集合常考题型分类简单练习
集合中的常考题型
一、集合中的常规考点
1、元素的互异性
求出参数范围忘记带回检验，导致增根
1、已知A={a+2，( a+1)2，a2+3a+3}且1€ A,求实数a 的值；
2
2、已知M={2, a, b} , N={2a, 2, b}且M=N 求a, b 的值.
2、集合的真子集、子集之间的关系
已知集合丛二匚家那么/的真子集的个数是( )
A. 15
B. 16
C. 3
D. 4
3、有限集之间的关系用韦恩图
1 、全集U={x|x<10 , x€ N } , A二U, B 二0且(C U B)n A={1,9} , A A B={3}, (C U A) n (C u
B)={4,6,7}，求A、B。
4、无限集之间的关系用数轴
2、集合A={x||x-3| v a, a> 0} , B={x|x -3x+2 v 0}，且B-A,则实数a 的取值范围是
5、集合之间的关系(在方程、不等式中的考查)
1、集合的关系判断中遗忘空集的情况
2、集合所表示的是点集还是数集(点集多从图形的角度去考虑)
3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况
仁设集合A = x2—3x + 2 =, B = (1)若A B =「2二求实数a的值; (2)若A B = A，求实数a的取值范围若A B = ◎。 2、集合A ={x | ax -1 = 0} , B =| x2-3x 2 = 0』，且A U B = B ,求实数a 的值? 3、A - ；x, y | y2 = 4 ", B = ' x, y | x -3 ]亠〔y -4 ?二，其中r 0 , 若Ap] B = ?求r的取值范围。 、选择题 3 .已知集合|U ={2,0,1,5} I，集合|A={0,2}]，则 |C u A | =( ) A.冋 B. 匹到 C. 墮 D. |{2,0,1,5} 4 .设集合A ={x||x -1 < 1}, B ={x|x2 -1 < 1}，则|AU B= I( A. [—?,0] B .[—?“] C . [0,Q 7.若A = {x|x c1}, B = {x| x2+2x > 0〉,贝y| A c B~^ 10?已知集合A = {1,2,3,4,5 }, B= {135}，则唧=() U =R ，集合A =(X 0 v x 兰2} E ={x X ￡1},则集合C U(A U B)= 6.设全集() A. 设集合 U ={1,2,3,4,5} A ={1,2,4} B ={2,5} ，则(C U A)UB = B .{2,3,5} C.笛D U 眾1,2,3,4] A叵 B. C. D. 5.集合 = &€N X W6},B=￡E R A. (x|3< x <6〉 B {3,4,5} C .{x 3 v x < 6) D .{4,5,6} D . [-?,2] D. (-00,—2 Q(0,1 U ={1,2,3,4,5,6,7 }, A = {2,4,5,7},B={3,4,5}|,则|(C U A*C U B)=| () A. 9.若集合 {2,34,5,7 1,2,3,6,7 2 A ={x I x -7x 10 ： 0} ,集合= {x| :::2x，则A U B =( ) (-1,5) (2,5) (2,3) 42,3,4,5 1 〈3,4,5,61 {3,4,5} |B ={2,4} 已知全集( ) ,贝((C U A)B=( ) A Q B = (). 可，则 w R x2- 3x > 已知集合 8. B .”4,51C 百{123,4,5,6,7,8 }A「1,2,3 ? 18 .若 A = J|X 2=1>, B = J I x 2-2x-3 = 0〔则 I A c B |=( ) A . ? B .阿 C .回 D .旦 19 .已知集合 A = v x ￡ ，则 () A. A A B=_ B.A U B=R C.B ? A D.A ? B 20 .已知集合 |A ={0,1,2}, B={x|x-2u 0} I ，则 B =() A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} A. 「1,2,3? B. 竺 C ?空 D. 色 U ={o,1,2,3,4} ,集合 ?，则 C U A = (A)丽 13 .已知集合 (B )网,2,3” (C ) pb,1,2,3,4[ (D )卩0,2,3,4] M ={x|x 2 —x>0}, N ={0,1,2,3}，则|(C u M )nN|=( ) A . {x|0 兰x 兰1} B . {0,1} C . {2,3} D . {1,2,3} A={x|x 2 -2x-3c0} 5 B ={x|log 2 x c2} ，则 Ap|B = A. (—1,4) B. (—1,3) C. (0,3) D. (0,4) 15 .已知集合 A={x|x>0}, B={x|-^—c0}，则 AP| B 等于 -------- : ------- x _1 -------- (A ) (0,1) (B)(0^c) (C ) (q,1) (D ) (1g 16.已知集合 M ={x ||x —1|v 1}，集合 N ={x |x 2 -2x <3}，则 M cC R N = 已知集合 P =J| (x —3)(x — 6)兰 0x s Z , |Q ={5,7} 下列结论成立的是 A . Q 9P B P U Q F P"Q={5} 12 .已知全集 14 .已知集合 17 . A =[x|x + 2 > 0}t B - {x|y = , }, ______ 21 .设集合 ___________________ _______ _____ 迟—兰―则西色三I ( ) 22 .已知集合 ={x|x A. 仪 c l } B . {X |X A 1} C . {x |O c x c l ]| D 23 .已知集合 A = {x|x 2 _16 c0},B = {-5,0,l}则( ) B 9 A| C. A C B = {0,1} D. |A 9 B 24 .已知集合 A = t x \x 2 -x-2<0} , B = {x|y=l n(1 —x p ,则 A c B = 25 .已知集合 A = {x|x 2 —16 c0},B={—5,0,1〉则( ) 27.已知集合 A ={X |M^￡0} , IB ={x|x_x 2 >0}，则( ) x —3 ------------------------ 31.设集合 A ={1,2,3 },B ={2,5〉，则 |Ap|B=( ) X Z 2 < x <4t A = {1,0[ B = {0,1,2} ,则 (C U A) c B = AP1B = B D . AUB=(0,3) ( A 、阿 B 、卩-2,—1” C 、卩诃 D 、网,1,2彳 A . A . B 匸 A | C. AcB = {0,1 D. 26 .已知R 为实数集, A ={x|2x_3 <3x )j , B =(x| x 餐]，则| A u B = A .「tx|x ￡2] B . p(x| x >-3】 C . p(x | 2 Ex v3 D . [R 29 .已知集合 A.[0 C . 2 30 .已知集合 A ={0,1, 2}, B={1, m}| .若 A" B = B A - \x | x 2 x - 2 ：： 0』 B ={x I x A 0}，则集合 I A P I B I 等于( A. {x|x >—2} B. C. 「x|x D. 「x|-2 ：x 1 28 .设全集 U ,则实数i~m 的值是( B. D. 回或② 同或1或罔 B 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练] 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调，求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是； 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 练习： 1.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A .1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3. ∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最 小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值. 因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A. 8.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 答案 1 解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z －1|min ＝1. 12.集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值. 解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如 图所示. 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 ：已知集合{0,2}=A ，{21012}=--， ，，，B ，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--， ，，， 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{3,5} D ．{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3：已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则（ ） A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =? C ．3 {|}2 A B x x =< D ．A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<，∴3 {|}2 A B x x =<， 选A ． 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4：设集合2 {|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1] 2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]． 【易错点】方程解错，对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5：设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则 0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6：设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ． 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7：设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2 高中数学《集合》知识点归纳及题型练习 【知识点】 1.集合的三个特性：确定性，互异性，无序性 2.自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。 3.集合的三种表示方法：列举法，描述法，文氏图。 4.集合的分类：有限集，无限集，空集 5.子集：若a A ∈，则a B ∈，称为A 是B 的子集，记作：A B ?或B A ?， 读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 6.真子集：若A B ?且B A ?，则称集合A 与集合B 相等，记作：A B =； 若A B ?且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集，记作： 【注意】空集φ是任何集合的真子集。 一个集合的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -。 7.补集：已知A U ?，由所有属于U 但不属于A 中的元素组成的集合称为A 的补 集，记作:U A e, 读作：A 在U 中的补集。即：{|,}U A x x U x A =∈?且e 8.交集：由两个集合中的公共元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，且 9.并集：由两个集合中的所有元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，或 10.集合的包含关系：A B ??A B A A B B =?= 题型1.集合性质的应用 1.判断能否构成集合：【根据集合的确定性】 （1）我国的所有直辖市； （2）我校的所有大树； （3）深圳机场学校的所有优秀学生； （4）深圳市的全体中学生； （5）不等式220x x ->的所有实数解； （6）所有的正三角形。 2.用,∈?填空：2 N ， ， -3 Z ， ， R ； 已知2{|20}A x x x =--=，则1 A ，2 A ，-1 A ，-2 A 。 集合知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2．集合元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示 R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集* N 或N +一正整数集 C 一复数集 二、集合间的关系 1．元素与集合之间的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ?)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作?． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系． 子集：如果对任意a A A B ∈?∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ?或B A ?，显然A A ?．规定：A ??． （2）相等关系． 对于两个集合A 与B ，如果A B ?，同时B A ?，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系． 对于两个集合A 与B ，若A B ?，且存在b B ∈，但b A ?，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B ü或 B A Y．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 三、集合的基本运算 集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示． 集合题型归纳总结 题型一 集合的表示（列举法、描述法） 1. 下列说法：①集合{x ∈N|x 3 ＝x }用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R}；③方程组????? x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )． A ．3个 B ．2 C ．1个 D ．0个 题型二 集合与集合的关系（子集） 1、已知集合A={x |x 个2－x －2<0}，B={x |－1 ●高考明方向 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系； 能用列举法或描述法表示集合． 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 了解全集与空集的含义． 3.理解并会求并集、交集、补集； 能用Venn图表达集合的关系与运算. ★备考知考情 对于本节的考查，一般以选择题或填空题形式出现，难度中低档． 命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关系以及集合 的交集、并集、补集的运算，同时注意以集合为工具，考查对集合语言、 集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合 在一起，体现出一种小题目综合化的特点. 在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言能 力及用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力； 以集合为载体考查对信息的收集、捕捉、加工能力． 一、知识梳理《名师一号》P1 知识点一元素与集合 某些指定的对象集在一起就成为一个集合．其中每个对象 叫做集合中的元素． 1、集合中的元素具有三个特性确定性、互异性和无序性． 2、集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种， 分别用∈和?来表示． 3、常见数集的符号表示： 4 还可以用区间来表示集合． 5、集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集 知识点二集合间的基本关系 知识点三集合的基本运算及性质 1.集合的基本运算 2.集合的运算性质 并集的性质：A∪φ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A 交集的性质：A∩φ＝φ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝φ；?U(?U A)＝A [集合基本题型] 题型一：集合的判断 集合元素的特征： ⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合A 给定，若有一具体对象x ，则x 要么是A 的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一，且只居其一。 ⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合A 给定，A 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。 例1、“①难解的题目;②方程012=+x ;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是()。 A .② B .①③ C .②④ D .①②④ 解析:解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。 ①③④不符合集合元素的确定性特征。 答案:A 例2、下列命题正确的个数为…………………()。 ① 很小两实数可以构成集合； ② }1|{2-=x y y 与}1|),{(2-=x y y x 是同一集合 ③ 5.0,2 1,46,23,1-这些数组成的集合有5个数； ④ 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集； A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 解析: ①中的元素不符合集合元素的确定性，不对； ②先看“|”左边描述的元素，第一个集合是函数12-=x y 的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合； ③根据集合元素的互异原则：5.02 1,4623=-=，所以集合有3个数，③不对； ④先看“|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性0≤xy ，第二、四象限内的点集的公共属性应为0 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下： 1．代表元素意义不清致误 例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A I B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ． 错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ． 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ． 变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I 解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2 =--=x x x B ，判断A 与B 的关系。 错解：}32{，-==B A 分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。 例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ? B B ．B ?A C ．A ∈B D ．B ∈A 错解：B 分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?， ∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A. 评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值． 错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２． 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|I 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或|Y 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-0202y x ，即???-==22y x 。因此解集应为(){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 练习一组 1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A ?，则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝{}|x x A ?知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B 2．若{}2,|a a R x x Ｎ??，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，2x a ￡有解，故0a 3．答案：0a 3 3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x -＃，则集合A 与B 的关系是________． 解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ． 答案： B A 4．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________． 解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：② 5知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5． 答案：a <5 6．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？ 解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ． 练习二组 1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab | 可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1} 2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ?A ，则实数m ＝________． 解析：∵B ?A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下： 1．代表元素意义不清致误 例1 设集合A ＝｛（x ,y ）∣x ＋2y ＝5｝，B ＝｛（x ,y ）∣x －2y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得???==2 1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A I B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ． 错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ． 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ． 变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2 y x y B ==，求B A I 解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I 例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。 错解：}32{，-==B A 分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。 例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ? B B ．B ?A C ．A ∈B D ．B ∈A 错解：B 分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?， ∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A. 评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 2 忽视集合中元素的互异性致错 例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值． 错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．1.高考数学考点与题型全归纳——集合
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
高考数学题型归纳完整版
复数高考题型归类
2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练(有解析答案)
高中数学集合总结+题型分类+完美解析
高中数学主要题型与方法归纳
高中数学《集合》知识点归纳及题型练习
集合知识点及题型归纳总结(含答案)
高中数学必修一集合题型归纳总结
最新集合-知识点与题型归纳
高一数学集合基本题型
(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
高中数学集合总结题型分类完美解析
高考文科数学专题一：集合题型总结含解析
集合问题中常见易错点归类分析答案解析
- 《高中数学专题题型分类大全》第一分册函数专题1函数的概念及解析式的一般构成
- 2017年高考数学题型归纳完整版
- 高中数学必修一集合题型归纳总结
- 高一数学集合经典题型归纳总结
- 数列全部题型归纳(非常全面-经典!)
- 高中数学核心知识点常考题型精析：集合(理)
- 高中数学集合总结+题型分类+完美解析
- (完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
- (完整版)高一数学集合经典题型归纳总结
- 三集合容斥原理的新题型和解题技巧
- 高考数学题型归纳完整版
- 集合知识点及题型归纳总结(含答案)
- 集合问题中常见易错点归类分析答案解析
- 集合问题中常见易错点归类分析答案
- 集合题型全归纳(含详解答案)
- 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练(有解析答案)
- 高一数学集合基本题型
- (完整版)专题一：集合中的题型归类解析
- 1.1.1集合的含义与表示练习题及答案解析
- 高中数学集合基础知识及题型归纳复习