全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准

全国大学生竞赛历年试题名师精讲

（非数学类）

（2009——2013）

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类）

一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.

求极限(

lim 1sin n

n →∞

+.

解

因为(

)

sin sin 2sin

n ππ==……（2分）；

原式lim 1exp lim ln 1sin n

n n n →∞→∞

??????=+=+?? ??????

=2.证明广义积分0

sin x

dx x ?不是绝对收敛的

解 记()1sin n n n

x a dx x

π

π

+=

?，只要证明0

n n a ∞

=∑发散即可。……………………（2分）

因为()()()()101

12

sin sin 111n n n a x dx xdx n n n π

π

π

π

ππ

+≥

==+++?

?。…………（2分） 而()02

1n n π

∞

=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞

=∑发散。……………………………………

（2分）

3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）

故()22

22x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=?=或2x y =-………（2分）

将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，

将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）

又()()()()()

2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-

()()()

0,1,02,1,02

00220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''

''==-<=>-，

故()01

y=-为极大值，()21

y-=为极小值。…………………………（3分）

4.

过曲线)0

y x≥上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平

面图形的面积为3

4

，求点A的坐标。

解设切点A

的坐标为(t，曲线过A

点的切线方程为

y-=

令0

y=，由切线方程得切线与

x轴交点的横坐标为

2

x t

=

-。

从而作图可知，所求平面图形的面积

()

33

21

44

t

S t t t

=---==?=

??，

故A点的坐标为()

1,1。……………………………………………………（4分）

二、（满分12）计算定积分

2

sin arctan

1cos

x

x x e

I dx

x

π

π-

?

=

+

?

解

22

sin arctan sin arctan

1cos1cos

x x

x x e x x e

I dx dx

x x

π

π-

??

=+

++

??

22

00

sin arctan sin arctan

1cos1cos

x x

x x e x x e

dx dx

x x

ππ

-

??

=+

++

??…………………………………（4分）

()

22

00

sin sin

arctan arctan

1cos21cos

x x

x x x x

e e dx dx

x x

ππ

π

-

=?+=

++

??……………………（2分）2

2

sin

21cos

x

dx

x

π

π??

= ?

+

??

?……………………………………………………………（4分）23

arctan cos

28

xπ

ππ

??

=-=

?

??

…………………………………………………（2分）

三、（满分12分）设()

f x在0

x=处存在二阶导数()0

f''，且

()

lim0

x

f x

x

→

=。证明：

级数

1

1

n

f

n

∞

=

??

?

??

∑收敛。

解由于()

f x在0

x=处可导必连续，由

()

lim0

x

f x

x

→

=得

()()

()

00

0lim lim0

x x

f x

f f x x

x

→→

??

==?=

??

??

…………………………………………（2分）()

()()()

00

0lim lim0

x x

f x f f x

f

x x

→→

-

'===

-

……………………………………（2分）

由洛必塔法则及定义

()()()()

()

2

000

11

lim lim lim0

2202

x x x

f x f x f x f

f

x x x

→→→

'''

-

''

===

-

…………………（3分）

所以 ()211lim 021n f n f n →∞?? ?

??''

=??

??? ……………………………

由于级数211n n ∞=∑收敛，从而由比较判别法的极限形式1

1n f n ∞

=??

???∑收敛。四、（满分12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明()sin b

a

f x ?解 因为()()0f x a x b π'≥>≤≤，所以()f x 在[],a b 上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………（2分）。

设()(),,A f a B f b ?==是f 的反函数，则()()11

0y f x m ?'<=≤'……… （3分） 又()f x π≤，则A B ππ-≤<≤，所以()()()sin sin b

B

x y a A

f x dx y ydy ??='=

??…（3分）

()000

112

sin sin cos y ydy ydy y m m m π

ππ

?'≤≤=-=?? ………………… （2分）

五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分

()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑

=-+-+-??。试确定曲面∑，使积分I 的值

最小，并求该最小值。

解 记∑围成的立体为V ，由高斯公式

()()222222

369332

31V

V

I x y z dv x y z dxdydz =++-=++-?????? ……………（3分）

为了使得I 的值最小，就要求V

是使得的最大空间区域2222310

x y z ++-≤

，即 取(){}

2

22,,231V x y z x

y z =

++≤ ，曲面222:23

1x y z ∑++= …… （3分）

为求最小值，作变换x

u y z ?

?=??

=??

?=??

，则()(

)10,,

0,,

00

x y z u v w ?==?，

从而()222

1V

I u v w dudvdw =++-??? ……………………………………（4分） 使用球坐标计算，得()21

22

000

1sin I d d r r dr ππ?θ?=-??? ()01122cos 45315ππ?π-??

=

--=?= ???

…………………… （4分）

六、（满分14分）设()()

22a a C ydx xdy

I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C 为椭圆

222x xy y r ++=，取正向。求极限()lim a r I r →+∞

解

作变换

))22

x u v y u v ?=-??

?

?=+??

（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C 变为uov 平面上的椭圆22231

:22

u v r Γ+=（实现了简化积分曲线），

也是取正向 …（2分）

而且2222,x y u v ydx xdy vdu udv +=+-=-（被积表达式没变，同样简单！），

()()

22a a vdu udv

I r u v Γ-=

+?

………………………………………………………………

（2分）

曲线参数化cos ,sin ,:02

u v θθθπ=

=→，则有2vdu

udv d θ-=

， ()()222100222222

22cos 2sin cos 2sin 33a a a d I r r r ππ

θθθθθ-==????++ ? ??????? … （3分） 令2022

2cos 2sin 3a a

d J π

θ

θθ=??+ ???

?，则由于2222cos 2sin 233θθ<+<，从而 0a J <<+∞。因此当1a >时()lim 0a r I r →+∞=或1a <时()lim a r I r →+∞

=-∞………（2分）

而2/2

122220

1,42

2

cos 2sin cos 2sin 3

3

d d a J π

πθθθθ

θθ

==

=++??

/2

220

tan 2

2201

12tan 3

3

d dt

t πθπθ+∞

?

====-=?

?

++?

?

…（3分）

()12I r π==-。故所求极限为()0,1

,12,1

a a I r a a π>??

=-∞

七（满分14分）判断级数()()

1111212n n n n ∞

=+

++++∑

的敛散性，若收敛，求其和。 解 （1）记()()

1

1

1,,

1,2,3,2

12n n n a a u n n n n =++

+

==++

因为0,n n =充分大时1

1

011ln n

n a dx n x <<+=+

所以

3210n u n <<<，而312

1n n

∞

=∑收敛，故()()1111212n n n n ∞

=+

++

++∑收敛…（2分）

（2）记()11

1,1,2,3,2k a k k =+++= ，则

()()()()111111212121

2n n n

k k k n k k k a a a k S k k k k k k ===+++??===- ?++++++??∑∑∑

=1111222334112n n n n a a a a a a a a n n n n --????????

-+-++-+- ? ? ? ?+++????????

……………… （2分） =()()()121321111

23412

n n n a a a a a a a a n n -+-+-++--++ …………………（2分） =11111111

123243122

n n a a n n n n n +?+?++?-=--+++ ………………………（2分） 因为1

1

011ln n

n a dx n x <<+=+?，所以1ln 022n a n n n +<<++，从而1ln lim 02n n n →∞+=+，

故lim 02

n n a

n →∞=+。 因此lim 1001n n S S →∞

==--=。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………

（3分）

第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类）

一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。） （1）.求11cos 0sin lim x

x x x -→??

???

；

解：方法一（用两个重要极限）：

()

()

20003

2

2

1

sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim

lim

lim sin 11331cos 3

222

sin sin lim lim 1lim x x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e

e e

e

e

→→→-?

---→→-----

-→-????

=+ ? ?????

=====

方法二（取对数）：

02

020003

2

2

sin 1sin 1ln lim

11cos lim

1cos 2

01sin cos 12lim

lim

lim 11333

222

sin lim x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x x e

e

x e

e e e

→→→→→-?? ?

??--→----

??== ???====

（2）.求1

11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++?

?； 解：方法一（用欧拉公式）令111

...12n x n n n n

=+++

+++ 11

1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n

n n n n

+++-++++++-+由欧拉公式得（），

则（），

其中，()1o

表示n →∞时的无穷小量，

-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞

∴= 方法二（用定积分的定义）

11

1

lim lim lim()12n n n n x n n n

→∞→∞→∞

=+++

+111lim ()111n n n n

n

→∞=++

++

1

01

ln 21dx x

==+?

（3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e ?=+?

?=-??

，求22d y dx 。 解：222222221211,121121t

t t t t t t t t t

t

e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()()222222412121224t t t t t t t

e e d y d dy e e

dx dx dt dx e e e

dt

+--+??∴=?== ??? 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x

??==∴??0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+

方法一：由24z

P x y x

?==+-?得

()()2244z x y dx x xy x C y =+-=+-+?

由()'1z

x C y Q x y y

?=+==+-?得()()'

211,2C y y C y y y c =-∴=-+

2

2142

z x xy x y y c ∴=+-+-+

方

法

二：

()()()

()

,0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-???

,P Q

y x

??=∴??该曲线积分与路径无关

()()2

2

00124142

x

y

z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-??

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230

lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=????

即

[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①

由洛比达法则得

()()()()()()()

1232

'''1230

230lim

2233lim 0

2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==

由极限的存在性得()()()'''

1230

lim 22330h k f h k f h k f h →??++=??

即

()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=②

再次使用洛比达法则得

()()()()()()

()()()'''1230

"""1230

""1232233lim

24293lim

02

490000

h h k f h k f h k f h h

k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠

123490k k k ∴++=③

由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231

231230490

k k k k k k k k k ++=??

++=??++=?的解

设1231111123,,01490k A x k b k ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????

，则Ax b =，

增广矩阵

*111110031230010314900011A ????

? ?=- ? ? ? ?????

，则

()(),3R A b R A ==

所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1233,3,1k k k ==-=。

四．（本题17分）设222

1222:1x y z a b c

∑++=，其中0a b c >>>，

2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面

到原点距离的最大值和最小值。

解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222

222,,1x y z F x y z a b c

=++-，

则'

''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：

222,,,x y z t a b c ??

=∴ ???1∑在点M 处的切平面为∏：

()()()2220x y z

X x Y y Z z a b c

-+-+-= 原点到平面∏的距离

为d =，令

()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则

1

d =

现在求()222

444,,,

x y z G x y z a b c

=++在条件

222

2221x y z a b c

++=，

222z x y =+下的条件极值，

令

()()222

22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ???

则由拉格朗日乘数法得：

'124

2'12

42'1242222

22222222202220

222010

0x y z x

x H x a a

y y H y b b z

z H z c c x y z a

b c x y z λλλλλλ?=++=??

?=++=???=+-=??

?++-=???+-=??

，

解得2222

220x b c y z b c =???==?+?

或22

2222

a c x z a c y ?==?+??=?， 对应此时的()()442222,,

b

c G x y z b c b c +=+或()()

44

2222,,a c G x y z a c a c +=+

此时的1d =

2d =又因为0a b c >>>，则12d d <

所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

2d =

1d =五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231

x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面

的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算：

（1）(),,S

z

dS x y z ρ??；

（2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()222

310x y z z ++=≥

令22231,F

x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===，

切平面∏的法向量为(),3,n

x y z =，

∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=，

原点到切平面∏的距离(

)222,,x y z ρ

=

=

(

)1,,S S

z

I dS x y z ρ∴==????

将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz

D x z x z +≤≥≥

()

22

22

1210

323244sin xz

D z x z r r dr

I dxdz d π

θθ??-+-∴==??

??

22221

2

32sin 32sin 44r r dr d π

θθθ

--==

?

?

431322

2422π

??=-=

??

?

(2)方法一：

λ

μν=

=

=

()2132S S

I z x y z dS I λμν∴=++===

????

方法二（将一型曲面积分转化为二型）：

()2233S

S

I z x y z dS xzdydz yzdzdx z dxdy λμν=++=++????

记()22222:0,31,:310z x y x y z z ∑=+≤Ω++≤≥，取面∑向下，Ω

向外，

由高斯公式得：22

36I xzdydz yzdzdx z dxdy zdV ∑

Ω

+

++=?????

26I zdV Ω

∴=???，求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法：

① 先一后二：

()2

2222

220

31

31

6

3

13x y x y I d zdz x

y d σσ+≤+≤==--????

(

)

12

2

00

121

2

d r dr

π

θ

=-=

??

②先二后一：(

)

222

112

200

31

61

2

x y z

I zdz d z z dz

σ

+≤-

==-=

????

③广义极坐标代换：

132

22

2000

sin

2

I d d r dr

ππ

θ??

==

???

六．（本题12分）设f(x)是在()

,

-∞+∞内的可微函数，且()()

f x mf x

<

、，其中01

m

<<，任取实数

a，定义()1

ln,1,2,...,

n n

a f a n

-

==证明：

()

1

1

n n

n

a a

∞

-

=

-

∑绝对收敛。

证明：()()

112

ln ln

n n n n

a a f a f a

---

-=-

由拉格朗日中值定理得：ξ?介于12

,

n n

a a

--

之间，使得

()()

()

()

()

'

1212

ln ln

n n n n

f

f a f a a a

f

ξ

ξ

----

-=-

()

()

()

'

112

n n n n

f

a a a a

f

ξ

ξ

---

∴-=-，又()()

f mf

ξξ

<

、得()

()

'

f

m

f

ξ

ξ

<

1

11210

...n

n n n n

a a m a a m a a

-

---

∴-<-<<-01

m

<<

∴级数1

10

1

n

n

m a a

∞

-

=

-

∑收敛，∴级数1

1

n n

n

a a

∞

-

=

-

∑收敛，即()1

1

n n

n

a a

∞

-

=

-

∑

绝对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间[]

0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()

021

f f

==，

()()

2

1,1

f x f x dx

≤≤

?

、

？请说明理由。

解：假设存在，当[]

0,1

x∈时，由拉格朗日中值定理得：

1

ξ?介于0，x之间，使得()()()

'

1

0,

f x f f x

ξ

=+，

同理，当[]

1,2

x∈时，由拉格朗日中值定理得：

最新全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 百度简介

中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学

全国大学生数学竞赛预赛试题

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线

最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答

1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分.

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

全国大学生数学竞赛知识点列表

知识点列表 (1) 基于夹逼定理的求和式极限的计算方法 (2) 基于定积分定义的求和式极限的计算方法 (3) 求和式极限的级数法 (4) 多元复合函数求导的一般思路与方法 (5) 多元复合函数链式法则的具体使用方法 (6) 多元复合函数复合结构变量关系图的绘制方法 (7) 求空间立体体积的定积分方法 (8) 求空间立体体积的二重积分方法 (9) 求空间立体区域的三重积分方法 (10) 二重积分计算的换元法 (11) 二重积分计算的极坐标方法 (12) 二重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算 (13) 三重积分直角坐标系下的计算方法及其逆运算 (14) 定积分的绝对值不等式 (15) 二重积分的绝对值不等式 (16) 定积分基本公式及其逆运算 (17) 狄利克雷收敛定理与傅里叶级数的和函数 (18) 函数的傅里叶级数的不确定性 (19) 曲面的切平面计算方法 (20) 定积分的换元法 (21) 反常积分的计算方法 (22) 概率积分及其应用 (23) 用二重积分计算定积分的方法 (24) 空间图形构建方程的一般思路与步骤 (25) 圆锥面的几种几何特征 (26) 向量夹角的计算 (27) 点之间的距离计算 (28) 向量的数量积 (29) 向量的模的计算 (30) 直线的点向式方程 (31) 平面的点法式方程 (32) 两种曲面方程法向量的计算公式 (33) 空间曲线的一般式方程 (34) 空间曲线的参数式方程 (35) 空间曲线一般式方程的不唯一性。

(36) 证明函数无穷次可导的方法 (37) 高阶导数的线性运算法则 (38) 函数项级数收敛域计算的一般思路与步骤 (39) 幂级数收敛区间、收敛半径和收敛域的计算步骤 (40) 基于已有幂级数和函数求幂级数未知和函数的方法 (41) 基于求解微分方程初值问题的幂级数和函数计算方法 (42) 幂级数收敛域内和函数的连续性 (43) 幂级数的线性运算、逐项可导、逐项可积的性质 (44) 常值级数收敛性的判定方法 (45) 常值级数收敛判定的比值审敛法与根值方法 (46) 利用函数的连续性求极限 (47) 利用等价无穷小求极限 (48) 函数极限的加减运算法则 (49) 证明问题的反证法 (50) 闭区间上连续函数的介值定理与零点定理 (51) 积分计算的保号性与保序性 (52) 二重积分的绝对值不等式

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-

全国大学生数学竞赛-2019年文档资料

19:56 2019-9-28Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）. 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类. 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 六、多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）. 3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）. 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. 5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算. 6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件. 7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. 七、无穷级数 1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet 判别法. 2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收