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高考文科数学解答题专题训练(三)立体几何

大题专项练(三)立体几何

A组基础通关

1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,平面A1BC1⊥平面BCC1B1.

证明:(1)AC∥平面A1BC1;

(2)平面AB1C⊥平面A1BC1.

几何体为三棱柱?四边形ACC1A1为平行四边形?AC∥A1C1,又A1C1?平面A1BC1,AC?平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1.

(2)∵BC=CC1且四边形BCC1B1为平行四边形,

∴四边形BCC1B1为菱形,∴B1C⊥BC1.

又平面A1BC1⊥平面BCC1B1,平面A1BC1∩平面BCC1B1=BC1,∴B1C⊥平面A1BC1.

又B1C?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面A1BC1.

2.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.

(1)求证:SA∥平面PCD;

(2)求圆锥SO的表面积和体积.

PO,∵P、O分别为SB、AB的中点,

∴PO∥SA,由于PO?平面PCD,SA?平面PCD,

∴SA∥平面PCD;

SO=2,OB=2,SO 为圆锥的高,OB 为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr 2h=13π×22×2=8π3

由于SO 为圆锥的高,则母线 SB=√SO 2+OB 2=2√2,

∴S 侧面=12l ·SB=1

2×2×π×2×2√2=4√2π,S 底面=πr 2=π×22=4π,故S=S 底面+S 侧面=(4+4√2)π.

3.等边三角形ABC 的边长为3,点D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且满足AD

DB =CE

EA =1

2,如图甲,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使平面A 1DE ⊥平面BCED ,连接A 1B ,A 1C ,如图乙,点M 为A 1D 的中点.

(1)求证:EM ∥平面A 1BC ; (2)求四棱锥A 1-BCED 的体积.

取BD 的中点N ,连接NE ,则NE ∥BC ,

在四棱锥A 1-BCED 中,NE 与BC 的平行关系不变.

连接MN ,在△DA 1B 中,MN ∥A 1B ,又NM ∩NE=N ,BA 1∩BC=B ,∴平面MNE ∥平面A 1BC , 又EM ?平面MNE ,∴EM ∥平面A 1BC.

(2)∵等边三角形ABC 的边长为3,且AD

CE EA

=12

,∴AD=1,AE=2.在△ADE 中,∠DAE=60°,

由余弦定理得DE=√12+22-2×1×2×cos60°=√3, 从而AD 2+DE 2=AE 2,∴AD ⊥DE.

折起后有A 1D ⊥DE ,∵平面A 1DE ⊥平面BCED , 平面A 1DE ∩平面BCED=DE ,A 1D ?平面A 1DE ,

∴A 1D ⊥平面BCED.

∴四棱锥A 1-BCED 的体积V=1

3S 四边形BCED ·A 1D ,

连接BE ,则S 四边形BCED =1

2CB ·CE sin ∠BCE+1

2BD ·DE=1

2×1×3×sin 60°+1

2×2×√3=7√3

∴V=1

7√3×1=7√3

4.如图所示,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF ∥AB ,EF ⊥FB ,∠BFC=90°,BF=FC ,H 为BC 的中点. (1)求证:FH ∥平面EDB ; (2)求证:AC ⊥平面EDB ; (3)求四面体B-DEF 的体积.

AC 与BD 交于点G ,则G 为AC 的中点,如图所示,连接EG ,GH.∵H 为BC 的中点,∴GH ∥AB.

∵EF ∥AB ,∴EF ∥GH.又∵EF=GH=1

AB , ∴四边形EFHG 为平行四边形,∴EG ∥FH. ∵EG ?平面EDB ,FH ?平面EDB , ∴FH ∥平面EDB.

四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC.

∵EF ∥AB ,∴EF ⊥BC.

又∵EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH?平面BFC,∴EF⊥FH,

∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC的中点,

∴FH⊥BC,

又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,

∴FH⊥AC.∵FH∥EG,∴AC⊥EG.

∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.

(3)∵EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.

又∵EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=√2,

∴V四面体B-DEF=1

3×1

×1×√2×√2=1

5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AD⊥CD.

(1)证明:AB⊥平面ADE;

(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.

CD⊥AD,CD⊥DE,AD∩DE=D,

所以CD⊥平面ADE,

因为四边形CDFE为矩形,所以EF∥CD.

又EF?平面ABCD,CD?平面ABCD,

所以EF∥平面ABCD.

因为EF∥平面ABCD,EF?平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,

所以EF∥AB,

又EF∥CD,所以CD∥AB,

又CD⊥平面ADE,所以AB⊥平面ADE.

CD⊥AD,CD⊥DE,所以∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角,所以∠ADE=120°.

S△ADE=1DA·DE·sin∠ADE=1×2×1×√3=√3.于是V三棱锥E-ABD=V三棱锥B-ADE=1S△ADE·AB=1×

√3×1=√3.

6.如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=√2,BC=2,截面EBD是等边三角形,M,N 分别是AD,CE的中点.

(1)求证:MN∥平面EAB;

(2)若EC=EA,AB⊥DE,求三棱锥E-BMN的体积.

,取EB的中点F,连接AF,NF,

BC,

在△ECB中,易得NF 1

BC,

又在平行四边形ABCD中,AM 1

∴NF AM,

∴四边形AMNF是平行四边形,

∵MN∥AF,AF?平面EAB,MN?平面EAB,

∴MN ∥平面EAB.

,连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,

在等腰△EAC 中,EA=EC ,∴EO ⊥AC , 又在等边△EBD 中,EO ⊥BD ,

∴EO ⊥平面ABCD.

∴EO ⊥AB.又AB ⊥DE ,EO ∩DE=E , ∴AB ⊥平面BDE ,

∴AB ⊥BD.∴V E-BMN =V N-EBM =1

2V C-EBM =1

2V E-BCM =1

6S △BCM ·EO ,

又S △BCM =S △ABC =1

AB ·BD=1·√2·√2=1,

EO=√2·√32=√6

∴V E-BMN =1

6×1×√6

2=√6

12.

B 组能力提升

7.如图,四棱锥A-BCDE 中,CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD ,AB ⊥BC ,M 为AD 上一点,EM ⊥平面ACD.

(1)求证:EM ∥平面ABC ;

(2)若CD=2BE=2,求点D 到平面EMC 的距离.

AC 的中点F ,连接BF ,因为AB=BC ,所以BF ⊥AC ,

又因为CD ⊥平面ABC ,所以CD ⊥BF ,又CD ∩AC=C ,所以BF ⊥平面ACD , 因为EM ⊥平面ACD ,所以EM ∥BF ,EM ?平面ABC ,BF ?平面ABC , 所以EM ∥平面ABC ;

EM ⊥平面ACD ,EM ?平面EMC ,所以平面CME ⊥平面ACD ,

平面CME ∩平面ACD=CM ,过点D 作直线DG ⊥CM ,则DG ⊥平面CME. 由已知CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD=2BE ,可得AE=DE , 又EM ⊥AD ,所以M 为AD 的中点. 在Rt △ABC 中,AC=√2BC=2√2,

在Rt △ADC 中,AD=√CD 2+AC 2=2√3,S △CDM =1

2S △ACD =1

2×1

2×2×2√2=√2,

在△DCM 中,CM=1

2AD=√3,由等面积法知1

2×CM×DG=√2,

所以DG=2√6

3,即点D 到平面EMC 的距离为2√6

8.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D ,E 分别为AB 和BB'上的点,且AD

DB =BE

EB '=λ.

(1)求证:当λ=1时,A'B ⊥CE ;

(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE 的体积最小,并求出最小体积.

λ=1,∴D ,E 分别为AB 和BB'的中点,又AB=AA',且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE ⊥A'B.

∵AC=BC ,D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB. ∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱, ∴CD ⊥平面ABB'A',又A'B ?平面ABB'A', ∴CD ⊥A'B ,

又CD ∩DE=D ,∴A'B ⊥平面CDE ,

∵CE ?平面CDE , ∴A'B ⊥CE.

BE=x ,则AD=x ,DB=6-x ,B'E=6-x ,

由已知可得C 到平面A'DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对的高,

h=√AC 2-(AB

2)2

=4,

∴V A'-CDE =V C-A'DE =1

3(S 四边形ABB'A'-S △AA'D -S ΔDBE -S △A'B'E )·h

=1336-3x-1

2(6-x )x-3(6-x )·h =2

3(x 2-6x+36)=2

3[(x-3)2+27](0

∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE 有最小值18.

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ．又F平面F,故平面 F 平面FDC ．（Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ．以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ．由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ．由已知 ,// F,所以//平面FDC ．又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ．由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．

设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ．设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10．（Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ；（Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25

届高三文科数学立体几何专题训练

2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求证：AE ⊥BD ；（3）求三棱锥D —A 1BA 的体积． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F

F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ；（2）求证：//AD 平面CEF ；（3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；

2011—2017高考全国卷文科数学立体几何总结

新课标全国卷文科数学总结立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 28π 3 ，则它的表面积是（） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ，α∥平面11C B D ，α平面ABCD m =， α 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（） A ． 2 B ．2 C ．3 D ．13 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?，求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分（2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。（1）求证：BC 1//平面CA 1D ；（2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【基础知识点】一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质性质定理图形条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行．二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面类型一、平行与垂直例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C

高中文科数学立体几何知识点总结材料

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l l

方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起贵州省遵义市习水县第一中学袁嗣林摘要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。关键词：一题多解；多题一解；立体几何一、一题多解例1 （安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F—OBED的体积。分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。（I）解法一（传统法）：证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

∥，OG=OD=2，同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合. 在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF 的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. 解法二（向量法）：过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知则有所以即得BC∥EF. （II）略评注：向量法和传统法有时可以转换着使用，主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线，进而建立直角坐标系。例2 （湖北理18）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案：解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案：见解析解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ，于是得到平面//NGHM 平面1C DE ，由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

立体几何大题题库

立体几何解答题题库 1. 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =AB =AC =3，平面//α平面P AB ，且α与棱PC ，AC ，BC 分别交于P 1，A 1，B 1三点．（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明；（2）若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P 1A 1B 1C 的体积更小），D 为线段B 1C 的中点，求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积． 2. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)． (1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)证明：BD ∥平面PEC ； (3)线段BC 上是否存在点M ，使得AE ⊥PM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 3.如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =?=为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EH ⊥BD ；

（Ⅱ）求四棱锥D -ABFE 的体积. 4. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面⊥PAD 底面ABCD ，12 1 == =AD BC AB ，090=∠=∠ABC BAD . （1）证明：：AB PD ⊥；（2）点M 在棱PC 上，且CP CM λ=，若三棱锥ACM D -的体积为3 1 ，求实数λ的值. 5. 已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD =DC =a ，AD =，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。 6. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点. （1）求证：平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；（2）求证：A 1C ∥平面AB 1E ．

高三文科数学立体几何专题练习加详细答案

高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//

【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ，是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

高中文科数学立体几何知识点总结

γm βα l l α β立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 α l 符号表示： 2. 线面相交 α A l 符号表示： 3. 线在面内 α l 符号表示：二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二：用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。若αα⊥⊥m l ,，则m l //。方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则 m l //。 2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方法二：用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三：用平面法向量实现。若n 为平面α的一个法向量， l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α

三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α

文科立体几何解答题类型总结及其答案

F E C A D B A 1 C 1B 1 B C A D F E A B C M N A 1 B 1 C 1 B C B A 1 C 1 A D C 1 D 1 B 1 A C D A B E 《立体几何》解答题 1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD. 2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C. （第1题）（第2题）（第3题）（第4题） 3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：BC ∥平面MNB 1；（Ⅱ）求证：平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1． 4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC, 点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M ⊥平面CDB 1 5. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AB 1E ；（Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积. 6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点. 求证：（Ⅰ）A 1C ∥平面FBD ；（Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B. （第5题）（第6题）（第7题） C 1 D 1 B 1 C D A 1

高考文科数学专题5 立体几何高考文科数学 (含答案)

专题五立体几何第一讲空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；

③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ，故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

《立体几何》专题(文科)

高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1

线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC．

立体几何高考真题全国卷

（2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．（2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M

（2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．（2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积.

（2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．