2019年江西省赣州市高三上学期期末考试数学(理)试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

赣州市20xx ～20xx 学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试题 20xx 年1月

（考试时间120分钟. 共150分）

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

2i

1i --的共轭复数是 A .3i 2+ B .1i 2- C .3i 2- D .3i 2

--

2.{}

2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A

B =e

A .[]2,5

B .(2,5]

C .[]1,2-

D .[)1,2- 3.等比数列 {}n a 中，242,8S S ==，则6S =

A .32-

B .32

C .26-

D .26

4.已知命题13

:1,log 0p x x ?<<都有，命题:q x ?∈R ，使得2

2x

x ≥成立，则下列命题是

真命题的是

A .p q ∨

B .()()p q ?∧?

C .()p q ∨?

D .p q ∧

5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有

A .132231353535A A A A A A ++

B .132231

353535C C C C C C ++

C .13

37C C D .(

)

132231

4

3535354C C C C C C A ++

6.变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥??

--≤??≥?

，则目标函数3z x y =+的最小值为

A .2

B .3

C .4

D .5

7.若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的两个平面，则下列命题正确的是 A .,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥?⊥ B .l ∥m ，m l α??∥α C .l α?，m α?，l ∥β，m ∥βα?∥β D . ,l n m n l ⊥⊥?∥m 8.将函数2sin()(0)3y x ωωπ=+>的图像分别向左、向右各平移π

3

个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则ω的最小值为 A .3

B .

43 C .6

D .3

2

9.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

的一条渐近线的方程为y =，则该双曲线的离

心率为 A .

3

2

B

.2C .3 D

10.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为

36

55

，则空白处应填入的条件是 A .9i ≤ B .6i ≤ C .9i ≥ D .8i ≤

11.已知圆O 的半径为2，,A B 是圆O 上任意两点，且120AOB ∠=，PQ 是圆O 的一条直径，若点C 满足()()331OC OA OB λλλ=+-∈R ,则CP CQ ?的最小值为 A .3 B .4 C .5 D .6

12.已知函数2

()ln (,)g x x mx nx m n =--∈R 在2x =处取得极大值，则m 的取值范围为 A .()1

(,0)

0,8

-+∞ B .1(,)8-

+∞ C .()1

,0(0,)8

-∞ D .()0,+∞ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()

()10

12x x -+)的展开式中3x 的系数为______.

1

7

4

2

1

1

08

6

56

543209988542199987719

18171615

P

D

N

M

A 14.已知对任意n *∈N ，点2

221111

(,(2))22

n n n n a n a a a n ++-

-+ 在直线y x =上,若11a =，0n a >则n a =_________. 15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，

2,-20

()2

,021mx x f x nx x x +≤

=-?≤≤?+?

，其中,m n ∈R ，若()()13f f =，则143

1

()mx n dx -+=?

.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数)23()sin 0222x f x x ωωω=

++<< （1）若函数()f x 图像的一条对称轴是直线π

4

x =

，求函数()f x 的最小正周期 （2）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

且满足A f ω??

=

???

12a =，4C π= 求b 的值 18．（本小题满分12分）

为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某

脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况 编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果 在175个以上（包括175）定义为“高产”，

挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，

那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?

（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用ξ表示所选3

棵中“高产”的个数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 面为矩形，

N

B C

O D

T

M

A

PA ABCD ⊥面，1

2

PA AD AB ==

，M 为PB 的中点， N 、S 分别为AB CD 、上的点，且1

4

AN CS AB ==

. （1）证明：DM SN ⊥；

（2）求SN 与平面DMN 所成角的余弦值．

20.(本小题满分12分)

从抛物线C ：2

2(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、）

，分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,4M x 在抛物线C 上，且6MF =（F 为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C 的方程；

（2）求证：四边形PCQD 是平行四边形.

21.(本小题满分12分)

已知函数()ln f x x x =-

（1）求函数()()2g x f x x =--的图像在1x =处的切线方程 （2）证明：()ln 1

2

x f x x >

+ （3）设0m n >>，比较

()()1f m f n m n -+-与22

m

m n

+的大小，并说明理由 请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做

答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =， 直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结

,,MC MB OT

（1）求证：DT DC

DO DM

=； （2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小．

23.（本小题满分10分）

已知曲线C 的极坐标方程是2

π

4cos()103

ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程

是

cos ()sin x t t y t α

α

=???

=??为参数 （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B

两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值．

24.（本小题满分10分）

已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2

1a b x x +-≤ 恒成立.

（1）求

11

a b

+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22

221x y a b

+=的位置关系，并说明理由.

赣州市20xx ～20xx 学年度第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题

1～5.CBDAB ； 6～10.CADDA ； 11～12.CB .

二、填空题

13.195-； 14.222n n -+； 5.2

6π3

-； 16.8.

三、解答题

17.

解：2

31()sin cos 22222x f x x x x ωωω?=+=++???

π6x ω?

?=+ ??

?3分

（1）由ππππ()462

k k ω+=+∈Z 得：4

43k ω=+，

因为02ω<<，所以4

3

ω=…………………………………………………………5分

函数()f x 的最小正周期为2π3

π2

T ω==……………………………………………6分

（2

）6A f A πω???

?=+= ? ?????π3A =………………………………7分 又 π4

C =

，

ππsin sin()sin 34B A C ??

=+=+=

???

…………………………………………9分 由

sin sin a b

A B

=…………………………………………………………………………10分

所以

3

sin sin 2

a B

b A

=

==12分

F E P

D

S

N M C B

A

18. 解：（1）根据茎叶图，有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法，每棵

被抽中的概率是

51

306

=………………………………………………………………2分 所以选中的“高产”有11226?=棵，“非高产”有1

1836

?=棵，用事件A 表示至少有一

棵“高产”被选中，则232537

()111010

C P A C =-=-=………………………………4分

因此至少有一棵是“高产”的概率是

7

10

（2）依题意，抽取30棵中12棵是“高产”，

所以抽取一棵是“高产”的频率为

122

305

=………………………………………………5分 频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是2

5

，

又因为所取总体数量较多，抽取3棵可看成进行3次独立重复试验，

所以ξ服从二项分布2(3,)5

B ……………………………………………………………6分

ξ的取值为0，1，2，3，033227(0)(1)5125P C ξ==-=，1232254(1)(1)55125

P C ξ==-=， 2232236(2)()(1)55125P C ξ==-=

，33

328(3)()5125

P C ξ===………………………9分 所以ξ的分布列如下：

…………………………………………………11分

所以2754368601231251251251255

E ξ=?

+?+?+?=（或26355E ξ=?=）……………12分

19.解：证法一：（1）如图，取AB 中点E ，连接EM ED 、…………………………1分

因为M PB 为中点，所以//EM PA ……………………………………………………2分

PA ABCD ⊥又面， SN ABCD ?面

所以PA SN ⊥，所以EM SN ⊥……………………3分 因为1

2

AD AB AE =

= ，所以45AED ∠=……………4分

S SF AB AB F ⊥过作交于

NF FS =则，所以45FNS ∠=

所以ES ED ⊥…………………………………………5分

ED ME E =又，SN ⊥平面EDM

所以SN DM ⊥……………………………………………………………………………6分 证法二：设1PA =，以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系则(0,0,1)P ，(0,1,0)D ，1(1,0,)2M ，1(,0,0)2N ，3(,1,0)2

S ………3分 （1）证明：1(1,1,)2

DM =-，(1,1,0)SN =--……………………………………4分 因为11+1100SN DM ?=-??+=……………………………………………………5分 所以DM SN ⊥……………………………………………………………………………6分

(2) 1

(,1,0)2DN =-，设(,,)n x y z =为平面DMN 则00

DM n DN n ??=???=??，所以102

102

x y z x y ?-+=????-=??........................8取2x =，得(2,1,2)n =- (9)

设SN 与平面

DMN 所成角为α

sin |cos ,|10SN n α

∴=<>==…………………………………………10分

cos α∴=

………………………………………………………………………………11分 所以SN 与平面DMN 12分 20. 解：（1）因为462

p

MF =+

= 所以4p =，即抛物线C 的方程是2

8x y =…………3（2）由2

8x y =得28x y =，'

4

x y =………………4分设22

1212,,,88x x A x B x ???? ? ?????

，

则直线PA 的方程为()211

184

x x y x x -=-， ①…………………………………………5分

则直线PB 的方程为()222284

x x

y x x -=-，②…………………………………………6分 由①和②解得：1212,28x x x x x y +=

=，所以1212,2

8x x x x P +??

???……………………7分

设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+………………………………………8分

由28x y y kx t

?=?=+?得2

880x kx t --= 则12128,8x x k x x t +==-……………………………………………………………9分 所以()4,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =

，所以1,02x C ?? ???，同理得2,02x D ??

???

，所以线段CD 的中点 坐标为12,04x x +??

???

，即()2,0k ……………………………………………………10分 又因为直线PQ 的方程为2t

y x t k

=-

+，所以线段CD 的中点()2,0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分…………………………………………………………11分 因此，四边形PCQD 是平行四边形…………………………………………………12分 21. 解：(1) 因为()()ln 21g x x x =-+ 所以()12x

g x x

-'=

，()11g '=-…………………………………………………1分 又因()14g =-，所以切点为()1,4-………………………………………………2分 故所求的切线方程为：()41y x +=--，即30y x ++=………………………3分 （2）因为()1x

f x x

-'=

，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞ 上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，()min ||1f x =……………………………………4分 设()G x =

ln 12x x +，则()'2

1ln x

G x x -=，故()G x 在()0,e 上是增加的， 在(),e +∞ 上是减少的，故()()max 11

12

G x G e e ==+<，

()()min max ||G x f x <

所以()ln 1

2

x f x x >

+对任意()0,x ∈+∞恒成立……………………………………7分 （3）()()ln ln ln 1

11,1m f m f n m n m n n m m n m n n n

---++=+=?---2

2

11m n m m n

n m n =?++ 0m n >>，10m n ∴-> ,故只需比较ln m

n 与1

m n n m m n

-+的大小…………………8分 令()1m

t t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t

--=-=-++， 则()()()()()3

243'

22222211

1211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++=-==+++………………………9分 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，

故()()10G t G >=……………………………………………………………………10分 所以 ()0G t >对任意1t >恒成立……………………………………………………11分

即1ln m

m n n m

n m n

->+,从而有()()221f m f n m m n m n -+>-+……………………………12分

22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，

由切割线定理2

DN DT DM =?，2

DN DB DA =?…………………………………2分 得DA DB DM DT ?=?…………………………………………………………………3分 设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2

r

BC OC ==， 则2

33DB DA r r r ?=?=，23232

r

DO DC r r ?=?

=………………………………3分 所以DT DM DO DC ?=?………………………………………………………………4分 所以

DT DC

DO DM

=…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可知，DC DO DM DT ?=?，且CDM TDO ∠=∠………………7分 故DTO ?∽CM D ?，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分 根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠=……………9分

80DOT ∴∠=…………………………………………………………………………10分 23.解：（1）由2

π4cos()103

ρρθ---=

得圆C

的方程为22

(1)(5x y -+-=……………………………………………4分

（2

）将cos sin x t y t αα

=???=??代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分

化简得2

2cos 40t t α--=……………………………………………………………6分 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则1212

2cos 4t t t t α

+=??=-?………………………7分

所以12||||AB t t =-===8分

所以24cos

2α=

,cos 2α=±

,π3π

44

αα==或…………………………………10分 24.解：（1）因为()2

1a b x x +-≤，0x >，所以1

a b x x

+≤+……………………1分 因为

1

2x x

+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ????

+≥++=++≥ ? ?????，所以112a b +≥……………………5分

所以

11

a b

+的最小值为2…………………………………………………………………6分 （2）因为22

2211112()()1222

a b a b ++≥≥=………………………………………………7分 所以2211

2a b

+≥……………………………………………………………………………8分

即()2

222

1121a b -+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分