因式分解综合复习(简洁而不简单)

第三讲：因式分解综合复习

一、知识点

1、因式分解与整式乘法的区别： 。

2、提公因式的步骤：

① ； ② ； ③ 。

2、常用公式

平方差：))((22b a b a b a -+=-

完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±

立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+

立方差：))((2233b ab a b a b a ++-=-

十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

[]

222222)()()(21222a c c b b a ca ac ab c b a ±+±+±=±±±++ 二、经典例题精讲

题型一、考查公因式及概念

例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）

A ．3)2(322-+=-+x x x x

B ．)()(b a n b a m nb na mb ma +++=+++

C ．22)6(3612-=+-x x x

D ．mn m n m m 22)(22--=+-

练习：

1、把多项式)2()2(2

a m a m -+-分解因式正确的是（ ） A ．))(2(2m m a +- B ．)1)(2(+-m a m

C ．1)()2(--m a m

D ．))(2(2m m a +-

例2、多项式34242323301812yz x z y x z y x -+ 各项的公因式是_________；

练习：1、把多项式2

2441y xy x -+-分解因式 。

题型二、利用合理方法分解因式

1、（公因式法）mn n m mn --2284

2、（平方差）xy xy 09.04

13+-

3、（完全平方）9)(6)(2++-+n m n m

4、（十字相乘）652--x x

5、（十字相乘法）：9853624+-x x

6、（换元法）1)4)(3)(2)(1(+++++x x x x

7、（分组分解法）122222++--+a b ab b a

8、（拆项法）32422+++-b a b a 9、（添项法）444y x +

练习：选择合适的方法分解因式

1、)()(2x a a a x -+-

2、4

233ay ax -

3、9)(24)(162+-+-b a b a

4、361324+-n n

5、8)3(2)3(222-+-+x x x x

6、24)6)(43(22+---+x x x x

7、xy y x 4)1)(1(22--- 8、122222++--+a b ab b a

9、4323+-x x 10、xy x y x x x 2232234-++-

题型三、利用因式分解简算

例1、计算：1

2)12)(12)(12)(12)(12(3216842-+++++ 练习：

1、若101999610005A =??，100049997101B =??，求A B -的值

)10011()411)(311)(211(22222----

、 3、20112008201022122+?-

4、

35

2172515515935312114715105963321??+??+??+????+??+??+?? 5、2299111198111+?-

题型四、利用因式分解求值

例1、已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。

练习：

1、 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。

2、已知3

12=

-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

3、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值

4、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值

5、 已知：41,52222=+=+y x n m ，求多项式2

2)()(my nx ny mx -++的值

6、已知12-=+a a ，求1678+++++a a a a 的值

7、已知1,5

3222=++=

-=-c b a c b b a ，求ac bc ab ++的值

8、已知012=-+a a ，求下列代数式的值

（1） 22-+x x ； （2）33-+x x （3）487-+a a

8、已知a,b,c 满足3=++=++=++a c ca c b bc b a ab ，求)1)(1)(1(+++c b a 的值（a,b,c 为正数）。

题型五、待定系数法的应用

例1、已知4136234+++-kx x x x 是一个完全平方式，求k 的值。

练习：

1、已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，

求常数p 并且分解因式。

2、k 为何值时，25322

2+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

例2、如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

练习：

1、已知多项式20022001200224+++x x x 有一个因式为12++ax x 另一个 因式为20022++bx x ，求b a +的值？

2、已知多项式22ny mx +只能分解为)32(y x +与)32(y x -的积，则mn= 。

题型六、完全平方式的应用

例1、若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）

A.-5

B.3

C.7

D.7或-1

练习：

1、 若422-+-a ax x 是一个完全平方式，则a= 。

例2、若22222011201120102010+?+=a ，a 是一个完全平方数吗，若是，请

说明理由

练习：

1、请说明12015201420132012+???是一个平方数

题型七、整除问题

例1、已知4a-b 是7的倍数，（a 、b 是整数），试说明223108b ab a -+是

49的倍数。

考点16 因式分解综合应用(原卷版)

考点16 因式分解综合应用 一．选择题（共12小题） 1．（2020·南通市八一中学期中）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 222()a c b a c b +=+-，则此三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 2．（2020·安徽月考）已知2225m n +=，mn=12，则33-m n mn 的值为（ ） A ．-84 B ．84 C ．84± D ．300 3．（2020·长春市第五十二中学期中）长、宽分别为,a b 的长方形的周长为14，面积为10， 则22a b ab +的值为（ ） A ．140 B ．70 C ．35 D ．24 4．（2020·山西月考）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ） A ．()()22333a ab b a b b a ++=++ B ．()()22 333a ab b a b a b -+=-+ C ．()()22343a ab b a b a b ++=++ D ．()()22 433a ab b a b a b ++=++ 5．（2020·山西期末）将多项式32a b b -因式分解，结果正确的是（ ）

A ．()2b a b - B ．()22b a b - C ．()2b a b + D ．b(a+b)(a -b) 6．（2020·湖南期中）一次练习，王莉同学做了4道分解因式题，你认为做得不够完整的题是（ ） A ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x+y ） B ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） C ．x 2y ﹣xy 2=xy （x ﹣y ） D ．x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2 7．（2020·保定市第一中学分校期末）ABC 的三边长a 、b 、c 满足 2222223a b c a b c ++--=-，则ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 8．（2020·湖北）将多项式32x xy -分解因式，结果正确的是 （ ） A ．22()x x y - B ．2()x x y - C ．2()x x y + D ．()()x x y x y +- 9．（2020·重庆月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．29(3)(3)a a a -=+- B ．222()x x x x x -=-- C ．2 2(1)x x x +=+ D ．2(2)2y y y y -=- 10．（2020·湖南）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ） A ．1x - B ．1x + C ．21x - D ．()21x - 11．（2020·秦皇岛）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A ．x （a+2b ）＝ax+2bx

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

因式分解的六种方法及其应用 因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等． 方法一提公因式法 题型1 公因式是单项式的因式分解 1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是() A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x 【解析】B 2．分解因式：2mx－6my＝__________． 【解析】2m(x－3y) 3．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n＋16m3n－28m2n. 【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)． 题型2公因式是多项式的因式分解 4．把下列各式分解因式： (1)a(b－c)＋c－b； (2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2. 【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)． (2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)． 方法二公式法 题型1直接用公式法 5．把下列各式分解因式： (1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．

(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2. (3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4. 题型2 先提再套法 6．把下列各式分解因式： (1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3. 【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )． (2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2. 题型3 先局部再整体法 7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)． 【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法 8．把下列各式分解因式： (1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2. 【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2. (2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2. 方法三 分组分解法 9．把下列各式分解因式： (1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2. 【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )． (2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )． 方法四 拆、添项法 10．分解因式：x 4＋14 . 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝????x 2＋122 －x 2＝????x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12 )． 方法五 整体法 题型1 “提”整体 11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )． 【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z ) ＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )． 题型2 “当”整体

2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx

新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册 综合练习因式分解及其应用 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7) C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-25 2.下面分解因式正确的是( ) A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 3.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( ) A.-y2+1 B.x2+(-y)2 C.m2-n2 D.-x2+(-y)2 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2 C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+1 6.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( ) A.-9，6，-1 B.9，-6，1 C.9，6，1 D.9，6，-1 7.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900

C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198 8.(-1 2)2 015+(- 1 2)2 016的结果是( ) A.-1 2 B. 1 2 C.( 1 2)2 015 D.-(1 2)2 016 9.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________. 10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________. 11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________. 12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________． 13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________. 14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________. 15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________. 16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.

因式分解练习题加答案详细解析_200道.

1.某课外活动小组通过Intnet网上资料得知:废弃的定影液中含有一定量的AgNO3。他们从摄影店收集到一些废弃的定影液,准备将其中的银以单质的形式全部回收。于是,他们进行了以下的实验活动: (1【设计方案】①加入比银活泼的金属单质②除去金属混合物中的杂质 (2【小组讨论】 ①选择加入的金属 甲同学认为:向定影液中加入过量的铜粉,则得到的金属混合物含有银和铜; 乙同学认为:向定影液中加入过量的铁粉,则得到的金属混合物含有银和铁。你认为 同学的方案更合理,其原因是,该方案的化学方程式为。 ②除去银粉中混有的金属向金属混合物中加入的试剂是,化学方程式为 (3【进行实验】过程如下: ①废弃定影液立金属混合物+溶液A ②金属混合物Ag+溶液B 请回答:操作a是,需要用到的玻璃仪器有:烧杯、玻璃棒和;溶液B中溶质的化 学式为。 (4【产品验证】请你设计一种简单方法验证得到的银中是否还含有铁粉,方法是。 2.甲同学在某食品包装袋内,发现有一个装有白色颗粒状固体A的小纸袋,上面写着“生石灰干燥剂,请勿食用”。甲同学随手将小纸袋拿出来放在空气中,经过一段时间后,发现纸袋内的白色颗粒粘在一起成为块状固体B。请你与甲同学一起对块1.

某课外活动小组通过Intnet网上资料得知:废弃的定影液中含有一定量的AgNO3。他们从摄影店收集到一些废弃的定影液,准备将其中的银以单质的形式全部回收。于是,他们进行了以下的实验活动: (1【设计方案】①加入比银活泼的金属单质②除去金属混合物中的杂质 (2【小组讨论】 ①选择加入的金属 甲同学认为:向定影液中加入过量的铜粉,则得到的金属混合物含有银和铜; 乙同学认为:向定影液中加入过量的铁粉,则得到的金属混合物含有银和铁。你认为 同学的方案更合理,其原因是,该方案的化学方程式为。 ②除去银粉中混有的金属向金属混合物中加入的试剂是,化学方程式为 (3【进行实验】过程如下: ①废弃定影液立金属混合物+溶液A ②金属混合物Ag+溶液B 请回答:操作a是,需要用到的玻璃仪器有:烧杯、玻璃棒和;溶液B中溶质的化学式为。 (4【产品验证】请你设计一种简单方法验证得到的银中是否还含有铁粉,方法是。 2.甲同学在某食品包装袋内,发现有一个装有白色颗粒状固体A的小纸袋,上面写着“生石灰干燥剂,请勿食用”。甲同学随手将小纸袋拿出来放在空气中,经过一段

因式分解综合应用(习题及答案)

因式分解综合应用（习题） 例题示范 例1：因式分解22(22)(24)9x x x x ---++． 【过程书写】 解：令22x x t -=，则 222 (2)(4)9 289 21 (1)t t t t t t t =-++=+-+=++=+原式22 4 (21)(1)x x x =-+=-即，原式例2：已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解． 【思路分析】 ①由已知可设32x x ax b -++=(221x x ++)(___________)； ②化简，对照系数即可． 【过程书写】 解：设322(21)()x x ax b x x x m -++=+++，则 3232(2)(21)x x ax b x m x m x m -++=+++++∴2121m m a m b +=-??+=??=? 解得533a b m =-??=-??=-? 322253(21)(3) (1)(3) x x x x x x x x ---=++-=+-∴ 巩固练习 1.把下列各式因式分解． （1）222()8()12x x x x +-++；

（2）22(24)(22)9x x x x -+--+++； （3）(1)(2)(3)(4)24x x x x -+-++； （4）32256x x x +--；（5）31x -； （6）3234x x +-；（7）222241x y x y xy +---． 2.方程2230x x --=的解为______________________． 3.若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，则△ABC 的形状是 _____________________________．

因式分解应用

因式分解 因式分解练习: （1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a 方法讲解: 一、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例1、分解因式：652++x x 例2、分解因式：672+-x x 练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例3、分解因式：101132+-x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y （三）二次项系数为1的齐次多项式 例4、分解因式：221288b ab a -- 练习4、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a -- （四）二次项系数不为1的齐次多项式 例5、22672y xy x +- 例6、2322+-xy y x 练习5、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a 二、主元法. 例7、分解因式：2910322-++--y x y xy x 练习7、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)6 7222-+--+y x y xy x

2018-2019学年度冀教版七年级数学下册同步练习 第十一章 因式分解及其应用( 无答案)

因式分解及其应用1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A．9x2 y3 z = 3x2 z ?y3 B．x2 +x -5 =x(x +1) -5 C．a2b +ab2 =ab(a +b) D．x2 +1=x( x+1 x ) 2. 下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3 的一个因式． A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x-y 3. 因式分解： （1）3a2b + 6ab2 -3ab ；（2）y(x -y) -(y -x) ；（3）16 -8(x -y) + (x -y)2 ；（4）(a2 +1)2 - 4a2 ； （5）3m(2x -y)2 -3mn2 ；（6）(x -1)(x -5) +4；（7）(x -1)(x + 4) -3x ；（8）4(m +n)2 -12m(m +n) +9m2 ；（9）1012 -992 ；（10）2 0182 - 2 018? 4 032 + 2 0162 ．4. 要使4a2 +ab +mb2 成为一个完全平方式，则m=． 5. 要使4a2 -ma +1 4 成为一个完全平方式，则m=． 6. 若x2 - 2x +y2 +6y+10 =0，则x=，y=．

7. 观察下列各式： 12 + 32 + 42 = 2 ?(12 + 32 + 3) 22 + 32 + 52 = 2 ?(22 + 32 + 6) 32 + 62 + 92 = 2 ?(32 + 62 +18) …… （1）小明用a，b，c 表示等式左边的由小到大的三个数，你能发现c 与a， b 之间的关系吗？ （2）你能发现等式右边括号内的三个数与a，b 之间的关系吗？请用字 母a，b 写出你发现的等式，并加以证明． 8. 观察下面的几个算式： ①14×16=100×1×2+24=224； ②24×26=100×2×3+24=624； ③34×36=100×3×4+24=1 224； …… （1）仿照上面的书写格式，请你迅速写出84×86 和124×126 的结果； （2）请利用多项式的乘法表示你所发现的规律，并进行验证．

《因式分解的简单应用》教学设计

《因式分解的简单应用》教学设计 一、教学目标 1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。 2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点： 因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点： 应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。 三、教学过程 （一）引入新课 1、知识回顾 （1）因式分解的几种方法:①提取公因式法:ma+mb=m(a+b)②应用平方差公式:–=(a+b)(a-b)③应用完全平方公式:a±2ab+b=(a±b) （2）课前热身：①分解因式:(x+4)y-16xy （二）师生互动，讲授新课 1、运用因式分解进行多项式除法例1计算:(1)(2ab－8ab)÷(4a－b)（2）(4x－9)÷(3－2x)解:(1)(2ab－8ab)÷(4a－b)=－ 2ab(4a－b)÷(4a－b)=－2ab(2)(4x－9)÷(3－2x)=(2x+3)(2x－3)÷[－(2x－3)]=－(2x+3)=－2x－3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x－9)÷(3－2x)呢?

练习：课本P162——课内练习 12、合作学习 想一想:如果已知()×()=0，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢？（让学生自己思考、相互之间讨论！）事实上，若A×B=0，则有下面的结论：（１）A和B同时都为零，即A=0，且B=0（２）A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试: 你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0吗？3、运用因式 分解解简单的方程例２解下列方程：(1)2x+x=0(2)(2x-1)=(x+2)解：x(x+1)=0解：(2x-1)-(x+2)=0则x=0，或2x+1=0(3x+1)(x-3)=0∴原方程的根是x1=0，x2=则3x+1=0，或x-3=0∴原方程的根是x1=，x2=3 注：只含有一个数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1，x2等 练习：课本P162——课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2)，你是如何解该方程的，方程左 右两边能同时除以(x+2)吗？为什么？ 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤 （１）如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解 若干个一元一次方程； （２）如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的 右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

初三数学因式分解的应用教案

初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之

间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于

初中数学：6.4因式分解的简单应用同步练习1(浙教版七年级下册)

6.4 因式分解的简单应用同步练习 【知识提要】 1．能应用因式分解进行多项式除法． 2．会应用因式分解解简单的一元二次方程． 【学法指导】 1．多项式除以多项式，在整除的情况下，?可以把被除式分解成含有除式的几个因式的积的形式，运用换元思想，把多项式除法转化为单项式除以单项式． 2．应用因式分解解方程的依据是如果若干个数之积为零，?那么至少有一个数为零．也就是说，如果A·B=0，那么A=0或B=0． 范例积累 【例1】计算： （1）（-a2b2+16）÷（4-ab）；（2）（18x2-12xy+2y2）÷（3x-y）． 【解】（1）（-a2b2+16）÷（4-ab）=（4+ab）（4-ab）÷（4-ab）=4+ab； （2）（18x2-12xy+2y2）÷（3x-y）=2（9x2-6xy+y2）÷（3x-y） =2（3x-y）2÷（3x-y）=2（3x-y）=6x-2y． 【注意】在整除的情况下，我们可以把被除式因式分解，把多项式除法转化为单项式相除． 【例2】解下列方程： （1）3x2+5x=0；（2）9x2=（x-2）2；（3）x2-x+1 4 =0． 【解】（1）把左边因式分解，得x（3x+5）=0．所以x=0或3x+5=0． 解这两个一元一次方程，得x1=0，x2=-5 3 ； （2）移项，得9x2-（x-2）2=0 把左边因式分解，得4（x+1）（2x-1）=0 所以x+1=0或2x-1=0． 解这两个一元一次方程，得x1=-1，x2=1 2 ； （3）方程左边因式分解，得x2-x+1 4 = 1 4 （4x2-4x+1）= 1 4 （2x-1）2， 即1 4 （2x-1）2=0 所以2x-1=0 解这个一元一次方程，得x=1 2 ，故x1=x2= 1 2 ． 【注意】如果方程一边是零，另一边可以分解成若干个x?的一次式的积的多项式，那么就利用“若A．B=0，则有A=0或B=0”的结论，?转化为求几个一元一次方程的根．【例3】已知4x2+y2-4x+6y+10=0，求4x2-12xy+9y2的值． 【解】由已知，得（4x2-4x+1）+（y2+6y+9）=0， 即（2x-1）2+（y+3）2=0 所以2x-1=0，且y+3=0，

因式分解综合应用(习题及答案)

因式分解综合应用（习题） ? 例题示范 例1：因式分解22(22)(24)9x x x x ---++． 【过程书写】 解：令22x x t -=，则 222(2)(4)9 289 21 (1)t t t t t t t =-++=+-+=++=+原式 22 4(21)(1) x x x =-+=-即，原式 例2：已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解． 【思路分析】 ①由已知可设32x x ax b -++= (221x x ++)( ___________ )； ②化简，对照系数即可． 【过程书写】 解：设322(21)()x x ax b x x x m -++=+++，则 3232(2)(21)x x ax b x m x m x m -++=+++++ ∴2121m m a m b +=-??+=??=? 解得533a b m =-??=-??=-? 322253(21)(3) (1)(3) x x x x x x x x ---=++-=+-∴ ? 巩固练习 1. 把下列各式因式分解．

（1）222()8()12x x x x +-++； （2）22(24)(22)9x x x x -+--+++； （3）(1)(2)(3)(4)24x x x x -+-++； （4）32256x x x +--； （5）31x -； （6）3234x x +-； （7）222241x y x y xy +---． 2. 方程2230x x --=的解为______________________． 3. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，则△ABC 的形状是

因式分解的应用

因式分解的应用 一、知识体系 1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。其应用主要体现在以下几个方面： ①．整体代换，代数式变形求值问题； ②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分； ③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析； ④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明． 2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题： ①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--； ②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++； ③2222 2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++； ④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---. 二、例题讲解 例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ； （2）32 322017220172015201720172018-?-+- 1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -?+=?--，3223 20172016(20172018)2016(20152014)2015b -?+=?--，则a ，b 的大小关系为（ ） A. a b > B. a b = C. a b < D. 无法确定 1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结 果是( ) A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l

利用因式分解解决问题

利用因式分解解决问题 因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式。在解决问题时，如能灵活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁为简，方便快捷的效果。 例1.某商场销售三种不同的的运动鞋。十?一假期，为增加销售量，现在对三种运动鞋实行降价让利活动。已知甲种运动鞋每双售价a元，让利10%；乙种运动鞋每双售价2a 元，让利15%；丙种运动鞋每双售价3a元，让利30%。如果各销售一双，则三种运动鞋共让利多少元？ 【分析】要求三种运动鞋商场共让利多少，只要求出甲、乙、丙三种运动鞋让利的和即可。考虑到都含有百分号，运算不方便，所以，可以将相同的因数提取，利用因式分解来简化计算。 解：W=a×10%+2a×15%+3×35% =a（10%+30%+90%） =a×130%= a（元） 答：三种运动鞋商场共让利a元. 例2.某公园计划砌一个圆形如图（1）的喷水池，后来有人建议改成如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心

原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种用的材料多？ 【分析】比较两种方案，哪一种用的材料多？也就是比较哪个周长更长。假设第一个方案的大圆直径是d，那么方案一的两个大圆的总周长是2dπ，设三个小圆的直径分别为a、b、c，则a+b+c=d，再利用提公因式法因式分解，很简单就解决了问题。 解：C1=2dπC2=（aπ+bπ+cπ）+dπ=（a+b+c）π+dπ= 2dπ 所以C1= C2 答：两种方案需要的材料一样多. 归纳：某些问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单。 例3：老李师傅在制作零件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个相同的半径为rcm的圆孔，老李师傅测量出R=7.8cm，r=1.1cm时，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。（结果保留π） 【分析】剩余部分的面积，即为大圆的面积减4个小圆的面积。因为数字为小数，计算起来不方便。先因式分解，后计算，就简单多了。 解：根据题意，S=πR?-4πr?

因式分解综合应用 (讲义及答案)

因式分解综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 因式分解的基本方法有______________________________． 因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”． 其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底． 2. 把下列各式因式分解． （1）224x y x -； （2）221216a a -+-； （3）222221x xy y x y -+-++； （4）42627x x --． ? 知识点睛 _____________、__________、___________、__________是因式分解的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________． ①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式． ②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________． ? 精讲精练 1. 把下列各式因式分解． （1）222(2)7(2)8x x x x +-+-； （2）22(42)(46)4x x x x -+-++；

（3）(1)(3)(5)(7)15 +++++； a a a a （4）(1)(2)(3)(4)24 -----； x x x x （5）22423 +++； x x x a b a b -+++；（6）32 6116（7）44 x+； x+；（8）31

因式分解定理的应用

因式分解定理的两个应用 刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731) 因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。 推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。 利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。 例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b + 例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的 余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ） A 。21x - B 。21x + C 。1x + D 。1x - （第12届初二第二试） 解：设32 ()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =??=? 解得21 p q =??=-?，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。 例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。（1）求 4a c +的值。（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定 a ， b ， c 的大小。 （第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32 x ax bx c +++，所以 (1)0(4)0f f =??-=?，即10641640a b c a b c +++=??-+-+=?，整理得116464 a b c a b c ++=-??-+=?解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=， （2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。

初中数学因式分解的应用培优练习题(附答案详解)

初中数学因式分解的应用培优练习题（附答案详解） 1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61和63 B ．63和65 C ．65和67 D ．64和67 2．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．1、3 B ．3、5 C ．6、8 D ．7、9 3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 4．若a-b=1，则222a b b --的值为____________． 5．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货. 6．已知a 1?a 2?a 3?…?a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ． 7．已知a 2＋b 2-6ab=0（a ＞b ），则 a b b a +-= 8．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)； ② 某商品单价为a 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的； ③若222450x y x y ++-+=，则x y 的值为 12； ④关于x 分式方程211 x a x -=-的解为正数，则a ＞1． 请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______ 9．如图1,在平面直角坐标系中, ,90,8AO AB BAO BO cm =∠=?= ,动点D 从原点O 出发沿x 轴正方向以/acm s 的速度运动,动点E 也同时从原点O 出发在y 轴上以/bcm s 的速度运动,且,a b 满足关系式22 4250a b a b +--+=,连接,OD OE ,设运动的时间为t 秒.

八年级数学因式分解综合应用(北师版)(综合)(含答案)

因式分解综合应用（北师版）（综合） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 故选B． 试题难度：三颗星知识点：略 2.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 要点提示： 根据分解因式的口诀“一提二套三分四查”， 首先要提公因式-x， 最后记得要“查”——是否分解彻底； 故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

故选B． 试题难度：三颗星知识点：略 5.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 故选A． 试题难度：三颗星知识点：略 6.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 故选A． 试题难度：三颗星知识点：略 8.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 故选C． 试题难度：三颗星知识点：略

9.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 1.思路分析 ①观察式子，比较复杂，其中重复出现， 选择换元法将其替换， 设，则； ②将代入，则 2.解题过程： 故选B 试题难度：三颗星知识点：略 10.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 1.思路分析 ①观察式子，比较复杂，其中重复出现， 选择换元法将其替换， 设，则；