高考数学一轮总复习解答大题专项训练六大专题
高考大题专项(一) 导数的综合应用
突破1导数与函数的单调性
1.已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)略.
2.已知函数f(x)=e x-ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
(2)略.
3.已知函数f(x)=(x-k)e x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)略.
4.(2019山东潍坊三模,21)已知函数f(x)=x2+a ln x-2x(a∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)略.
5.设函数f(x)=(x-1)e x-x2(其中k∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)略.
6.(2019河北衡水同卷联考,21)已知函数f(x)=x2e ax-1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)略.
突破2利用导数研究函数的极值、最值
1.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)略.
2.(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)=ln x-ax(a∈R)在定义域内的极值点的个数.
3.设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2.
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值;
(2)略.
4.已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,判断f(x)有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由;
(2)略.
5.(2019湖北八校联考二,21)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx.
(1)函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;
(2)略.
6.(2019广东广雅中学模拟)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
突破3导数在不等式中的应用1.(2019湖南三湘名校大联考一,21)已知函数f(x)=x ln x.
(1)略;
(2)当x≥时,f(x)≤ax2-x+a-1,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=a e x-ln x-1.
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.
3.已知函数f(x)=e x+ax+ln(x+1)-1.
(1)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(2)略.
4.函数f(x)=(x-2)e x+ax2-ax.
(1)略;
(2)设a=1,当x≥0时,f(x)≥kx-2,求k的取值范围.
5.已知函数f(x)=.
(1)略;
(2)若f(x) 6.已知x1,x2(x1 (1)求a的取值范围; (2)求证:f(x2)-f(x1)<2ln a. 突破4导数与函数的零点 1.已知函数f(x)=x2-m ln x.若m≥1,令F(x)=f(x)-x2+(m+1)x,试讨论函数F(x)的零点个数. 2.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=x ln x-a(x2-x)+1,函数g(x)=f'(x). (1)若a=1,求f(x)的极大值; (2)当0 3.(2019河南开封一模,21)已知函数f(x)=. (1)略; (2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围. 4.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x3+2(1-a)x2-8x+8a+7. (1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在[0,3]上的值域; (2)当x>0时,记函数h(x)=若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值范围. 5.已知f(x)=x ln x. (1)求f(x)的极值; (2)若f(x)-ax x=0有两个不同解,求实数a的取值范围. 6.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=x ln x-x2-ax+1,a>0,函数g(x)=f'(x). (1)若a=ln 2,求g(x)的最大值; (2)证明:f(x)有且仅有一个零点. 参考答案 高考大题专项(一) 导数的 综合应用 突破1导数与函数的 单调性 1.解(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3. 令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2 当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减. 2.证明(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. 3.解(1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x. 令f'(x)=0,得x=k-1. 当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞). 4.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+-2=, 令2x2-2x+a=0,Δ=4-8a=4(1-2a), 若a,则Δ≤0,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若a<,则Δ>0,方程2x2-2x+a=0,两根为x1=,x2=, 当a≤0时,x2>0,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增; 当0 x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上,当a时,函数f(x)单调递增区间为(0,+∞),当a≤0时,函数f(x)单调递增区间 为,+∞,当0 5.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=e x+(x-1)e x-kx=x e x-kx=x(e x-k), ①当k≤0时,令f'(x)>0,解得x>0,∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞). ②∵当0 ∴f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在(ln k,0)上单调递减. ③当k=1时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. ④当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>ln k,所以f(x)在(-∞,0)和(ln k,+∞)上单调递增,在(0,ln k)上单调递减. 6.解(1)函数f(x)的定义域为R. f'(x)=2x e ax+x2·a e ax=x(ax+2)e ax. 当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减; 当a>0时,f'(x)=ax x+e ax,令f'(x)>0得x<-或x>0,令f'(x)<0得- 当a<0时,f'(x)=ax x+e ax,令f'(x)>0得0 突破2利用导数研究函数的 极值、最值 1.解(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=, 令f'(x)=0,得x=2, 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x(0,2) 2 (2,+∞) f'(x) +0 - ln f(x) ↗ ↘ 2-1 故f(x)的极大值为ln2-1,无极小值. 2.解函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0). 当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点; 当a>0时,若x∈0,,则f'(x)>0,若x∈,+∞,则f'(x)<0, 故函数f(x)在x=处取极大值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数f(x)有一个极大值点. 3.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=3时,f(x)=2ln x-x2+3x+2, 所以f'(x)=-2x+3=, 令f'(x)==0, 得-2x2+3x+2=0,因为x>0,所以x=2. f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下: x(0,2) 2 (2,+∞) f'(x) +0 - 2ln f(x) ↗ ↘ 2+4 所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞). f(x)的极大值为2ln2+4,无极小值. 4.解(1)函数f(x)=,则x>0且x≠1,即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞). 当a=1时,f(x)=,则f'(x)=, 令g(x)=x-ln x-1,则g'(x)=1-, ①当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(1)=0, ∴f'(x)>0,f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以无极值点; ②当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0, ∴f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以无极值点. 综上,当a=1时,f(x)无极值点. 5.解(1)因为f(x)=ln x+ax2+bx,所以f'(x)=+2ax+b, 则在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+2a+b, 由题意可得,1+2a+b=-2,且a+b=-2,解得a=b=-1. 所以f'(x)=-2x-1==-, 由f'(x)=0,可得x=(x=-1舍去), 当0 故当x=时,f(x)取得极大值,且为最大值,f=-ln2-故f(x)的最大值为-ln2-6.解(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+, 令f'(x)=0,得x=1.当0 ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴f(x)max=f(1)=-1. ∴当a=-1时,函数f(x)的最大值为-1. (2)f'(x)=a+,x∈(0,e],则,+∞. ①若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增, ∴f(x)max=f(e)=a e+1≥0,不合题意. ②若a<-,令f'(x)>0得,a+>0,又x∈(0,e],解得0 令f'(x)<0得,a+<0,又x∈(0,e],解得- 从而f(x)在0,-上单调递增,在-,e上单调递减, ∴f(x)max=f-=-1+ln-. 令-1+ln-=-3, 得ln-=-2,即a=-e2. ∵-e2<-, ∴a=-e2符合题意.故实数a的值为-e2. 突破3导数在不等式中的应用1.解(2)由已知得a, 设h(x)=,则h'(x)= ∵y=x ln x+ln x+2是增函数,且x, ∴y≥--1+2>0, ∴当x∈,1时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0, ∴h(x)在x=1处取得最大值,h(1)=1, ∴a≥1. 故a的取值范围为[1,+∞). 2.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x- 由题设知,f'(2)=0,所以a= 从而f(x)=e x-ln x-1,f'(x)=e x- 当0 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. (2)证明当a时,f(x)-ln x-1. 设g(x)=-ln x-1, 则g'(x)= 当0 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a时,f(x)≥0. 3.解(1)若x≥0,则f'(x)=e x++a,令g(x)=e x++a, 则g'(x)=e x-,g'(x)在[0,+∞)上单调递增,则g'(x)≥g'(0)=0, 则f'(x)在[0,+∞)上单调递增,f'(x)≥f'(0)=a+2. ①当a+2≥0,即a≥-2时,f'(x)≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增, 此时f(x)≥f(0)=0,满足题意. ②当a<-2时,因为f'(x)在[0,+∞)上单调递增,f'(0)=2+a<0,当x→+∞时,f'(x)>0. 所以?x0∈(0,+∞),使得f'(x0)=0. 则当0 ∴函数f(x)在(0,x0)上单调递减. ∴f(x0) 综上所述,实数a的取值范围是[-2,+∞). 4.解(2)令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)e x+x2-x-kx+2,则g'(x)=(x-1)e x+x-1-k, 令h(x)=(x-1)e x+x-1-k, 则h'(x)=x e x+1, 当x≥0时,h'(x)=x e x+1>0,h(x)单调递增. ∴h(x)≥h(0)=-2-k,即g'(x)≥-2-k. 当-2-k≥0,即k≤-2时,g'(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, g(x)≥g(0)=0,不等式f(x)≥kx-2恒成立. 当-2-k<0,即k>-2时,g'(x)=0有一个解,设为x0, ∴当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)为单调递减;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 则g(x0) ∴当x≥0时,f(x)≥kx-2不恒成立. 综上所述,k的取值范围是(-∞,-2]. 5.解(2)由f(x) 令h(x)=a ln x-x+,则h'(x)=-1- 令g(x)=x2-ax+1.①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0. ∴当x∈(0,1)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)>h(1)=0,a ln x-x+<0成立. 当x∈(1,+∞)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x) 故-2≤a≤2符合题意. ②当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,设g(x)=x2-ax+1=0的两根为x1,x2(x1 当a>2时,x1+x2=a>0,x1x2=1, ∴0 由h'(x)>0,得x2-ax+1<0,解集为(x1,1)∪(1,x2), ∴h(x)在(x1,1)上单调递增,h(x1) a ln x1-x1+>0,∴a>2不合题意. 当a<-2时,g(x)的图象的对称轴x=<-1,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=1>0, ∴当x∈(0,1)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x)>h(1)=0, a ln x-x+<0成立. 当x∈(1,+∞)时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,h(x) 综上,a的取值范围是(-∞,2]. 6.(1)解由题意得f'(x)=e x+-a,x>-1,令g(x)=e x+-a,x>-1,则 g'(x)=e x-, 令h(x)=e x-,x>-1, 则h'(x)=e x+>0, ∴h(x)在(-1,+∞)上单调递增,且h(0)=0. 当x∈(-1,0)时,g'(x)=h(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,g'(x)=h(x)>0,g(x)单调递增. ∴g(x)≥g(0)=2-a. ①当a≤2时,f'(x)=g(x)>g(0)=2-a≥0. f(x)在(-1,+∞)上单调递增,此时无极值; ②当a>2时,∵g-1=>0,g(0)=2-a<0, ∴?x1∈-1,0, g(x1)=0,当x∈(-1,x1)时, f'(x)=g(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(x1,0)时,f'(x)=g(x)<0,f(x)单调递减,∴x=x1是f(x)的极大值点. ∵g(ln a)=>0,g(0)=2-a<0, ∴?x2∈(0,ln a),g(x2)=0, 当x∈(0,x2)时,f'(x)=g(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,f'(x)=g(x)>0,f(x)单调递增, ∴x=x2是f(x)的极小值点. 综上所述,a的取值范围为(2,+∞). (2)证明由(1)得a∈(2,+∞),-1 ∴x2-x1>0, 1 -a<0,1< ∴f(x2)-f(x1)=+ln-a(x2-x1) =(x2-x1)-a+ln 突破4导数与函数的零点