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人教版高中数学必修2数列综合专项练习讲义

专题数列综合

知识梳理

1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：

分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。等差数列{n a }中，1(1)=+-n

a a n d ，

等比数列{n a }中，n 1n 1a a q -=? ，

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111

n S S n S a n n

n （注意：不能忘记讨论

1=n ）

（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，

求n a 用累加法

（5）逐项作商求积法（累积法）; 已知

)2)((1

≥=-n n f a a n n

，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法

2 几种特殊的求通项的方法（一） 1n n a ka b +=+型。

（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++

（2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m + 构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。

()()d n n na

n a a S n n 212

1-+

=+=

()()

()???

??≠--==111111

q q q a q na S n

（二）、1()n n a ka f n +=+型。

（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。（2）当1k ≠时，可设[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则{}()n a g x +构成等比数列，求出{}()n a g x +的通项，进一步求出{}n a 的通项。（注意()g x 所对应的函数类型）（三）、1()n n a f n a +=型。

（1）若()f n 是常数时，可归为等比数列。（2）若()f n 可求积，可用累积法化简求通项。（四）、11n n n ma a k

m a --=+型。两边取倒数，可得到111n n k k

a a m -=+，令1

n n

C a =，则{}n C 可转化为1n n a ka b +=+型

3.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”

先合并在一起，

再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性

或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的

通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂

后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①

111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k

=-++ ③

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =--++++

例题精讲:

例1、（1）已知数列{}n a 中，11=a ，31+=+n n a a ，求n a

（2）已知数列{}n a 中，11=a ，n a a n n 31+=+，求n a

（3）已知{}n a 中，113,2n n n a a a +==+，求{}n a 。

例2、（1）已知数列{}n a 中，11=a ,n n a a 21=+，求n a

（2）已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+,求n a

例3、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ,求n a

例4 （1）、已知{}n a 中，112,2

n n n

a a a n +==+，求数列{}n a 通项公式。

（2）、数列{}n a 中，1

21,,(2)1n n n a a a n a --==≥+，求{}n a 的通项。

（3）、数列{}n a 中，1

1121,,(2)2n n n n n a a a n a --==≥+，求{}n a 的通项。

（4）、数列{}n a 中，111

1,21,(2)2

n n a a a n n -==+-≥，求{}n a 的通项公式。

（5）、已知{}n a 中，111,22,(2)n n n a a a n -==+≥，求{}n a 。

例 5 已知等比数列{}n a 的公比1q >，是1a 和4a 的一个等比中项，

2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．

例 6 在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+ (2n ≥且*)n ∈N ． ⑵ 求2a 、3a 的值；

⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．

例7、已知数列{}n a 的首项3

21=a ，1

21+=

+n n

n a a a ，Λ3,2,1=n （1）证明：数列???

???-11n a 是等比数列；

（2）求数列???

???n a n 的前n 项和n S 。

高考链接

1、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

n n a S +=，n =1，2，3，……，求

（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a ++++L 的值.

2、已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式

3、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式．

高中数学试卷必修二基础100题

高中数学试卷必修二基础50题一、单选题（共15题；共30分） 1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③不是棱锥 D. ④是棱柱 2.直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为（） A. y＝－2x＋1 B. y＝2x－1 C. y＝－2x－1 D. y＝－x－1 3.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 4.若点到直线的距离为1，则的值为（） A. B. C. 或 D. 或 5.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（） A. 1：2, B. 1：4, C. 1：8, D. 1：16。 6.已知直线，则直线l的倾斜角为（） A. B. C. D. 7.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（） A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 8.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（） A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对 9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（） A. B. 3 C. ﹣3 D. 11.已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（） A. B. C. D. 12.椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（） A. x﹣2y=0 B. x+2y﹣8=0 C. 2x+3y﹣14=0 D. x+2y﹣4=0 13.在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则∥ C. 若，∥，则 D. 若，，∥，则∥ 14.在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 6 15.若两直线，的斜率分别是，，倾角分别是，，且满足，则（） A. B. C. D. 二、填空题（共20题；共24分） 16.曲线在点处的切线方程为________．