3 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三)
一、选择题(本大题共25小题,第1~15题每小题2分,第16~25题每小题3分,共60分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分)
1. 已知α=130°,则角α的终边在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合A ={ |x (x +2)(x -1)=0},那么下列结论正确的是( )
A. -2∈A
B. 1?A
C. 2∈A
D. -1∈A
3. 函数y =lg(x +1)的定义域是( )
A. (0,+∞)
B. (-∞,+∞)
C. [-1,+∞)
D. (-1,+∞)
4. 如果直线x -2y -1=0和y =kx 互相平行,则实数k 的值为( )
A. 2
B. 12
C. -2
D. 0
5. 已知a =(2,4),b =(x ,2),且a ⊥b ,则x 的值是( )
A. 4
B. 1
C. -1
D. -4
6. 在空间中,下列命题正确的是( )
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 垂直于同一直线的两条直线平行
D. 垂直于同一平面的两条直线平行
7. 焦点在x 轴上,且a =3,b =2的双曲线的标准方程是( )
A. x 23-y 22=1
B. y 23-x 22=1
C. x 29-y 24=1
D. y 29-x 24=1
8. “x =0”是“xy =0”的( )
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
9. 在数列{a n }中,已知a n +1=2a n ,且a 1=1,则数列{a n }的前五项的和等于(
)
A. -25
B. 25
C. -31
D. 31
10. 若a >b ,则下列各式正确的是( )
A. a +2>b +2
B. 2-a >2-b
C. -2a >-2b
D. a 2>b 2
11. 不等式(x +1)(x +2)<0的解集是( )
A. { |x -2 B. { |x x <-2或x >-1} C. { |x 1 D. { |x x <1或x >2} 12. 在△ABC 中,a =2,b =2,∠A =π4,则∠B =( ) A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120° 13. 在不等式2x +y -6<0表示的平面区域内的点是( ) A. (0,1) B. (5,0) C. (0,7) D. (2,3) 14. 函数y =cos 2x -sin 2x 是( ) A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为2π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π的偶函数 15. 计算8·sin 15°·cos 15°·cos 30°·cos 60°的结果为( ) A. -12 B. 12 C. -32 D. 32 16. 圆x 2+y 2-ax +2=0经过点A (3,1),则圆的半径为( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 2 17. 已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1经过(-5,0)和(0,4),则它的离心率为( ) A. 54 B. 53 C. 45 D. 35 18. 设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,且S n =n 2 +n +c ,则c 的值为( ) A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 (第19题) 19. 如图为函数y =m +log n x 的图象,其中m ,n 为常数,则下列结论正确的( ) A. m <0,n >1 B. m >0,n >1 C. m >0,0 D. m <0,0 20. 平面上满足约束条件?????x ≥2,x +y ≤0,x -y -6≤0 的点(x ,y )形成的区域为D ,且区域D 和E 关于直线y =2x -1对称,则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( ) A. 3 B. 5 C. 2 5 D. 4 21. 函数f (x )=e x +x -2的零点所在的一个区间是( ) A. (2, 1) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,2) 22. 已知AB →=(3,-1),n =(2,1),且n ·AC →=7,则n ·BC →=( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. -2或2 23. 若函数f (x )=k -2x 1+k ·2 x (k 为常数)在定义域上为奇函数,则k 的值为( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -1或1 24. 某同学研究了①y =x -1;②y =x -2;③y =x 3 ;④y =x 1 3其中的一个函数,并给出两个性质:(1)定义域是{x |x ∈R 且x ≠0};(2)值域是{y |y ∈R 且y ≠0},如果他给出的两个性质中,有一个正确,一个错误,则他研究的函数是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ (第25题) 25. 如图,F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2(a ,b >0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则双曲线C 的离心率是( ) A. 2 33 B. 6 2 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 26. 抛物线y 2=2x 的通径为________. 27. 在△ABC 中,∠A =π3,a =3,b =1,则c =________. 28. y =log a x (a >1)在[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为________. 29. 若点P (x ,y )在直线x +2y -4=0上运动,则它的横、纵坐标之积的最大值是________. 30. 若O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|AB →-AC →|=|OB →+OC →-2OA →|,则△ABC 的形状为________. 三、解答题(本大题共4小题,第31,32题每题7分,第33,34题每题8分,共30分) 31. (本题7分)已知0<α<π 2,sin α=4 5. (1)求tan α的值; (2)求cos2α+sin ? ????α+π 2的值. 32. (本题7分,有A 、B 两题,任选其中一题完成,两题都做,以A 题计分) (A)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别是PD 、BC 的中点. (1)求证:EF ∥平面PAB ; (2)求证:AD ⊥PB . ,[第32题(A)]) ,[第32题(B)]) (B)如图,直三棱柱ABC -A ′B ′C ′,∠BAC =90°,AB =AC =λAA ′,点M ,N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点. (1)证明:MN ∥平面A ′ACC ′; (2)若二面角A ′-MN -C 为直二面角,求λ的值. 33. (本题8分)在等差数列{a n }中,a 7=4,a 19=2a 9. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1 na n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 34. (本题8分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A ,B 两点. (1)如果直线l 过抛物线的焦点,求OA →·OB →的值; (2)如果OA →·OB →=-4,求证:直线l 必过一定点,并求出该定点. 3 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(三) 1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A 11. A 12. A 13. A 14. D 15. D 16. D 17. D 18. C 19. D 20. C 21. C 22. C 23. D 24. B 25. B [提示:|OB |=b ,|O F 1|=c .∴k PQ =b c ,k MN =-b c .直线PQ 为:y =b c (x +c ),两条渐近线为:y =b a x .由?????y =b c (x +c ),y =b a x , 得Q (ac c -a ,bc c -a ).由?????y =b c (x +c ),y =-b a x , 得P (-ac c +a ,bc c +a ).∴直线MN 为y -bc c +a =-b c (x --ac c +a ),令y =0得x M =c 3c 2-a 2.又∵|MF 2|=|F 1F 2|=2c ,∴3c =x M =c 3c 2-a 2,解得e 2 =c 2a a =32,即e =62.] 26. 2 27. 2 28. 32 29. 2 30. 直角三角形 [解析:|BC →|=|BA →+CA →|,根据平行四边形法则,对角线相等,所以∠A 为直角.] 31. 解:(1)∵cos α=35,∴tan α=43. (2)cos2α+sin ? ????α+π2=1-2sin 2α+cos α=825. 32. (A)证明:(1)取PA 的中点G ,连接BG ,EG ,则EG 綊BF ,∴四边形BFEG 为平行四边形,∴EF ∥BG ,∴EF ∥平面PAB . (2)∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AD ,又AB ⊥AD ,∴AD ⊥平面PAB ,∴AD ⊥PB . (B)(1)连接AB ′,AC ′,由已知∠BAC =90°,AB =AC ,三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱,∴M 为AB ′的中点.又∵N 为B ′C ′的中点,∴MN ∥AC ′,又∵MN ?平面A ′ACC ′,AC ′?平面A ′ACC ′,∴MN ∥平面A ′ACC ′. (第32题) (2)以A 为坐标原点,分别以直线AB ,AC ,AA ′为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系Oxyz ,如图所示,设AA ′=1,则AB =AC =λ,于是A (0,0,0),B (λ,0,0),C (0,λ,0),A ′(0,0,1),B ′(λ,0,1),C ′(0,λ,1),∴M ? ????λ2,0,12,N ? ?? ??λ2,λ2,1.设m =(x 1,y 1,z 1)是平面A ′MN 的法向量,得?????λ2x 1-12z 1=0,λ2y 1+12 z 1=0,可取m =(1,-1,λ).设n =(x 2,y 2,z 2)是平面MNC 的法向量,得? ????-λ2x 2+λ2y 2-z 2=0,λ2y 2+12z 2=0,可取n =(-3,-1,λ),∵二面角A ′-MN -C 为直二面角,∴m ·n =0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ= 2. 33. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则 a n =a 1+(n -1)d .∵? ????a 7=4,a 19=2a 9,∴?????a 1+6d =4,a 1+18d =2(a 1+8d ),解得a 1=1,d =12. ∴{a n }的通项公式为a n =n +1 2. (2)b n =1na n =2n (n +1)=2n -2n +1,∴S n =? ????21-22+? ????22-23+…+? ????2n -2n +1=2n n +1 . 34. 解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l :x =ty +1代入抛物线y 2=4x ,消去x 得y 2-4ty -4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2, y 2),则y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+1)(ty 2+1)+y 1y 2,=t 2y 1y 2+t (y 1+y 2)+1+y 1y 2=-4t 2+4t 2+1-4= -3. (2)设l :x =ty +b 代入抛物线y 2=4x ,消去x 得y 2-4ty -4b =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4b ,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+b )(ty 2+b )+y 1y 2,=t 2y 1y 2+bt (y 1+y 2)+b 2+y 1y 2=-4bt 2+4bt 2+b 2-4b =b 2-4b .令b 2-4b =-4,∴b 2-4b +4 =0,∴b =2,∴直线l 过定点(2,0).