 = 3270
1990年、1991年、……2000年人口数成GP
b 1 = 500 , q = 1% , 8.5460937.150001.1500910≈?≈?=b
∴2000年底该城市人均住房面积为：
298.58
.5463270
m ≈ 点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1
kg 水，以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入1 kg 水，
问：1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？
2.经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：
a 1= 0.2 kg , a 2=
21×0.2 kg , a 3= (21)2
×0.2 kg 由此可见：a n = (21)n -1×0.2 kg , a 5= (21)5-1×0.2= (2
1)4
×0.2=0.0125 kg
2.由1.得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =2
1
kg q
q a S 39375.02
11)21
1(2.01)1(66
16=--=
--=∴ 00625.039375.04.0=- 003125.0200625.0=÷
点评：掌握浓度问题中的数列知识。
例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的
2
3
领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元， （1）求{}n a 的通项公式；
（2）当827a
b =
时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当38
a
b ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
解：（1）由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，12
23()()32
n n n a a b --=+，
∴12
(1)23()()(2)3
2n n n a
n a a b n --=??
=?+≥??． （2）由已知827
a
b =， 当2n ≥时，1121222832838()()2[()()]327232729
n n n n n a a a
a a a ----=+≥?=要使得上式等号成立，
当且仅当12283()()3272n n a a --=
，即22422()()33n -=，解得3n =，因此这个人第三年收入最少为89
a
元．
（3）当2n ≥时，12121223233233
()()()()2()()32382382
n n n n n n n a a a a b a a a ------=+≥+≥?=，上述等号成立，须38a b =且223312
1log 1log 223
n =+>+=因此等号不能取到， 当38
a
b ≥
时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入． 例7．（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：
10101.1 2.594,1.313.796==）
解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：
102
9
1.31
1(130%)(130%)(130%)42.621.31
-+++++++==-（万元）
到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94?+=?=（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：
10(1 5.5)
1(10.5)(120.5)(190.5)32.502
+++++?+
++?=
=（万元） 贷款的本利和为：109
1.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11
-+++++=?
=-（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元） 所以，甲方案的获利较多．
三、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出
n b 2
件，（n ∈N *
）。 （1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；
（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？ 分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，s n ——s n-1=
n b 2，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差n
b 2构成
等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
解法一、直接列式：由题，s=b+
2b +22b +32b +…+n b 2=b(2-n 21) （广告费为1千元时，s=b+2b ；2千元时，s=b+2b +22b ；…n 千元时s=b+2b +22b +32b +…+n b
2
）
解法二、（累差叠加法）设s 0表示广告费为0千元时的销售量，
由题：???
??
???
???
=-=-=--n n n b s s b s s b s s 22212
1201
，相加得S n -S 0=2b +22b +3
2b +…+n b 2, 即s=b+
2b +22b +32b +…+n b 2=b(2-n 2
1
)。 （2）b=4000时，s=4000(2-n 21),设获利为t,则有t=s ·10-1000n=40000(2-n 2
1
)-1000n
欲使T n 最大，则：???≥≥-+11n n
n n T T T T ，得???≤≥55
n n ，故n=5,此时s=7875。
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。 四、a n = C ·a n-1+B ，其中B 、C 为非零常数且C ≠1
例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。
分析：设经过n 年后，该项目的资金为a n 万元，则容易得到前后两年a n 和a n-1之间的递推关系：a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：
解：由题，a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），即a n =
45a n-1-200，设a n +λ=4
5
（a n-1+λ），展开得a n =45a n-1+41λ，41λ=-200，λ=-800，∴a n -800=4
5
（a n-1-800），即{a n -800}成一个等比数
列，a 1=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250，∴a n -800=250（45）n-1，a n =250（4
5）n-1
+800，令
a n ≥4000，得（
4
5）n
≥16，解得n ≥12,即至少要过12年才能达到目标。 例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：
(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)； (2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。 解：(1)设每年还款x 元，依题意得
x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100000×(1+5%)， ∴x≈12245元
(2)设每年还款x 元，依题意得
x+x(1+4%)+x(1+4%)2+…+x(1+4%)9=100000(1+4%)10
， ∴x≈12330元
答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12330元。
评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。 (1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n 项和公式； (2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n 项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同。 例11．（环保问题）（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
分析：由“每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同”易得某城市每年末汽车保有量与上年末汽车保有量的关系，于是可构造数列递推关系来求解。
解：设每年新增汽车为b 万辆，该城市第n 年末的汽车保有量为a n ，则容易得到a n 和a n －1的递推关系：2)(94.0%)61(11≥+=+-=--n b
a b a a n n n 即b a n 350-
＝0.94（b a n 3
50
1--） ∴｛b a n 350-｝是以0.94为公比，以b 3
50
30-为首项的等比数列。 ∴b a n 350-
＝（b 35030-）
·0.94n －1，即b a n 350=+（b 3
5030-）·0.94n －1
(1)当b 3
50
30-
≥0即b ≤1.8时，a n ≤a n-1≤……≤a 1=30 (2) 当b 3
50
30-
<0即b<1.8时 n n a lim ∞
→＝lim ∞
→n ［
b 350+（b 35030-）
·0.94n －1
］＝b 3
50
并且数列｛a n ｝为递增数列，可以任意接近b 3
50
，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即a n ≤60（n=1,2,3……），则
b 3
50
≤60，即b ≤3.6（万辆）
。 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。 例12．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块……，依此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？
分析：因每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，即每一层剩下砖块是上次剩下砖块的一半少一块，于是可用数列的递推关系求解。
解：设此次砌墙一共用了S 块砖，砌好第n 层后剩下砖块为a n 块（1≤n ≤10，n ∈N *
）
则12
1-=
-n n a a ，即)2(21
21+=+-n n a a ∴｛a n +2｝为等比数列，且公比为21
又由题意得：a 1＝
2s －1∴a 1＋2＝2s ＋1∴a 1＋2＝2s ＋1∴a n ＋2＝(2s ＋1)·(2
1)n －1
即a n ＝(2s ＋1)·(2
1)n －1
－2
∵a 10＝0∴（2s ＋1）·（2
1）9－2＝0解得：s ＝211
－2＝2046
例13．（生态问题）某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年
年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972
a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则
115(1)44a a b a b =+-=-，221555
()(1)444a a b a b =-=-+，
32325555
()[()1]4444a a b a b =-=-++，………
12*55555
()[()()1]()4[()1]()44444
n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈．
（2）当1972b a =时，有79n a a <得55197
()4[()1]44729n n a a a --?<即5()54n >， 所以，lg51lg 2
7.2lg52lg 213lg 2
n ->
=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．
五、二个（或多个）不同数列之间的递推关系
有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。
例14、（浓度问题）甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml ，同时从甲乙两个容器中取出100ml 溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a 1==10%,b 1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a n 、b n ，
（1）试用a n-1、b n-1表示a n 、b n ；
（2）求证数列 {a n -b n }是等比数列，并求出a n 、b n 的通项。
分析：该问题涉及到两个不同的数列a n 和b n ，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。
解：（1）由题意 a n =
11115154500100400----+=+n n n n b a b a ； b n =11115
1
54500100400----+=+n n n n a b a b
（2）a n -b n =
115
3
53---n n b a =53（1-n a 1--n b ）（n ≥2），∴{a n -b n }是等比数列。又a 1-b 1=-10%,
∴a n -bn=-10%()5
3n-1
(1)
又∵n a n b +=1-n a 1-+n b =...= a 1+b 1=30%， (2)
联立（1）、（2）得n a =-()53
n-1·5%+15%；n b =()5
3n-1
·5%+15%。
例15．现有流量均为3002
/m s 的两条河流A 、B 会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为23/kg m 和0.23/kg m ．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003
m 的水量，即从A 股流入B 股1003
m 水，经混合后，又从B 股流入A 股1003
m 水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.013
/kg m （不考虑泥沙沉淀）？
讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.013
/kg m ”．但直接建构这样的不等
关系较为困难．为表达方便，我们分别用,n n a b 来表示河水在流经第n 个观测点时，A 水流和B 水
流的含沙量．
则1a ＝23/kg m ，1b ＝0.23/kg m ，且
()()
11111003001002001312
, 1003004410020033n n n n n n n n n n a b b a b a b a b a ++++++=
=+=+++＝．
（＊） 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列{}n n a b -．
由（＊）可得：
()()1111112221313333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++??????-=+-=-=-+=- ? ?????????)()111111
2221313
333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++??????-=+-=-=-+=- ? ?????????
所以，数列{}n n a b -是以11 1.8a b -=为首项，以
1
2
为公比的等比数列．
所以，1
11.82n n n a b -??
-=? ?
??
．
由题，令n n a b -< 0.01，得1
11
2180
n -??
<
?
??
．所以，2lg1801log 180lg 2n ->
=． 由7
8
21802<<得27log 1808<<，所以，8n >．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.013/kg m ． 点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．
六、数列求和综合问题
例16 某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2
30000m 的宿舍楼（每
层的建筑面积相同）。已知土地的征用费为2250元/2
m ，土地的征用面积为第一层的1.5倍。经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/2
m ，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/2
m 。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用和征地费用之和）。
解：设楼高为n 层，总费用为y 万元，则征地面积为)(300005.12
m n ?，征地费用为n 3
5.12250??
万元，各楼层建筑费用和为
n n n n 3]302)1(400[?
?-+万元，总费用为
n n n n n y 3
5.122503]302)1(400[??+??-+
=
2505)7767532(15)776753(15=+??≥++
?=n n n n （万元）
当且仅当
n n 675
3=
即15=n 时上式取等号
∴ 这幢宿舍楼楼高层数为15时，总费用最少为2505万元
例17 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
n 2
1
)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ .
解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2
；
B n =500[(1+
21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 2
500
－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2
500－100) －(490n －10n 2
)
=10n 2
+10n －n 2500－100=10[n(n+1) － n 2
50－10].
因为函数y=x (x +1) －x 2
50
－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1) － n 2
50－10≤12－850
－10<0；
当n≥4时，n(n+1) － n 2
50－10≥20－1650
－10>0.
∴仅当n≥4时，B n >A n .
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 点评：.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解
决实际问题的能力．
1、甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01
2. （04年）某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3
1？
解. （专）(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a
则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=?=?=q a a （辆）。
（专）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3
110000>+n
n S S 。于是50005.11)
5.11(128>=--n
n S （辆），即32
657
5.1>
n ，
则有,5.7≈n 因此8≥n 。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。 3．（05年）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解：（专）（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列，
其中a 1=250，d=50，则 ,22525502
)
1(2502n n n n n S n +=?-+
= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而 ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （专）（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，
其中b 1=400，q=1.08， 则b n =400·(1.08)n －1
由题意可知n n b a 85.0>
有250+(n －1)50>400 · (1.08)n －1
· 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
4. （05年）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解] （专）（1）2005年底的住房面积为
124020%)51(1200=-+（万平方米）, 2006年底的住房面积为
128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分 （专）（2）2024年底的住房面积为 20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分
64.252205
.01
05.120%)51(12002020
≈-?
-+=（万平方米） ∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分
5. 某地原来每年消耗木材20万立方米，每立方米木材的价格为900元．为了减少木材的消耗保护生态环境，该地政府决定向消费者加收育林费．经预测每加收木材价格%t 的育林费，每年的木
材消耗量就减少
3
t
万立方米．为了既减少木材消耗，又保证育林收入每年不少于2400万元，则t 的取值范围是
（A ）]30,10[ （B ）]40,20[ （C ）]50,30[ （D ）]60,40[
6. 某厂在一个空间容积为2000m 3
的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满60分钟一
次性释放出有害气体am 3
，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作。
（1）求第n 次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？
（2）安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am 3
时才能正常生产。当r=20
时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由。 解（1）∵第一次释放有害气体3
am ，
第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体3%)(m ar a +，……2分 第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
32%)(%%%)(m r a ar a r ar a a ++=++，……………………3分
……
第n 次释放出有害气体后（净化前）车间内共有有害气体
.]%)(%)(%[312m r a r a ar a n -++++ ………………5分
即3
%
1%)(1m r r a n --?
…………………………6分 （2）由题意，要使该车间能连续正常生产6.5小时，须在第6次释放出有害气体后（净化之前），
车间内有害气体总量不得超1.25a m 3
，即必须要有
.25.1%
1%)(16a r r a ≤--?…………………………10分
,25.18
.01
2.0112.012.01206
==-<--=）（时，当r
∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时.…………………………………12分
7. 一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得11
3
a =
；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。试问：
（1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？
（2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。 解（1）2111515a a =?÷=
3213735
a a =?÷= （2）先用累乖法得*1
()(21)(21)
n a n N n n =
∈-+
得10011
(21001)(21001)39999
a =
=
?-?+ 8. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，
．以n T 表示到第n 年
末所累计的储备金总额．求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列． 解: 11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得
2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=
1
2
121(1)
(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=++++
+++，
①
在①式两端同乘1r +，得
12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++
++++
②
②-①，得1
21(1)[(1)
(1)(1)]n
n n n n rT a r d r r r a --=++++++
++-
1[(1)1](1)n n n d
r r a r a r
=
+--++-． 即1122(1)n
n a r d a r d d T r n r r r ++=+--．
如果记12(1)n
n a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r
+=--，
则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r d r r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n
B 是以12a r d d
r r
+--为首项，d
r
-
为公差的等差数列． 9. 一场特大暴风雪严重损坏了某铁路干线供电设备，抗灾指挥部决定在24小时内完成抢险工程．经测算，工程需要15辆车同时作业24小时才能完成，现有21辆车可供指挥部调配．
（1）若同时投入使用，需要多长时间能够完成工程？（精确到0.1小时）
（2）现只有一辆车可以立即投入施工，其余20辆车需要从各处紧急抽调，每隔40分钟有一辆车可以到达并投入施工，问：24小时内能否完成抢险工程？说明理由． [解]（1）15辆车同时工作24小时可完成全部工程，
每辆车每小时的工作效率为
360
1
． 设21辆车同时投入使用需要x 小时完工，则：1x 360
1
21≥?，17.14x ≥ 因此需要17.2小时完成任务．
（2）解法一：设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…, a 21小时
依题意它们组成公差3
2-=d （小时）的等差数列，且241≤a
则有
10360363602121≥+++a
a a 03612)(2
1211≥?+a a 即， 化简可得21
36020d)2(2
11≥+a . 即7
120)3
210(-1≥+a ， 解得2421
1723,21
17231<≥由于a 可见a 1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.-
解法二：设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…, a 21小时， 依题意它们组成公差3
2-=d （小时）的等差数列，不妨设241=a ，
由
12)(720136003603636021121212121?+=+++=+++a a a a a a a a =190
912120d)2(720
11>=?+a 即能在24小时内完成抢险任务．
数列的应用题
【复习要求】
1．阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型.
2．能灵活应用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解.
3．增强用数学的意识和解决实际问题的能力.
【基础知识】
1．某种细菌在培养过程中，每20分种分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖成（）
A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个
2．弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）
A．0颗 B．4颗 C．5颗 D．11颗
3．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从1999年1月起，到2001年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{a n}，若逐月累计的产值S n=a1+a2+…+a n满足关系S n=101a n－36，则该厂的年递增率为（精确到万分位）( )
A．12.66% B．12.68% C．12.69% D．12.70%
4．夏季山上的温度从山底起，每升高100m降低0.7C?，已知山顶处温度是14.8C?，山底处温度?，则该山相对于山底处的高度为______
是26C
5．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为______
[基础知识]1.B 2.B 3.B 4.1600m 5.14
【经典题析】
例1．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被A、B两家公司同时录取.试问：
(1) 若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
(2) 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其它因素），
该人应该选择哪家公司，为什么？
(3) 在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?（精确到1元），并说明理由. 分析：（1）A 公司的工资增长为等差数列，B 公司的工资增长为等比数列；（2）比较两种数列10年工资总和的大小,即分别求两个数列的前n 项和,再比较大小；（3）即求两个数列通项的差关于n 的函数的最值.
解：(1)在A 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为a n ＝1500＋230(n －1)＝230n ＋1270(元) 在B 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为b n ＝2000(1＋5100)n －1＝2000×1.05n －1
(元)
(2)在A 公司连续工作10年，则其工资总收入为 S 10＝1
2[12×(1500＋1500＋9×230)×10]＝304200(元)
在B 公司连续工作10年，则其工资总收入为 S'10＝12×2000(1－1.05)10
1－1.05
＝30420(元)
S 10＞S'10,故仅从工资收入总量来看，该人应该选择A 公司. (3)a n －b n ＝230n ＋1270－2000×1.05
n －1
记为f(n)
要使得f(n)最大，需满足f(n)＞f(n －1)且f(n)＞f(n ＋1) 于是f(n)－f(n －1)＞0 ? 1.05
n －2
＜2.3；f(n ＋1)－f(n)＜0 ? 1.05
n －1
＞2.3
解得：1＋log 1.052.3＜n ＜2＋log 1.052.3 经计算得lg2.3＝0.3617,lg1.05＝0.0212 从而得：18.07＜n ＜19.07，n ＝19
∴ f(n)max ＝f(19)＝230×19＋1270－2000×1.0518
≈826(元)
例2 。某一电视频道在一天内有x 次插播广告的时段，一共播放了y 条广告，第一次播放了1条和余下的1y -条的18
，第2次播放了2条以及余下的18
，第3次播放了3条以及余下的18
，以后
每次按此规律插播广告，在第x 次播放了余下最后的x 条（1x >），
（1）设第k 次播放后余下k a 条，这里0a y =，0x a =，求k a 与1k a -的递推关系式； （2）求这家电视台这一天播放广告的时段x 与广告的条数y .
分析：第k 次播放了：()111178
8
8
k k k a k a k --+-=+ ， 因此111178887
k k k k k a a a k a k a ---??=-+?=+ ?
??
解：（1）依题意有 第k 次播放了：()111178
8
8
k k k a k a k --+-=+，
因此 1111788
87
k k k k k a a a k a k a ---??=-+?=+ ?
??
（2）因为0128881127
77
a a a ??=+=++
??
?
2
221
88127788
881237777x x
x a x a -??
=+?+=
???
??
??
??=+?+?+
+?+ ? ?
???
??
??
因为 0x a =，所以 2
1
888123777x y x -??????
=+?+?++? ? ? ?
??????
用错位相减法求和得()()()
1
84977x
x y x -=+-
因为()7,81=，故()
17,81x x -=，而177,x x y N --<∈，则70x -=，即749
x y =??
=? 演变：某运动会开了n 天（1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的1
7
，第二天发出2枚加上余下的1
7
；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚.该运动会开了多少天？共发了多少枚奖牌？
演变：6和36
例3．如图是一个计算机装置示意图，J 1，J 2是数据入口处，C 是计算机结果的出口，计算过程是由
J 1，J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数由C 输出．此种计
算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若J 1，J 2分别输入1，则输出结果为1；
②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍． 试问：（1）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，输出结果为多少？
（2）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，输出结果为多少？ （3）若J 1输入自然数m ，J 2输入自然数n ，输出结果为多少？
分析：本题的信息量大，粗看不知如何入手，若仔细观察装置的构成，我们发现可以把条件写
计算机装置
m n
J 1
J 2
C
输入 输出
打印
结束 Yes
No i x D ∈ f
成二元函数式，并把它看作某一变量的函数，抽象出等比数列或等差数列的模型．
解：设f (m ，n )=k ，由题意，f (1，1)=1，f (m ，n +1)=f (m ，n )+2，f (m +1，1)=2f (m ，1)． （1）在f (m ，n +1)=f (m ，n )+2中，令m =1，则f (1，n +1)=f (1，n )+2，由此可知：f (1，1)，f (1，2)，
f (1，3)，…，f (1，n )，…，组成以f (1，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有f (1，n )=f (1，
1)+2(n -1)=2n -1．
（2）因为f (m +1，1)=2f (m ，1)，于是f (1，1)，f (2，1)，…，f (m ，1) ，…，组成以
f (1，1)为首项，2为公比的等比数列，所以有 f (m ，1)=f (1，1)?2m -1=2m -1．
（3）因为f (m ，n +1)=f (m ，n )+2，所以f (m ，1)，f (m ，2)，f (m ，3)，…，f (m ，n )，…，组
成以f (m ，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有 f (m ，n )=f (m ，1)+2(n -1)= 2m -1
+2n -2．
演变：（2001年上海高考题）对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器其工作原理如下：
①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；
②若1x D ?，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输
入端，再
输出21()x f x =，并依次规律继续下去.现定义42()1
x f x x -=+. （1）若输入049
65
x =，则由数列发生器产生数列{}n x .请写出数列{}n x 的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；
（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围.
演变：（1）数列{}n x 的所有项仅有三项，它们是123111
,,1195
x x x ===-， （2）当01x =时，1n x =；当02x =时，2n x =. （3）012x <<.
例4.某人年初向银行贷款10万元用于购房.
（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），
仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？
解：（Ⅰ）若向建设银行贷款，设每年还款x 元，
则105
×(1＋10×5%)＝x (1＋9×5%)＋x (1＋8×5%)＋x (1＋7×5%)＋…＋x
即：105
×1.5＝10x ＋45×0.05元，解得x ＝105
×1.5
12.25
≈12245(元)
（Ⅱ）若向工商银行贷款，每年需还y 元，则： 105×(1＋4%)10＝y (1＋4%)9＋y (1＋4%)8
＋…＋y (1＋4%)＋y 即105
×1.0410
＝1.0410
－1
1.04－1
·y
其中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044
＋…≈1.4802. ∴y ≈105
×1.4802×0.041.4802
≈12330(元)
答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元.
演变1.用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？
解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清，由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列
设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20
则：a 1＝50＋1000×1%＝60元，a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元 ……
a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元 即第10个月应付款55.5元.
由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有：
S 20＝
60＋（60－19×0.5）
2
×20＝1105(元)
即全部付清后实际付款（1105＋150）＝1255（元）.
演变2.某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型.
解：设贷款额为a 0元，贷款年利率为α，次年等额归还x 元，第n 年还清，则 一年后的欠款数为：a 1＝(1＋α)a 0－x
二年后的欠款数为：a 2＝(1＋α)a 1－x ＝(1＋α)2
a 0－x [（1＋α）＋1]
三年后的欠款数为：a 3＝(1＋α)a 2－x ＝(1＋α)3a 0－x [（1＋α）2
＋(1＋α)＋1] ……
n 年后的欠款数为：a n ＝(1＋α)a n －1－x ＝(1＋α)n a 0－x [(1＋α)n －1＋(1＋α)n －2＋…＋(1＋α)＋1]
由于a n ＝0，贷款还清，
∴(1＋α)n
a 0＝x ·1－(1＋α)n
1－(1＋α) ， ∴x ＝α(1＋α)n
a 0
(1＋α)n
－1
将α＝0.1，a 0＝20000，n ＝10代入，得 x ＝2000×0.1×1.110
1.110
－1 ≈2000×2.59371.5937
≈3255元. 演变3.某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a 元，1998年7月1日，他将到
期存款的本息取出后添上a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r 不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？
分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型. 解：由题意得：1998年本息总数为a (1＋r )，
1999年本息总数为a (1＋r )2
＋a (1＋r ), ……
2002年本息总数为：a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2
＋a (1＋r )
即a (1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r ) ＝a r
[(1＋r )6－(1＋r )]
评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地，等比数列的特点
是增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查.
演变4.某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?
（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S ，求S 的表达式.
（3）若1.28
≈4.3，计算S (精确到1立方米).
分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列
解：(1)设植树n 年可将荒山全部绿化，则：100n ＋
n （n －1）
2
×50＝2200
解之得n ＝8或n ＝－11(舍去)
(2)1995年所植树，春季木材量为200 m 3，到2002年底木材量则增为200×1.28 m 3
.
1996年所植树到2002年底木材量为300×1.27 m 3
. ……
2002年所植树到年底木材量为900×1.2 m 3
，则：到2002年底木材总量为： S ＝200×1.28＋300×1.27＋400×1.26＋…＋900×1.2 (m 3)
(3)S ＝900×1.2＋800×1.22＋700×1.23＋…＋200×1.28
1.2S ＝900×1.22＋800×1.23＋…＋300×1.28＋200×1.29
，两式相减得：
0.2S ＝200×1.29＋100(1.22＋1.23＋…＋1.28
)－900×1.2
＝200×1.29
＋100×1.22
（1.27
－1）
1.2－1
－900×1.2＝1812
∴S ＝9060( m 3
)
【方法总结】
解数列应用题首先要认真阅读和分析题意，学会翻译，将实际问题进行数学化.其次再考虑用熟悉的知识建立数学模型，求出问题的解。最后，常常还需验证求得的结果是否符合实际意义.
(完整版)数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)
专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】
高中数学数列基础知识与典型例题
数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
高中数列经典题型 大全
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
数列知识点及典型例题
数列知识点及典型例题 一、 知识点 一、 选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分 1、数列 的一个通项公式是（ D ） A. B ． C ． D ． 2、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ C ）A.8 B.-8 C.±8 D. 3、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则前30项的和=30S （B ） A 、154， B 、15 2， C 、15 21?? ? ?? D 、153， 12) 1(3++-=n n n a n n 1 2) 3()1(++-=n n n a n n 121 )1() 1(2--+-=n n a n n 1 2) 2()1(++-=n n n a n n ?--,9 24 ,715,58,18 9
4、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( B ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 5、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（ D ） A 、18 B 、36 C 、54 D 、72 6、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( C ) A ． －1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。 7、已知数列的通项公式74+=n a n ，则其中三位数的个数有255个 8、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是0。 三、解答题：本大题共7小题，共84分。 11、已知等差数列{}n a 中，公差为,1=d 且9999=s ，求+++852a a a 15a +Λ的值。 解法一：9999=S ，{}n a 是等差数列 所以 992 98 99991=?+ d a ，又1=d ，481-=a 所求量为首项为-47，公差为3的前5项和S 5=…… 12、⑴在等比数列{}n a 中，若,a a ,a a 6243224=+=-求首项1a 和公比q 。 ⑵设等比数列{}n a ，n s 是它的前n 项和，若,s s s 9632=+求公比q 。 解：⑴由已知有：24131=-q a q a 及6211=+q a q a 得5 1 1= a ， 5=q ⑵当1=q 时，{}n a 是常数列，则根据,s s s 9632=+得1111863a a a =+，01=a ， 因为{}n a 是等比数列，01≠a 故1≠q 。 当1≠q 时，()()() q q a q q a q q a --= --+--1121111916131，解得321-=q 。 13、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数
第一讲数列地极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
数列求和高考专题
数列求和高考专题 1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】 （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ， 由262n a n =-， 12124n n b --=?，有()221314n n n a b n -=-?， 故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?， ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?， 上述两式相减，得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?
( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; （2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析 （2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，① 当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④ 将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥， 所以345,,, a a a 是等差数列，设其公差为'd .
62等差数列典型例题及详细解答
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．
数列典型例题(含答案)
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)
数列求和 概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ； ③)1(211+==∑=n n k S n k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ； ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例1：设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2 1。 （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法
思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解（裂项）如下： ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3：求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项
高中数列经典题型大全
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
上海高中数学数列的极限(完整资料)
【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在
②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：
高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习
高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习 A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 解析：选B.设等差数列公差为d ，则由已知得 ? ???? a 1＋a 1＋d ＝4a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝28， 即????? 2a 1＋d ＝42a 1＋13d ＝28 ， 解得a 1＝1，d ＝2， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×1＋10×9 2 ×2＝100. 2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S n n }的前10项的和为( ) A ．120 B ．70 C ．75 D ．100 解析：选C.S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴S n n ＝n ＋2. 故S 11＋S 22＋…＋S 10 10 ＝75. 3．(原创题)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{ 1f (n ) }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：选A.f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝ 1 n (n ＋1) ＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得S n ＝n n ＋1 .故选A. 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1 ·n ，S 17＋S 33＋S 50等于________． 解析：由题意知S n ＝????? n ＋12(n 为奇数)， －n 2(n 为偶数). ∴S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25， ∴S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：1 5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2 ＋3n (n ∈N * )，则a 12＋a 23＋…＋ a n n ＋1 ＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2 ＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2 ，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N * )．于是 a n n ＋1 ＝
【数学联赛】 数列真题汇编与预赛典型例题(解析版)
【数学联赛】 专题01数列真题汇编与预赛典型例题 1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且 ，则这样的数列的个数为. 2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有 。则的所有可能值为___________。 3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足 .则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______. 6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中， ，且存在常数使得对每一个正整数都有.则 ________. 8．【2019年全国联赛】设整数满足. 记. 求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数. 9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：
（1）对任意正整数n，有； （2）对任意正整数n，有. 10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现. 11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足 的正整数r的个数。 12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列 ，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对 ，均有. 13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得 . 14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得. 15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数， .记.证明：数列中有无穷多项是完全平 方数. 16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有 . (1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列. (2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 １．前ｎ项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11 n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和2 12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122 -=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T 练习： １、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。答案：???=-12 2n n a )2() 1(≥=n n 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n n a 32?= 3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2 2n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式. 4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2 *12333()3 n n a a a a n N +++= ∈n-1 …+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法) （１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。 （２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111 1≥+==--n a a a n n n ，证明2 1 3-=n n a 例2．已知数列{}n a 的首项为1，且* 12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。 3。形如 )(1 n f a a n n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1 1-?n q a 。 (2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n 练习： 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2 +=n n a n ２、求数列)2(1 232,111 ≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4。形如s ra pa a n n n += --11 型（取倒数法) 例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1 211 ≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a