高三文科数学模拟卷
本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个命题:
①“若x y =,则2
2
x y =”的逆否命题为真命题
②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题
④对于命题p :0x R ?∈,2
0010x x ++<,则p ?为:x R ?∈,210x x ++≥
其中真命题的个数是( ) A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
2.已知x 0是函数f (x )=ln x -1
x
(x >0)的一个零点,若x 1∈(0,x 0),x 2∈(x 0,+∞)则( ) A .()10f x <,()20f x > B .()10f x >,()20f x < C .()10f x <,()20f x <
D .()10f x >,()20f x >
3.已知0.50.6
0.910.80.60.5a og b c ===,,,那么a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a b c >>
B .b a c >>
C .c a b >>
D .a c b >>
4.已知f (x )是定义域为[-3,3]的奇函数,且在[-3,0]上是减函数,那么不等式f (x +1)>f (3-2x )的解集是( ) A .2,
3?
?-∞ ???
B .[]
0,2
C .20,
3??
????
D .2,3??+∞
???
5.函数f (x )=x 2ln|x |的图象大致是( ).
A .
B .
C .
D .
6.在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+,且,,A C B 成等差数列,则ABC △的面积是( ) A .
33
2
B .
3
2
C .3
D .337.数列{}n a 中,115a =-,且12n n a a +=+,则当前n 项和n S 最小时,n 的值为( ) A .6
B .7
C .8
D .9
8.若对任意的[1,3]x ∈,不等式230x x m --<都成立,则实数m 的取值范围为( ). A .(2,)-+∞
B .9
(,)4
-+∞
C .9(,0)4
-
D .(0,)+∞
9.设1x >,则函数2
()231
f x x x =++-的最小值为( ) A .9
B .8
C .6
D .5
10.关于直线m 、n 及平面α、β,下列命题中正确的是( ) A .若m α⊥,//m β,则αβ⊥ B .若//m α,//n α,则//m n C .若//m α,m n ⊥,则n α⊥
D .若//m α,n αβ=I ,则//m n
11.已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =u u u r u u u r
,
则||QF =( )
A .6
B .
5
2
C .3
D .2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
12.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,3BC =,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若3AB AF ?=u u u r u u u r ,则AE BF
?u u u r u u u r
的值是______.
13.若实数,x y 满足004312
x y x y ≥??≥??+≤?
,则23
1x y z x ++=+的取值范围是__________.
14.已知一组数1,2,m ,6,7的平均数为4,则这组数的方差为______.
15.已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为60?,若此圆锥的侧面积为8π,则该圆锥的体积为______. 16.给出下列四个命题:
①函数()y f x =,x ∈R 的图象与直线x a =可能有两个不同的交点;
②函数2
2log y x =与函数22log y x =是相等函数;
③对于指数函数2x y =与幂函数2
y x =,总存在0x ,当0x x >时,有2
2x
x >成立;
④已知1x 是方程lg 5x x +=的根,2x 是方程105x x +=的根,则125x x +=. 其中正确命题的序号是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。
17.在ABC ?中,a , b , c 分别为角A ,B ,C 所对边的长,(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+. (1)求角C 的值:
(2)设函数3
()cos sin()34
f x x x π
=?+-,求(A)f 的取值范围.
18.已知{}n a 为等差数列,且138a a +=,2412a a +=.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2
12k k a a S +=?,求正整数k 的值.
19.如图,在三棱锥V -ABC 中,平面VAB ⊥平面ABC ,△VAB 为等边三角形,AC ⊥BC 且AC =BC =2,O ,M 分别为AB ,VA 的中点.
(1)求证:VB ∥平面MOC ; (2)求证:平面MOC ⊥平面VAB (3)求三棱锥V -ABC 的体积.
20.上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组;……;第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
21.已知椭圆(222:122x y C a a +=>的右焦点为F ,P 是椭圆C 上一点,PF x ⊥轴,2
2
PF =
.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M ,O
为坐标原点,且OM =,求AOB ?面积的最大值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+??=?(α为参数),曲线2C 的参数方程为325
415x t y t
?=+????=+??
(t
为参数).
(1)求曲线1C 的极坐标方程;
(2)若曲线1C 与曲线2C 交于P ,Q 两点,且()2,1A ,求11
AP AQ
+的值. 23.已知函数()|21|f x x =-. (1)解不等式()||3f x x <+;
(2)若对于x ,y R ∈,有1|31|3x y -+≤
,1|21|6y -≤,求证:(6
7
)f x ≤.
参考答案
1.C 2.A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.D 9.A 10.A 11.C
由题,设Q 在第一象限,则作QM x ⊥轴于M 点,设准线l 交x 轴于N ,因为4FP FQ =u u u r u u u r
, QM ∥PN ,故4FN FM =u u u r u u u u r
,又(2,0),(2,0)F N -,故(1,0)M ,所以Q 的横坐标也为1.
利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有||=1+2=3QF 12.9
2
-
建立如图所求的直角坐标系,则(0,0),(3,0),3),3)A B C D ,3
(3,
)2
E ,设(3)
F x ,则(3,0)AB =u u u r ,(3)AF x =u u u r
,
∴33AB AF x ?==u u u r u u u r
,1x =,
∴(3)BF =-u u u r ,又3
AE =u u u r ,
∴393(2)32
AE BF ?=?-+?=-u u u r u u u r .
13.9,74?????? 14.
265 15.833
π 16.③④
根据函数定义,对定义域内的任意一个x 值,只有唯一的y 值与之对应,∴函数()y f x =,
x ∈R 的图象与直线x a =可能有一个或0个交点,因此①错;
22log y x =中定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ,函数22log y x =的定义域是(0,)+∞,定义域不
相同,不是同一函数,②错; 当4x >时,22x x >,因此③正确;
如图,12,x x 分别是函数lg y x =、10x
y =的图象与直线5y x =-的交点P 、Q 的横坐标,由于lg y x =与10x
y =是互为反函数,它们的图象关于直线y x =对称,而直线5y x =-与
直线y x =垂直,因此,P Q 两点关于直线y x =对称,直线5y x =-与直线y x =的交点为
55(,)22,∴125
252
x x +=?=.④正确.故答案为:③④. 17.解:(1)由正弦定理得:222a ab bc c b bc -=+--, ∴222a b c ab +-=,∴1
cos 2
C =,∴60C =?. (2)
(
)1cos sin cos 224f x x x x ??=+- ? ??
?
()11cos 21sin 2sin 260422x x x +==+o
, ∵0120A ?<,60260300A <+ =+∈-???? o . 18.解:(1)根据题意,设数列{}n a 的公差为d , 由题意知()()111 128 312a a d a d a d ++=??+++=?,解得12,2a d ==, 则1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,即2n a n =; (2)由(1)可得12,2n a a n ==, 则()12(1)2 n n a a n n n S n n += =+=+,又21 2k k a a S +=?, 则有()2 2(2)(3)k a k k =++,即22421012k k k =++, 变形可得:2560k k --=,解可得6k =或1k =-(舍),故6k =. 19.解:(1)证明:∵O ,M 分别为AB ,VA 的中点, ∴OM ∥VB ,∵VB ?平面MOC ,OM ?平面MOC ,∴VB ∥平面MOC ; (2)∵AC =BC ,O 为AB 的中点, ∴OC ⊥AB ,∵平面VAB ⊥平面ABC ,OC ?平面ABC , ∴OC ⊥平面VAB ,∵OC ?平面MOC ,∴平面MOC ⊥平面VAB (3)在等腰直角三角形ACB 中,AC =BC ,∴AB =2,OC =1, ∴等边三角形△VAB 中,S △VAB = 122sin 23 π ???=, ∵OC ⊥平面VAB , ∴V C -VAB =1 3 OC ?S △VAB = ∴V V -ABC =V C -VAB 20.解:(1)因各组的频率之和为1,所以成绩在区间[)80,90内的频率为 ()10.00520.0150.0200.045100.1-?+++?=. 所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =?+?+?+?0.10850.059568+?+?=, 众数的估计值是65. (2)设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”, 由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有:0.01010404??=人, 记这4名学生分别为a ,b ,c ,d , 成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402??=人,记这2名学生分别为e ,f , 则从这6人中任选2人的基本事件为:(),a b ,(),a c ,(),a d ,(),a e ,(),a f ,(),b c , (),b d ,(),b e ,(),b f ,(),c d ,(),c e ,(),c f ,(),d e ,(),d f ,(),e f ,共15种, 事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为:(),a e ,(),a f ,(),b e , (),b f ,(),c e ,(),c f ,(),d e ,(),d f ,(),e f ,共9种,所以()93155 P A = =. 21.解:(1)设椭圆C 的焦距为()20c c > ,由题知,点,P c ? ?? ,b = 则有2 22 212 c a ? ??+=,2234c a ∴=,又22222a b c c =+=+,28a ∴=,26c =, 因此,椭圆C 的标准方程为22 182 x y +=; (2)当AB x ⊥轴时,M 位于x 轴上,且OM AB ⊥, 由OM = 可得AB = 1 2 AOB S OM AB ?= ?=; 当AB 不垂直x 轴时,设直线AB 的方程为y kx t =+,与椭圆交于()11,A x y ,()22,B x y , 由22 182x y y kx t ?+=???=+? ,得()222 148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+,2122 4814t x x k -=+,从而224,1414kt t M k k -?? ?++?? 已知OM =()2 222 214116k t k += +. ()( )()222 2 2 2 1 2 122284814141414kt t AB k x x x x k k k ?? --????=++-=+-??? ???++?????? Q () () () 222 2 21682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ,则2 2 2 1t d k =+, ()()() 22 22 2 2221682114114AOB k t t S k k k ?-+=+?++. 将() 2222 214116k t k += +代入化简得() () 222 2 219241116AOB k k S k ?+= +. 令2 116k p +=, 则()() ()2 2 2 22 211211192414116AOB p p k k S p k ?-??-+ ?+??==+2 11433433p ????=--+≤?? ???????. 当且仅当3p =时取等号,此时AOB ?的面积最大,最大值为2. 22.解:(1)曲线1C 的普通方程为()2 224x y -+=,即22 40x y x +-=. 将cos sin x y ρθ ρθ =?? =?代入化简得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. (2)将2C 的参数方程代入1C 的普通方程()2 224x y -+=中,得2 8 305 t t + -=, 设P ,Q 两点的参数分别为1t ,2t ,则12 128530 t t t t ? +=-???=-,1t 、2t 异号, 121212 1111 t t AP AQ t t t t -+=+= == = . 23.解:(1)由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+, 则12213x x x ?≥???-<+?,或102 123 x x x ? <??-<+?, 或012 3.x x x ≤??-<-+?, 解得 1 42x ≤<,或102 x <<,或20x -<≤,即24x -<<, 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. (2)证明:由 1 |31| 3 x y -+≤, 1 |21| 6 y-≤, 所以 217 ()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21| 326 f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=.