泊松分布的应用
泊松分布的应用
泊松分布的应用
摘要
泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；
一、 计数过程为广义的泊松过程
1．计数过程
设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。
将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤?=,它表示时间间隔 t), t [ 0出现的质点数。“在 t), t [ 0出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为
2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得
到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。
2．泊松过程
计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =;
(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1?+?==?+=?+λ其中常数
0>λ,称为过程)(t N 的强度。
(4)对于充分小的Δt
(){}()t j t t t N P t t t P j j j ?==?+=?+∑∑∞
=∞=ο2
2
,),(
亦即对于充分小的t ?,在()t t t ?+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔出现质点数目的计数。 二、 泊松分布的概念：
泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。
定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且
{}0,,2,1,0,!
>===-λλ
k e k x k X P k 为常数。
则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ P (λ) 。
定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。
主要结论：
定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D(X) =λ。
证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布P(X) ,即有:
0 , , ,2 ,1 0 k ,!
k} X P{>===-λλλ e k k
则()()λλλλλλλλ
λ
=?=-==-
∞
=--∞
=-∑∑
e e k e
k e k X E k k k k
11
0!1!
从而()()()
λλλλλλλ
λ
+=-+-==-∞
=-∞
=--∞
=∑
∑
∑212
2
2
2
!1!2!
e k e k e
k k
X
E k k
k k k k
故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==
定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为
{}n k p p C k x P k n n k
n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。
又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞
→=
=e k k x P k
n n !
lim 。
证明 由λ=n np 得:
{}()()n n
k
n k
k
n k
n n n k n n k n n k k n n n k x P ?--???
??-???????
??? ??--????? ??-???? ?
?-?=
?
?? ?
?-??? ??+--==λλλλ11121111!1!11
显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有
λλ-?-→?
?? ?
?-→??? ??--????? ??-???? ??-?e n n k n n n n
k
n 1,11121111
从而{}λ
λ-→
=e k k x P k
n 1
，故{}λλ-∞
→=
=e k k x P k
n n !
lim 。
定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:
dt e
x p P x
t ?
∞
--
∞
→=
?
??
???<
-2
221
lim π
λλλλ
证明 已知ελ的特征函数为()()1
-=Φit e e t λλ,故()
λλεληλ-=的特征函数
为:
()1
-=???
? ??Φ=-λλλλλλit
e
t
t
e e
t t g
对任意的t ,有()∞→??
?
??+-+=λλολλλ
1!212t it
e
it
。
于是()∞→-→???
???+-=-???
? ?
?-λλολλλλ
212122t t t i e
it
。 从而对任意的点列∞→n λ,有()2
2
lim t e
t g n n -
∞
→=λλ。
但是2
2t e
-
是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布
函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x) 的特征函
数Φ( t )。所以dt e
x P x
t n n n n ?
∞
--
∞
→-=??
?
??????
?<-2
2
21lim πλλελλ成立;又因为n λ是可以任意
选取的,这就意味着dt e
x p P x
t ?∞
--
∞
→=
?
??
???<-2
2
21
lim π
λλλλ成立。
图一 泊松分布示意图
三、 泊松分布及泊松分布增量
1.泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流) 。
例如一放射性源放射出的α粒子数;某交换台收到的呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。
2.泊松分布及泊松分布增量的概率 (1)泊松分布的概率:
对泊松流,在任意时间间隔(0, t),事件出现的次数服从参数为λt 的泊松分布,λ称为泊松流的强度。
设随机变量X 所有可能取的值为0, 1, 2, ?,且概率分布为:
2 1, 0, k ,!
e
k) (X P k
-===k λλ
其中0>λ是常数,则称X 服从参数为λ的泊松
分布,记作X ～P (λ)。
(2)泊过分布增量的概率:
2 1, 0, k , t t ,e !
] ) t - t ([ }k t), t ( {N P t), t ( P 0) t - t (-k 000k 0=>===λλk
由上式易知增量) t ( N - t)( N t), t ( N 00=的概率分布是参数=) t - t (0λ的泊松分布,且只与时间0t t -有关。
3.泊松分布的期望和方差：
由泊松分布知) t - t ( ] ) t ( N - t)( [N D ] ) t ( N - t)( E[N 0 00λ==
特别地,令00=t ,由于假设N (0) = 0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：
t, ] t)( [N D ,t ] t)( E[N λλ==
泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔出现的质点数目的期望值。即对泊松分布有:λ== (X) D (X) E