高考数学(文科)模拟试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。 1.已知集合}02|{2<--=x x x A ,}02|{<<-=x x B ,则=B A I A .)1,2(-- B. )0,1(- C .)2,0( D .)2,1(- 2.已知复数z 满足i 2)i 1(=+z ,则z 在复平面内对应的点位于
A .第一象限 B. 第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知}{n a 是各项均为正数的等比数列,3
1
1=
a ,1223+=a a ,则=n a A .13-n B. 23-n C .12-n D .22-n 4.已知2.0log 1.0=a ,2.0log 1.1=
b ,2.01.1=
c ,则a ,b ,c 的大小关系为 A .c b a >> B.b c a >> C .a b c >> D .b a c >> 5.等腰直角三角形ABC 中,ο90=∠C ,2==BC AC ,点P 是斜边AB 上一点,且
PA BP 2=,则=+?)(CB CA CP
A .4- B. 2- C .2 D .4
6.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A .3
1 B. 21 C .3
2 D .65
7.已知数列}{n a 中,11=a ,n n S n 21
232-=,设11+=n n n a a b ,则数列}{n b 的前n 项和为
A .
13+n n B. 133+n n C .2
31
--n n D .2333-+-n n 8.已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,⊥SA 平面ABC ,ο120=∠BAC ,
2===AC AB SA ,则球O 的表面积为
A .4π B. π54 C .π20 D .6π3
9.已知双曲线15
42
2=-y x 的左焦点为F ,
点P 为其右支上任意一点,点M 的坐标为)3,1(, 则PMF ?周长的最小值为
A .105+
B .1010+
C .135+
D .13
9+
10.函数)sin()(?ω+=x A x f (0>A ,0>ω,2
π
0<
)的部分图象如图所示,给出下列说法: ①直线12
π
5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴; ②点)0,3
π
2(-
为函数)(x f 的一个对称中心; ③函数)(x f 的图象向右平移3
π
个单位后得到 函数x y 2sin 2=的图象.
其中,正确说法的个数是
A .0 B.1 C .2 D .3
11.已知直线l 与抛物线x y 62
=交于不同的两点A ,B ,直线OA ,OB 的斜率分别为1k ,
2k ,且321=?k k ,则直线l 恒过定点
A .)0,36(- B. )0,33(- C .)0,32(- D . )0,3(-
12.已知函数?
??><+=.0,ln ,
0,1)(x x x ax x f 若函数)(x f 的图像上存在关于坐标原点对称的点,则实
数a 的取值范围是
A .]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C .]0,21[- D . ]1,21
(
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.函数x x y 2cos cos -=)(R ∈x 的最大值为______.
14.若直线l :023=+-+m my x 被圆C :024222=--+x y x 截得的线段最短,则实数m 的值为______.
15.已知一组数据10,5,4,2,2,2,x ,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2
倍,则x 所有可能的取值为______. 16.如图,已知平行四边形ABCD 中,ο60=∠BAD ,AD AB 2=,
E 为边AB 的中点,将ADE ?
沿直线DE 翻折成DE A 1?.若M 为线段C A 1的中点,则在ADE ?翻折过程中,有下列三个命题:
①线段BM 的长是定值;
②存在某个位置,使C A DE 1⊥; ③存在某个位置,使//MB 平面DE A 1. 其中正确的命题有______. (填写所有正确命题的编号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(本题12分)
在锐角ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ,且c B A b B B a 2
3
sin cos cos sin =+. (1)求B ;
(2)若2=b ,求ABC ?的面积的最大值.
18.(本题12分)
如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,AB AC ⊥,21===AC AB A A ,D ,E ,F 分别为AB ,BC ,B B 1的中点.
(1)证明:⊥F A 1平面DE B 1; (2)求直线BE 与平面DE B 1所成角的正弦值.
19.(本题12分)
为了增强消防意识,某部门从男,女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分),这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示:
男 女 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0 A 1 C B
A
B 1 D
C 1 E F
(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中,哪类职工的测试成绩更好?并说明理由; (2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数m ,并填写下面列联表:
超过m 的人数 不超过m 的人数
男职工
女职工
(ⅱ)如果规定职工成绩不少于m 定为优秀,根据(ⅰ)中的列联表,能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关? 附:)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.
P (k K ≥2)
0.050 0.010 0.001 k 3.841
6.635
10.828
20.(本题12分)
已知椭圆E :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶
点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)过点)0,4(M 的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,点A 关于x 轴的对称点为A ',求证:直线B A '过定点,并求出该定点的坐标. 21.(本题12分)
已知函数21
ln )1()(+-++=ax x
x a x f .
(1)讨论)(x f 的单调性;
(2)若)(x f 有两个极值点1x ,2x )(21x x <,且至少存在两个零点,求2
121)
()(x x x f x f ++的
取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为???
????+=-
=t y t x 222,2
2
(t 为参数).在以坐标原点
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的极坐标方程为θ
ρ.22cos 239
-=
.
(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;
(2)若1C 与y 轴交于点M ,1C 与2C 相交于A 、B 两点,求||||MB MA ?的值.
23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分)
(1)已知||||)(x a x x f +-=,若存在实数x ,使2)( (2)若0>m ,0>n ,且3=+n m ,求证:34 1≥+n m . 参考答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题: 13. 8 9 14. 1- 15. 11-,3,17 16. ①③ 三、解答题: 解:(1)由正弦定理,知C B A B B B A sin 2 3 sin cos sin cos sin sin =+, 即C B A B sin 23)sin(sin =+,C B A B sin 23)sin(sin =+,2 3 sin = B , 所以3 π = B . ………………………………………(4分) (2)由余弦定理,知B ac c a b cos 2222-+=,即3 πcos 2422ac c a -+=, 所以ac ac c a ≥-+=224,当且仅当c a =时取等号. 所以4≤ac ,所以3sin 21 ≤=?B ac S ABC . …………………………………(12分) 18.(本题12分) 解:(1)因为AB AC ⊥,AC DE //,所以AB DE ⊥. 因为⊥1AA 平面ABC ,?DE 平面ABC , 所以DE AA ⊥1. 因为A AA AB =1I ,所以⊥DE 平面B B AA 11. 因为?F A 1平面B B AA 11,所以F A DE 1⊥. 易证F A DB 11⊥,因为D E D DB =11I , 所以⊥F A 1平面DE B 1. ……………(6分) (2)取A A 1的中点G ,连结BG 交D B 1于H . 由(1)知⊥F A 1平面DE B 1,而F A BG 1//, 所以⊥BG 平面DE B 1. 连结EG ,则BEG ∠为直线BE 与平面DE B 1所成的角. 在BD B 1Rt ?,求得5 2= BG . 又因为2=BE ,所以5 10 sin = = ∠BE BG BEG . ……………(12分) 19.(本题12分) 解:(1)由茎叶图可知,男职工的成绩更好,理由如下: ①男职工的成绩的中位数为85.5分,女职工的成绩的 中位数为73.5分; ②男职工的成绩的的平均数髙于80分,女职工的成绩的平均数低于80分; ③男职工的成绩中,有75%的成绩不少于80分,女职工的成绩中,有75%的成绩至多79分; ④男职工的成绩分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;女职工的成绩的分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布. 因此,男职工的成绩更好. ……………………(4分) (注:以上给出了4种理由,考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分) (2)(ⅰ)由茎叶图可知:802 91 79=+=m 80m =,列表如下: 超过m 不超过m 男职工 15 5 女职工 5 15 ……………(8分) (ⅱ)由表中数据,计算2 240(151555) 10 6.63520202020 k ??-?= =>???,所以,有99.9%的把 握认为消防知识是否优秀与性别有关. ……………(12分) 20.(本题12分) 解:(1)由?????=-=, 1, 3c a c b 及222c b a +=,得2=a ,3=b . A 1 C B A B 1 D C 1 E F 所以,椭圆E 的方程为13 42 2=+y x . ……………(4分) (2)设直线l 的方程为4+=my x ,代入椭圆方程,并整理,得 03624)43(22=+++my y m .由0>?,得22<<-m . 设),(11y x A ,),(22y x B ,则4324221+-=+m m y y ,4 336 221+=?m y y . 因为A '),(11y x -,所以1 212x x y y k B A -+=',于是,直线B A '的方程为)(1121 21x x x x y y y y --+=+. 即])()[(1212111212y y x x y x x x x y y y +----+=,)(1 212211212y y y x y x x x x y y y ++--+=, 将411+=my x ,422+=my x ,4324221+-=+m m y y ,4 336 221+=?m y y 代入, 得)1(1 21 2--+=x x x y y y ,所以,直线B A '过定点)0,1(. ……………(12分) 另解:在111 21 2)(y x x x x y y y ---+=中,令0=y ,得 1)(42)(2 12121121221112121=+++=++=++-=y y y y y my y y y x y x x y y x x y x . 所以,直线B A '过定点)0,1(. ……………(12分) 21.(本题12分) 解:(1))(x f 的定义域为),0(+∞,且2 ) 1)(1()(x ax x x f ---='. 令0)(='x f ,得1=x 或a x 1= . 当0≤a 时,01<-ax ,)(x f 在)1,0(单调递减,在),1(+∞单调递增; 当10< (+∞a 单调递减; 当1=a 时,)(x f 在),0(+∞单调递减; 当1>a 时,)(x f 在)1 ,0(a 单调递减,在)1,1(a 单调递增,在),1(+∞单调递减. (5分) (2)由(1)知,10<a . 因为03)1(>-=a f ,所以10< 因为1>a 时,)(x f 在)1 ,0(a 单调递减,在)1,1(a 单调递增,在),1(+∞单调递减. 所以?????≥≤, 0)1(,0)1 (f a f 即???≥-≤-+,03,0)ln 1)(1(a a a 解得3e ≤≤a . 此时 a a a a a a a a x x x f x f ln 1411)ln 1)(1(3)()(2121-+=+-++-=++. 记)3e (ln 1 4)(≤≤-+=a a a a a a g ,则22)1()ln 1()1(4)(+++-= 'a a a a g . 因为3e ≤≤a ,所以0)(<'a g ,所以)(a g 在区间]3,e [单调递减, 所以)e ()()3(g a g g ≤≤,解得e 1 e e 4)(3ln 33-+≤ ≤-a g . 所以,2121)()(x x x f x f ++的取值范围为e]1 e e 4,3ln 33[-+-. ……………(12分) 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分) 解:(1)方程??? ????+=- =t y t x 222,22 可化为02=-+y x . 方程θ ρ. 22 cos 239 -=可化为13922=+y x . ……………(5分) (2)将??? ????+=-=t y t x 222,22 代入13922=+y x ,得032622=++t t . 设方程032622=++t t 的两根分别为1t ,2t ,则2 3 ||||||||21=?=?t t MB MA . ……10分) 23.[选修4-5:不等式选讲] (本题10分) 解:(1)方法一:因为||||||||)(a x a x x a x x f =--≥+-=, 因为存在实数x ,使2)( 所以2|| 方法二:当0=a 时,符合题意. 当0>a 时,因为?? ? ??<+-≤≤>-=+-=,0 ,2,0 ,, ,2||||)(x a x a x a a x a x x a x x f 所以a x f =min )(. 因为存在实数x ,使2)( 当0a . 综上,实数a 的取值范围为)2,2(-. ……………(5分) (2)因为3=+n m , 所以 3)542(31)54(31)41(341=+?≥++=++=+n m m n n m m n n m n m n m , 当且仅当2,1==n m 或6,3=-=n m 时取等号. ……………(10分)