三角函数专项复习
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时,s in α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性:
当0°<α<90°时,t an α随α的增大而增大,
7、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B =90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)
A
90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
对
边
C
8、应用举例:
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
仰角
铅垂线
水平线
视线
视线
俯角
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即
h
i
l
=。坡度一般写成1:m的形式,如1:5
i=等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan
h
i
l
α
==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东45°(东北方向), 南偏东45°(东南方向), 南偏西45°(西南方向),北偏西45°(西北方向)。
类型一:直角三角形求值
例1.已知Rt△ABC中,,
12
,
4
3
tan
,
90=
=
?
=
∠BC
A
C求AC、AB和cos B.
例2.已知:如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,?
=
∠
4
3
sin AOC
求:AB及OC的长.
:
i h l
=
h
l
α
例3.已知A
∠是锐角,
17
8
sin=
A,求A
cos,A
tan的值
对应训练:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AB=5,则tanA的值为
A.
5
5
B.
25
5
C.
1
2
D.2
2.在△ABC中,∠C=90°,sin A=
5
3
,那么tanA的值等于().
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
类型二.利用角度转化求值:
例1.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°.D是AC边上一点,DE⊥AB于E点.
DE∶AE=1∶2.
求:sin B、cosB、tan B.
例2. 如图,直径为10的⊙A经过点(05)
C,和点(00)
O,,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
3
5
D.
4
5
对应训练:
3.如图,O
⊙是ABC
△的外接圆,AD是O
⊙的直径,若O
⊙的半径为
3
2
,2
AC=,则
sin B的值是( )
D
C
B
A
O
y
x
第8题图
A
.
2
3
B.
3
2
C.
3
4
D.
4
3
4. 如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知
8
AB=,10
BC=,AB=8,则tan EFC
∠的值为 ( )
A.
3
4
B.
4
3
?C.
3
5
?D.
4
5
A D
E
C
B
F
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.
例2.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.
求:sin∠ABC的值.
对应训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
2.已知:如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sinB.
3. △ABC中,∠A=60°,AB=6cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是
A.23cm2??B.43cm2
C.63cm2????? D.12cm2
类型四:利用网格构造直角三角形
例1 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()
A.
1
2
B.
5
5
C.
10
10
D.
25
5
对应训练:
1.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.
2.正方形网格中,AOB
∠如图放置,则tanAOB
∠的值是()
A.错误!? B. 错误! C.错误! D. 2
类型五:取特殊角三角函数的值
1).计算:?
-
?
+
?60
tan
45
sin
2
30
cos
2.
2)计算:?
-
?
+
?30
cos
2
45
sin
60
tan2.
3)计算:3-1+(2π-1)0-
3
3
tan30°-tan45°
4).计算:
30
tan
2
3
45
sin
60
cos
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
-
?
+
?
+.
5).计算:
tan45sin30
1cos60
?+?
-?
;
类型六:解直角三角形的实际应用
C
B
A
A
B
O
例1.如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B在同一直线上,则A B两点的距离是(
)
A . 200米 B. 200米 C . 220米 D. 100()米
例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠B AC=60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离
m
23=DE ,求点B到地面的垂直距离B C.
例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m. 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长.
对应训练:
1..如图,小聪用一块有一个锐角为30?的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.
2.如图,为测量某物体AB 的高度,在D点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为( )
A. 10
米
B . 10米
C . 20
米
D .
米
A B
C
D E
类型七:三角函数与圆:
例1. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D,B
是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )
A.12 B
.2 C .3
5
例2. 已知:在⊙O中,AB是直径,CB 是⊙O的切线
,连接AC 与⊙O交于点D,
(1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=
3
4
,求⊙O 的半径。
对应训练:
1.如图,DE 是⊙O的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.
(1)求证:BF 是⊙O 的切线;
(2)若5
4
C cos , DE=9,求BF 的长.
作业:
A
第8题图
C
B A
1.已知2
1
sin =
A ,则锐角A 的度数是( ) A .75?
B .60??
C .45? D.30? 2.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 则ta nA 的值为( )
C.12
D.2 3.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5
3,那么tan A 的值等于( ).
A.35
B . 45
C . 34
D . 43
4. 若sin α=3
2
,则锐角α= . 5.将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则t an α的值是
A .
21 B .2
C .25 D.5
52 6.如图,AB 为⊙O的弦,半径
OC ⊥AB 于点D,若OB 长为10, 3
cos 5
BOD ∠=, 则A B的长是
A . 20
B . 16
C . 12 D. 8 7.在Rt△ABC 中,∠C=90°,如果co sA=5
4
,那么ta nA的值是( ) A.
53 B .35 C.43 D .3
4 8. 如图,在△AB C中,∠ACB =∠ADC = 90°,若sin A =3
5
,则co s∠BCD 的值为 .
9.计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2
10.计算?+?-?-?45tan 30tan 345cos 260sin 2.
112
604cos 30+sin 45tan 60-?.
α
D
C
B
A
12.已知在Rt △AB C中,∠C=90°,a=64,b=212.解这个直角三角形
13. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC (3) 求证:∠A OD=2∠C (4) 若AD=8,tanC =
3
4
,求⊙O 的半径。
14.如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端
B 处的俯角为30?,荷塘另一端D 处
C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16C
D =米, 求荷塘宽BD 为多少米?(结果保留根号)
15.如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海
里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.
(1)B处距离灯塔P 有多远?
(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海
里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险,并说明理由.
?
D
B
O
A
C