《不等式证明的常用方法归纳》

不等式证明的常用方法归纳

不等式的证明非常灵活，它可以和很多内容结合，如数列、函数、三角函数、二次曲线、方程等等。本文以一道不等式证明题为例，谈谈不等式证明的常用方法。

例. 若a b >>00，，a b 332+=，求证：a b +≤2，ab ≤1。 证法一：综合法

a b a b >>+=00233，，

∴+-=+++-=+-=+-=+-+=-+-≤+≤()[()][()()]

()()()a b a b a b ab a b ab ab a b ab a b a b a b a b a b 3333222233233

2338

336

323302，即

又a b +>0

∴+≤≤+≤∴≤a b ab a b ab 2

221

证法二：换元法、判别式法

设a b 、为方程x mx n 20-+=的两根，则

m a b n ab

=+=??? a b m n m n a b a b a ab b a b a b ab m m n >>∴>>=-≥=+=+-+=++-=-00

004012332332222，，，且?()

()()()[()]

()

∴=-n m m 2323 （2）

将（2）代入（1），得m m m 2243230--≥()，即-+≥m m

3830，

∴-+≥m 380，即m ≤2

∴+≤a b 2

由2≥m ，得42≥m

又m n 24≥

∴≥44n ，即n ≤1

∴≤ab 1。

点评：换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。

证法三：放缩法

a b a b >>+=00233，，

∴=+=++-≥+-=+223322a b a b a b ab a b ab ab ab a b ()()()()()

于是有63≥+ab a b ()

从而8323322333≥++=+++=+ab a b a b ab a b a b ()()

所以a b +≤2

（下略）。

点评：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。

证法四：比较法

a b a b a b a b ab a b ab 33322222244428

+-+=++----()()[] =+-≥38

02

()()a b a b ， ∴对任意非负实数a b 、，有a b a b 33322

+≥+()

a b a b a b a b >>+=∴=+≥+002

122

33333，，() ∴

+≤a b 21，即a b +≤2 （以下略）。

点评：比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

证法五：反证法

假设a b +>2，则

a b a b a ab b a b a b ab a b ab ab 3322232+=+-+=++-≥+>()()()[()]() ∴

又a b a b a ab b 3322+=+-+()()

=++->-()[()]()a b a b ab ab 223223

a b 332+=

∴>-2243()ab

因此ab >1，前后矛盾，故a b +≤2。

（以下略）

点评：有些不等式，如果不易从正面证明，可以考虑反证法。凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。