概率统计计算与证明题
三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k
= n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =
+ 则 ()()()(|)n n n n k
n k
P B P C B P C P B C ∞
∞
====∑∑
(1)!n
k k n k n
n k
e C
p p n λλ∞
-
-==
-∑
()(1)!()!
k n k
n k n k p e p k n k λλλ-∞--==
--∑ ()!
k p
p e k λλ-=
0,1,k =.
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参
数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的%，今任取100个考生
的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2） EY 和DY .
((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ=
解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472
(6084)(
)p P X σ
-=<≤=Φ
6072
12
(
)2()1σ
σ
--Φ=Φ-
由 9672
24
0.023(96)1()1()P X σ
σ
-=>=-Φ=-Φ
得 24
(
)0.977σ
Φ=，即
24
2σ
=，故
12
1σ
=
所以 2(1)10.6826p =Φ-=.
故Y 的分布列为100100
()(0.6826)(0.3174)k
k k P Y k C -== （2）1000.682668.26EY =?=，68.260.317421.6657DY =?=. 五、（10分）设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1
y x
=
所围成的区域 上服从均匀分布，
（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥. 解：区域D 的面积 22
11
1ln 2e e D S dx x x
===?
(,)X Y 的概率密度为
1
,(,),
(,)20,x y D f x y ?∈?=???其它.
（1）1201,
1,()(,)2
0,.
x X dy x e f x f x y dy +∞-∞
?≤≤?==???
??
其它
21
,1,20,
.
x e x
?≤≤?
=???其它
2211
211,1,21,
1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞
?≤≤???
<≤=
=???
??
???
其它 2
221(1),1211,
1220,
e y e e y y --?-≤≤??
?-<≤=?
???
?其它
（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立. （3）2
(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-
??
1113
110.752244
=-?=-==.
六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。
,)Y 的概率密度为1,(,),
(,)0,.x y D f x y ∈?=??
其它
设Z 的概率密度为()Z f z ，则
()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞
=
-?
1,01,211(,)0,y y z f z y y ?≤≤-<
-=?
??其它
当 1z <-或1z >时()0Z f z = 当 11z -<≤时1
20
1
()2
z Z z f z dy ++==
? 所以Z 的密度为 1
,||1,
()2
0,.
Z z z f z +?
=???其它
解2：分布函数法，设Z 的分布函数为()Z F z ，则
()()()(,)Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
120,1,0,1(1)
,11,11,41, 1.1,1D z z z dxdy z z z z ?≤-?≤-??+??=-<<=-<
≥???≥?
?? 故Z 的密度为
1
,||1,()()2
0,
.
Z Z z z f z F z +?
'==???其它
七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度
2
2(),0,0,()0,0.x x f x x αα-?>>=≤?
12,,,n x x x 为X 的简单随
机样本
（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。 解：（1）先求矩估计
2
3
()10
x
EX dx α
μ-+∞==?
2
2
2
()()0
x
x xe
dx α
α
+∞--+∞=+
=
X α∴=
再求极大似然估计
2
2
(
)11
(,
,;)i
x n
n i L X X α
α-==
322
14()n n
n n x x απ
--=2
2
1
1
n
i i x e
α
=-
∑?
2
22
1
2
1
1
ln 3ln ln(4)ln()n n
n
n i
i L n x x x
απ
α
-==-++-
∑
2
31
ln 320n i i L n x d αααα==-+∑
得α的极大似然估计 α=
（2）对矩估计
E EX αα=
=
= 所以矩估计
X α=
是α的无偏估计.
八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为
1
n
，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程，求EZ .
解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n
X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则
11
(),(),,1,2,,P X i P Y j i j n n n
==
===
2
1
(,)()()P X i Y j P X i P Y j n ====== ||Z i j a =-
于是
11||(,
)n n
i j EZ i j aP X i Y j ===
-==∑∑
2
11
1||n
n
i j i j a n ===
-?
∑∑ 2111()()n i
n i j j i a i j j i n ===+??=-+-????
∑∑∑
2(1)
.3n a n
-=