高一兴趣导数大题目专项训练
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1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -U 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈-U ),求证:当1a =-时,1
|()|()2
f x
g x >+;
2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足:
()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数).
(1)求()()()F x h x x ?=-的极值;
(2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
3. 设关于x 的方程012
=--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1
2)(2+-=x m
x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),(
),(βμ
λμβ
λααf f f ++的大小;
②证明.|||)()(|βαμ
λλβ
μαμλμβλα-<++-++f f
4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值.
(I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间;
(II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -<
21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由.
5.若函数()()2
ln ,f x x g x x x
==-
(1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间;
(2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.
6、已知函数.2
3)32ln()(2x x x f -+= (I )求f (x )在[0,1]上的极值;
(II )若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1
,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围; (III )若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围
7.已知 ()()ln f x ax b x =+-,其中0,0a b >>.(Ⅰ)求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件;(Ⅱ)求)(x f 在[)0,+∞上的最大值;(Ⅲ)解不等式
ln 1ln 21?+-≤- ?.
8.已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+. (1)求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值;
(2)求证:在区间[1,)+∞上,函数()f x 的图象在函数3
2()3
g x x =的图象的下方; (3)求证:[()]()n
n
f x f x ''-≥22(n
n -∈N *).
9.已知函数)0()(,ln )(<==a x
a
x g x x f ,设)()()(x g x f x F +=。 (Ⅰ)求F (x )的单调区间;
(Ⅱ)若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤
k 恒成立,求实数a 的最小值。
(Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数1)1
2(
2
-++=m x a g y 的图象与)1(2
x f y +=的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说名理由。
10.已知函数2
1()2,()log 2
a f x x x g x x =
=-(a >0,且a ≠1)
,其中为常数.如果()()()h x f x g x =+ 是增函数,且()h x '存在零点(()h x '为()h x 的导函数)
. (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)(x 1 021 ()y y g x x x -'=-(()g'x 为()g x 的导函数),证明:102x x x <<. 参考答案 1.解:(Ⅰ)当[,0)x e ∈-时,(0,]x e -∈,故有()ln()f x ax x -=-+-,由此及()f x 是奇函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-?=--,因此,函数()f x 的解析式为 ln() (0) ()ln (0) ax x e x f x ax x x e ---≤=? +<≤?; (Ⅱ)当[,0)x e ∈-时,11 ()ln()()ax f x ax x f x a x x -'=--?=-= : ①若10a e -≤<,则11111 ()0f x a x e x e e '=- ≥--≥-+=?()f x 在区间[,0)e -上是增函数,故此时函数()f x 在区间[,0)e -上最小值为()()ln 3f e a e e -=--=,得4 a e =-,不符合 10a e -≤<,舍去。②若1a e <-,则令1()0(,0)f x x e a '=?=∈-,且()f x 在区间1,e a ? ?-??? ?上 是减函数,而在区间1,0a ??????上是增函数,故当1x a =时,min 11[()]1ln f x f a a ???? ==-- ? ????? . 令21131ln 3f a e a a ???? =?--=?=- ? ????? . 综上所述,当2a e =-时,函数()f x 在区间[,0)e -上的最小值是3. (Ⅲ)证明:令1 ()|()|()2 F x f x g x =-- 。当0x e <≤时,注意到ln x x >(设h(x)=x-lnx ,利用导数求h(x)在0x e <≤的最小值为1,从而证得x-lnx >1),故有 ln 1ln 1 ()|ln |ln 22 x x F x x x x x x x =-- -=---. ①当02x <<时,注意到1ln x x -≥,故 1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -???? =-+->-+--=-=> ? ???? ?; ②当2x e ≤≤时,有2222 11ln 1ln 421ln 2 ()10x x x x F x x x x x ---+--+'=--=≥>,故函数()F x 在区间[2,]e 上是增函数,从而有 ln 213 ()2ln 2(1ln 2)0222F x ≥-- -=->。 因此,当0x e <≤时,有1 |()|()2 f x g x >+。 又因为()F x 是偶函数,故当0e x -≤<时,同样有()0F x >,即1|()|()2 f x g x >+. 综上所述,当1a =-时,有1 |()|()2 f x g x >+ ; 2. 【解】(Ⅰ) ()()()F x h x x ?=-=Q 2 2ln (0)x e x x ->, 2 ()2e F x x x '∴=- = 当x =()0F x '=. Θ当0x <<()0F x '<,此时函数()F x 递减; 当x >()0F x '>,此时函数()F x 递增; ∴当x = ()F x 取极小值,其极小值为0. (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知函数)(x h 和)(x ?的图象在e x = 处有公共点,因此若存在) (x h 和)(x ?的隔离直线,则该直线过这个公共点. 设隔离直线的斜率为k ,则直线方程为)(e x k e y -=-,即 e k e kx y -+=. 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥,可得 02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立. 2)2(e k -=?Θ, ∴由0≤?,得e k 2=. 下面证明e x e x -≤2)(?当0>x 时恒成立. 令()()G x x e ?=-+e x e x e +-=2ln 2,则 2 ()e G x x '= -=, 当x =()0G x '=. Θ当0x <<()0G x '>,此时函数()G x 递增; 当x >()0G x '<,此时函数()G x 递减; ∴当x = ()G x 取极大值,其极大值为0. 从而()2ln 0G x e x e =-+≤,即)0(2)(>-≤x e x e x ?恒成立. ∴函数()h x 和()x ?存在唯一的隔离直线y e =-. 解法二: 由(Ⅰ)可知当0x >时,()()h x x ?≥ (当且当x =) .……7分 若存在()h x 和()x ?的隔离直线,则存在实常数k 和b ,使得 ()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ?≤+>恒成立, 令x = e b ≥+ 且e b ≤+ b e ∴=,即e k e b -=. 后面解题步骤同解法一. 3. (I )解:01,2 =--mx x 是方程βαΘ的两个实根, ?? ?-=?=+∴. 1, βαβαm .1 )()(212)(2 2αβααβααβ αβααααα=--=-+-=+-= ∴m f .1)(=∴ααf …………3分 (II )1 2)(2 +-= x m x x f Θ, .)1() 1(2)1(2)2()1(2)(2 2222+---=+?--+='∴x mx x x x m x x x f …………4分 当.0))((1,),(2 <--=--∈βαβαx x mx x x 时 …………5分 而0)(>'x f , ),()(βα在x f ∴上为增函数。 …………7分 (III )①βαμλ<>>且,0,0Θ . .0) ()(, 0)()(βμ λμβλααμ λβαλμλβμλμβλαβμλμβλαμλαβμμλαμλμβλααμλμβλα<++<∴<+-=++-+=-++>+-=++-+=-++∴ …………9分 由(II ),可知).()( )(βμ λμβ λααf f f <++< …………10分 ②同理,可得).()( )(βμ λλβ μααf f f <++< ).()()()( )()(αβμ λλβ μαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴ .|)()(||)()( |βαμ λλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴ …………12分 又由(I ),知.1,1 )(,1)(-=== αββ βα αf f .|||| |1 1 | |)()(|βααβ α ββ αβα-=-=- =-∴f f 所以.|||)()( |βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f …………14分 4. 解:(I )22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++,由条件得:(1)0f '=. 230a b ∴++=,32b a ∴=--. (1分) 22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->得:(1)[(3)]0x x a ---->. 当4a =-时,1x =不是极值点,4a ∴≠-. (2分) 当4a >-时,得1x >或3x a <--;当4a <-时,得3x a >--或1x <. (4分) 综上得:当4a >-时,()f x 的单调递增区间为(,3)a -∞--及(1,)+∞ 单调递减区间为(3,1)a --. (5分) 当4a <-时,()f x 的单调递增区间为(,1)-∞及(3,)a --+∞ 单调递减区间为(1,3)a --. (6分) (II )(0,1)a ∈时,由(I)知()f x 在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增. ∴当[0,2]x ∈时,11min ()(1)(1)(2)f x f a b e a e --==++=--. 又2(0)(32)f a e -=--,(2)421f a b =++=,则(2)(0)f f >. ∴当[0,2]x ∈时,1()[(2),1]f x a e -∈--. (8分) ∴由条件有: 2112max min max [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e -=++. 2(2)2m a m a ++>+.即2(1)20m a m ++->对(0,1)a ∈恒成立. 令2 ()(1)2g a m a m =++-,则有:2 2 (0)20 .(10)(1)10g m g m m ?=-≥??=+-≥?? 分 解得:m 或m (14分) 5. 【解】:(1)由题意知: ()x ?的定义域为()0,+∞, ()22 2 x kx x x ?++'= 令()22p x x kx =++ 28k ?=- 当2 80k ?=-≤时,即k -≤≤, ()0x ?'≥ 当2 80k ?=->时,即k k ><- 方程2 20x kx ++=有两个不等实根, 12x x == 若k >120x x <<,则在()0,+∞上()0x ?'> 若k <-则120x x <<, ()()()()()()11220,,0,,,0,,,0x x x x x x x x x x ???'''∈>∈<∈+∞>当当当 所以:综上可得: 当k <-时, ()x ?的单调递增区间为0,,22k k ??? --+∞ ? ? ?????,单调递减 区间为,22k k ?? --+ ? ??? ; 当k >()x ?的单调递增区间为()0,+∞ (2)解法一:因为[),x e ∈+∞,所以ln ln 1 x x x x ax a a x ≥-?≤- 令()[)ln ,,1x x h x x e x = ∈+∞-,则()() 2 ln 1 1x x h x x --'=- 当[),x e ∈+∞时,()1 ln 110x x x '--=->,故ln 1ln 120x x e e e --≥--=-> 所以:()() ()()2 min ln 1 01 1x x e h x h x h e e x --'= >∴== -- 1 e a e ∴≤ - 解法二:()ln 0xf x ax a x x ax a ≥-?-+≥ 令()ln h x x x ax a =-+ 当[),x e ∈+∞时()min 0h x ≥ ()()1ln 1,0a h x x a h x x e -''=+-==由得: ()()()()110,,0,,,0a a x e h x x e h x --''∈<∈+∞>当时当时 所以()h x ()10,a e -上单调递减,在() 1,a e -+∞单调递增 ①当2a ≤时,()1,a e e h x -≤在[),x e ∈+∞上单调递增,()()min 0h x h e e ae a ==-+≥ 1 e a e ∴≤ - ②当2a >时,()0h e e a ae ≥?+≥ 若2a e <<,则2e a e ae +<<;若a e ≥,则2e a a ae +≤< 故2a >不成立, 综上所得:1 e a e ≤ - 6.解:(I )2 3) 13)(1(33323)(+-+-= -+= 'x x x x x x f , 令131 0)(-==='x x x f 或得(舍去) )(,0)(,3 1 0x f x f x >'<≤∴时当单调递增; 当)(,0)(,131 x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(6 1 3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 (II )由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323 ln ln 323ln ln ++<+->或, …………① 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=, x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=, 依题意知]31 ,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立, 0)32(2 ) 32(33)32(3332)(2 >+=+?-+?+= 'x x x x x x x x g Θ, 03262)62(31323)(2 2>++=+?+= 'x x x x x x x h , ]31 ,61[)()(都在与x h x g ∴上单增,要使不等式①成立, 当且仅当.51ln 31ln ),6 1()31(<><>a a g a h a 或即或 (III )由.022 3 )32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则, 当]3 7 ,0[)(,0)(,]37, 0[在于是时x x x ??>'∈上递增; 当]1,3 7[)(,0)(,]1,37[ 在于是时x x x ??<'∈上递减 而)1()3 7 (),0()37( ????>>, ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于 ?? ??? ? ??? ≤-+=>-+ -+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3 7(02ln )0(b b b ??? .3 7 267)72ln(215ln +-+<≤+ ∴b 7. 解:(1)()1a a b ax f x ax b ax b --'=-= ++. 0,0,0x a b >>Q ≥, ()0f x '∴≤时,0a b -≤,即a b ≤. 当a b ≤时,0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--Q ≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥. ………(4分) (2)由(1)知,当b a ≥时()f x 为减函数,()f x 的最大值为(0)ln f b =; 当b a <时,()a b ax f x ax b --'=+Q ,∴当0a b x a -<≤时,()0f x '>,当a b x a ->时()0f x '<, 即在[0, )a b a -上()f x 是增函数,在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数,a b x a -= 时()f x 取最大值, 最大值为max ()()ln a b a b f x f a a a --==-, 即max ln (), ()ln ().b b a f x a b a b a a ?? =?-- ? ≥ ……(13 分) (3)在(1)中取1a b ==,即()ln(1)f x x x =+-, 由(1)知()f x 在[0,)+∞上是减函数. ln(1ln 21-Q ,即(1)f f ≤, 1 0x < 或x . 故所求不等式的解集为 )+∞U ……………(8分) 8.解:(1)∵f ' (x )=1 x x + ∴当x ∈[1,e]时,f ' (x )>0, ∴()f x 在[1,e]上是增函数 故min 1()(1)2f x f ==,2max 1 ()(e)e 12 f x f ==+. ……………………4分 (2)设2312()ln 23 F x x x x =+-,则22 1(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=, ∵1x >时,∴()0F x '<,故()F x 在[1,)+∞上是减函数. 又1(1)06F =-<,故在[1,)+∞上,()0F x <,即2312 ln 23 x x x +<, ∴函数()f x 的图象在函数32 ()3 g x x =的图象的下方. ……………………8分 (3)∵x >0,∴11[()]()n n n n n f x f x x x x x ? ???''-=+-+ ? ?? ???,当1n =时,不等式显然成 立; 当n ≥2时,有11 221 21111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x x x ----''-=? +?++?L 12241 2 1224122421101111[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x -----------=+++?????????????=++++++L L 分 ≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++Λ22n -= ∴[()]()n n f x f x ''-≥22(n n -∈N *) 9解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('2 2>-=-=x x a x x a x x F )上单调递增。在(由+∞∴+∞∈?>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a Θ 由)上单调递减在(a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈?<'。 )),单调递增区间为(的单调递减区间为(+∞∴,,0)(a a x F (Ⅱ)恒成立)30(21)(),30()(02 002≤<≤-='=≤<-= 'x x a x x F k x x a x x F min 020)21(x x a +- ≥ 当212110200取得最大值时,x x x +-= 2 1 ,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………4分 (Ⅲ)若21 211)1 2(22-+=-++=m x m x a g y 的图象与 )1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点, 即 )1ln(2 1 2122+=-+x m x 有四个不同的根,亦即 2 1 21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。 令2 1 21)1ln()(22+-+=x x x G , 则1 )1)(1(1212)(2232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。 当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表: 由表格知:02ln )1()1()(,2 )0()(>=-=== =G G x G G x G 最大值最小值。 画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知,当)2ln ,2 1 (∈m 时, 恰有四个不同的交点,与m y x G y ==)( 的图象与时,当21 211)12()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m 交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ………………12分 10.解:(Ⅰ)因为2 1()2log 2 a h x x x x = -+(0)x >, 所 以 21ln 2ln 1 ()2ln ln x a x a h x x x a x a -+'=-+= . …………………………………………3分 因为h (x )在区间(0,)+∞上是增函数, 所以2ln 2ln 10ln x a x a x a -+≥在区间(0,)+∞上恒成立.