数学分析复习题及答案
一.单项选择题
1.已知x e x x f +=3)(,则)0(f '=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2.设3)21(lim -∞
→=+e x kx x ,则=k ( ) A. 6- B.
23 C. 32- D. 23- 3.?
=dx xe x ( ) A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1
4.下列函数在),(∞-∞内单调增加的是( )
A. x y =
B. x y -=
C. 3x y =
D. x y sin = 二、填空题
1.设函数==+dz e
z y x 则全微分,2 2..______________23sin lim 0
=→x x x 3.???
????>+=<=0)1ln()(00
sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续,则_________=a
三、判断题
1.若函数f 在区间),(b a 上连续,则f 在),(b a 上一致连续。( )
2.实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。( )
3.设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数,则右极限)(lim 0
x f x x +→存在。( ) 四、名词解释
1.用δε-的语言叙述函数极限的定义
2.用N -ε的语言叙述数列极限的定义
五、计算题
1.根据第四题第1小题证明04
)1(lim 2=--+∞→n n n
n 2.根据第四题第2小题证明5311lim
22=++→x x x 3.设n n n x x x x x x x ++=++
==+11,,11110010 ,,求证n n x ∞→lim 存在,并求其值。 4.证明:2)(x x f =在[]b a ,上一致连续,但在()+∞∞-,上不一致连续。
5.证明:若)(0x f '存在,则=??--?+→?x
x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6.证明:若函数)(x f 在0x 连续,则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续,问:若在)(x f 或)
(2x f 在I 上连续,那么)(x f 在I 上是否必连续。
一、1.D 2.C 3. B 4.C
二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2
3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√
四、
1. 函数极限定义:设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义,A 为定数。 0>?ε,0>?δ,当δ<-<00x x 时,ε<-A x f )(,则A x f x x =→)(lim 0
。 2.数列极限定义:设为数列}{n a ,a 为定数,0>?ε,0>?N ,当N n >时,有ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a 。
五、1.证明:ε<-<-?++=-+<--+2
12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε,21+??
????=?εN ,当N n >时,ε<--+4)1(2n n n ;得证。 2. 证明:)13()2()
1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ,则31< ∴0>?ε,? ?????=?10,1min εδ,当δ<-<20x 时,ε<-++53112x x