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概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题

一、单项选择题

1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（）

（A ）()1()P A P B =-

；（B ）(|)()P A B P A =；

（C ）(|)1P A B =；（D ）(|)1P A B =。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（）一定成立（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B =；

（C ）()1()P A P B =-

；（D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（）成立时，事件A 与B 一定独立

（A ）()()()P AB P A P B =

；（B ）()()()P A B P A P B =；

（C ）(|)()P A B P B =

；（D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ?，则下列等式中正确的是（）

（A ）()()P AB P A =；（B ）()()P A B P A =；

（C ）(|

)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）

A 与

B 互不相容；（B ）A 与B 相容；

（C ）()()()P AB P A P B =

；（D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（）（A ）()()()P A

B P A P B =+；（B ）()()()P A B P A P B ≠+；（

C ）()()()P AB P A P B =

；（D ）()()()P AB P A P B =。

7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（）

（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+；（C ）()()P A P AB -；（D ）()()()P A P B P AB +-。

二、填空题 1、若

A B ?，A C ?，P (A )=0.9，()0.8P B C =，则()P A BC -=__________。

2、设P (A )=0.3，P (B )=0.4，P (A |B )=0.5，则P (B |A )=_______，(|

)P B A

B =_______。

3、已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 。

4、已知事件

A 、

B 满足()()P AB P A B =?，且()P A p =，则()P B = 。

5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出

的是次品的概率为_____________。

6、设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是6581，

则A 在1次试验中出现的概率为__________。 7、设事件A ，B 的概率分别为()1

3,()1P A P B ==， ①若A 与B 相互独立，则

()P A B =_________； ②若A 与B 互不相容，则()P A B =___________。

8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为__________。

9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标被击中的概率为___________。三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于1个的概率。

2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为 6 或 8；求 (1) 随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率； (2) 随机抽取的电话号码末位数是8的概率。

3、已知()()()14P A P B P C =

==，P (AB )=0，()()1P AC P BC ==，求A ，B ，C 至

少有一个发生的概率。

4、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。

5、一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，

①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；

②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。

6、有两箱同类零件，第一箱装 50 只 (其中一等品 10 只)，第二箱装 30 只(其中一等品 18 只)；今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。

7、右边是一个串并联电路示意图， A 、B 、C 都是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立正常工作的概率(可靠性)，求电路的可靠性。四、证明：若(|

)(|)P B A P B A =，则事件A 与B 相互独立。

第二、三章《随机变量及其分布》练习题

一、单项选择题

1、设离散型随机变量X 的分布列为

()F x 为X 的分布函数，则(1.5)F =（）

（A ） 0；（B ） 0.3；（C ） 0.6；（D ） 1。 2. 如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X 的分布函数（）

（A ）0, 0,

1/3, 01

()1/2, 121, 2x x F x x x

=?≤

（C ）2

0, 0,1(), 024

1, 2

x F x x x x

x F x e x -

3、当常数b =（）时，

(1,2,)(1)

k b

p k k k =

=+为某一离散型随机变量的概率分布

（A ） 2；（B ） 1；（C ） 1/2；（D ） 3。 4、设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则随机变量21Y X =+的分布函数()Y F y 是（）

（A ）

1()22y F -；（B ） (1)2y F +；（C ） 2()1F y +；（D ） 11()22

F y -。

5、设随机变量

2~(,)X N a a ，且~(0,1)Y aX b N =+，则,a b 应取（）

（A ）2,2a b ==-；（B ）2,1a b =-=-；（C ）1,1a

b ==-；（D ）1,1a b =-=。

6、设某一连续型随机变量X 的概率密度()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0，则区

间[,]a b 为（）（A ）[0,/2]π

；（B ）[0,]π；（C ）[/2,0]π-；（D ）[0,3/2]π。

7、设随机变量2~(,)X

N μσ，则随σ的增大，则{||}P X μσ-<（）

（A ）单调增加；（B ）单调减少；（C ）保持不变；（D ）增减不定。

8、设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}1/2P X P Y =-==-=，

{1}{1}1/2P X P Y ====，则下列式子成立的是（）

（A ）{}1/2P X Y ==；（B ）{}1P X Y ==；（C ）{0}1/4P X

Y +==；（D ）{1}1/4P XY ==。

9、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则min(,)Z X Y =的分

布函数为（）（A ）()()Z X F z F z =

（B ）()()Z Y F z F z =；

（C ）()min{(),()}Z X Y F z F z F z =；（D ）()1[1()][1()]Z X Y F z F z F z =---。二、填空题

1、设离散型随机变量X 的分布函数0,1,,11,()2,12,3,2,

x a x F x a x a b x <-??-≤

=?-≤

则a

=______，b =____ _ _，X 的分布列为_______ ___。

2、设随机变量X 的分布函数2,1,

()0,1,

b a x F x x

x ?

->?=??≤? 则a

=______，b =____ _，{12}P X -<<= __ ，X 的概率密度 f (x ) =__ ____ 。

3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X 表示3点朝上的次数，则X ~ ____ _ _，X 的概率分布为________ ___ __。

4、设随机变量X 的概率密度为34,01,()0,,

x x f x ?<<=??其它则使{}{}P X a P X a >=<成立的常

数a

=___ ___。

5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2％，且具有3.2％的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15－17.5％之间的概率为。

6、设2

~(,)X N μσ

，其概率密度

(3)()}4x f x +=-，则___,___μσ==。

7、 (X, Y ) 的分布律为

则X 的分布律为，Y 的分布律为；

{}P X Y == ；当a =_____ ,

b =_____ 时， X 与 Y 相互独立。

8、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 、Y 的分布律分别为

则X 与Y 的联合分布律为_______ ___； Z =X +Y 的分布律为_______ ___ 。

9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成， (X, Y ) 在 D 上服从均匀分布，则 (X, Y ) 的概率密度为_______________ 。 10、若 X 与 Y 独立，而22

1122~(,),~(,),X

N Y N μσμσ 则X +Y ~ __ ___ 。

11、X 与Y 相互独立，且 X ~ U (?1, 1), Y ~ e (1)即

e ,0,

()0,0,

y Y y f y y -?>=?≤?,

则X 与Y 的联合概率密度

(,)f x y =__ _

__ ,

1,,0,,

X Y Z X Y >?=?≤? 的分布为_____ _ 。

三、计算题

1、3个不同的球，随机地投入编号为1，2，3，4的四个盒子中，X 表示有球盒子的最小号码，求X 的分布律。

2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品， 1个为一等品， 2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，则试求产品的废品率。

3、设随机变量 X 的概率密度为

|1,()0, .x f x ≤=?

其它

试求 (1) A ;

(2){||1/2}P X < (3)

X 的分布函数 F (x )。

4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从0,4μσ==的正态分布，观测者把偏离值超过10米

时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。 5、设X 的分布列为：

求：（1）X ＋2；（2）－X ＋1；（3）X 的分布列。

6、设随机变量

1X 与2X 独立同分布，且已知1

(),(1,2,3;1,2)

i P X k k i ====，记随机变量112max{,}

Y X X =，212min{,}Y X X =。求（1）12(,)Y Y 的联合分布列；（2）判断1Y 与2Y 是否互相独立；（3）求12

(3)P Y Y +≤，12()P Y Y = 。

7、设 (X, Y ) 的概率密度为

2,01,02,

(,)0,x a x y x y f x y ?+≤≤≤≤=??其它,

试求(1) a ；（2）{1}

P X Y +≥； (3) X 与Y 是否相互独立?

8、已知(,)X Y 的联合概率密度为

24,01,0,

(,)0, x x y x f x y ?≤≤≤≤=??其它,

（1）求关于X 和Y 的边缘概率密度

(),()X Y f x f y ；

（2）判断X 与Y 是否相互独立；（3）求{1/2}P X ≥；{1/2,1/2}

P X Y ≥≥。

9、设随机变量X 的概率密度为

?≤≤=其它

,010,1)(x x f

求函数Y ＝3X +1的概率密度。

第四、五章《随机变量的数字特征与

中心极限定理》练习题

一、单项选择题

1、设 X ~ B (n , p )，且 E ( X ) = 2.4, D ( X ) = 1.44, 则（）（A ）4,0.6n p =

=；（B ）6,0.4n p ==；（C ）8,0.3n p ==；（D ）24,0.1n p ==。

2、设随机变量X 与Y 满足()()()E XY E X E Y =，则（）

（A ）()()()D XY D X D Y =

；（B ）()()()D X Y D X D Y +=+；

（C ）X 与Y 独立；（D ）X 与Y 不独立。 3、随机变量X 服从区间(,)a b 上均匀分布，

()1,()1/3E X D X ==，则区间(,)a b 为（）

（A ）(0,1)；（B ）(1,3)-；（C ）(0,2)；（D ）(0.5,1.5)。 4、设1X 与2X 为两个随机变量，且1212()5,()8,()10D X D X D X X ==+=，则12cov(,)X X =

（）

（A ）3/2；（B ）3/2-；（C ）3；（D ）3-。

5、设随机变量X 与Y 独立同分布，记,U

X Y V X Y

=+=-，则U 与V 必（）

（A ）独立；（B ）不独立；（C ）不相关；（D ）相关系数不为零。

5、设X 的概率密度

(1)()}

8x f x +=-，则2(21)E X -=（）

（A ）1；（B ）6；（C ）4；（D ）9。

二、填空题

1、设随机变量123,,X X X 相互独立，且都服从2

(,)N μσ，

而123

()3Y X X X =++，则~Y _

_ _，12~Y -

__ 。

2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E [(X? 1)(X? 2)] = 1，则λ=_____ 。

3、设X 与Y 相互独立，且

(0,2),(2,4)~~X

U Y U ，则()E XY = _ _,()D X Y -= 。

4、设X 服从均值为1/2的指数分布，则{P X >= ___ __ 。

5、若随机变量X 服从区间(,)44

ππ

上的均匀分布，则(sin )E X = 。

6、一枚硬币连抛1000次，则正面向上的次数大于等于550的概率为。

7、已知()25,()36,(,)0.4D X D Y X Y ρ===，则()D X Y -= 。

8、设X 与Y 的相关系数0.9XY ρ=，若0.4Z X =-，则Y 与Z 的相关系数为。

9、设22()()0,()()2E X E Y E X E Y =

===，0.5XY ρ=，则2[()]E X Y += 。

10、设随机变量(1,2)~X U -，1,0,0,0,1,0,X Y X X >??

==??-

则()D Y = ___。

11、 (X, Y ) 的分布律为

则()E X = ，()E Y = ，()E XY = 。三、计算及证明题

1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，则赔a 元；经统计一年中A 发生的概率为p ，若

公司期望得到收益的为

a ，则要求顾客交多少保险费? 2、设 X 的概率密度为

,02,(),24,0,.a x x f x bx c x <

+≤

=其它

且 E (X )=2, P {1< X < 3}= 3/4, 求（1） a 、b 、c （2）(e )X

E 。

3、设(,)X Y 在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求()D X

Y +。

4、设 (X, Y ) 的概率密度为

,01,01,

(,)0,x y x y f x y +≤≤≤≤?=??

其它, 试求XY ρ。

5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数的数学期望。

《数理统计》练习题

一、单项选择题 1、设总体

2~(,)

X N μσ，μ未知，而2

已知， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，

i X X n ==∑，__

1()1n

i i S X X n ==--∑，则以下样本的函数为统计量的是

（A ）

()n

i i X μσ

=-∑

；（B ）

()n

i i X X σ

=-∑；（C ；（D

2、

2~(0,)

X N σ，1234(,,,)X X X X 为样本，，

服从的分布为（）

（A ）

(0,1)N ；（B ）2(2)χ；（C ）(2)t ；（D ）(2,2)F 。

3、设随机变量~(0,1)

N ，而u α满足{}P X

u αα>=，若{}P X x α<=，则x =（）

（A ）u α；（B ）12u α-；（C ）12u α-；（D ）(1)u α-。

4、设总体

的二阶矩存在，

12(,,,)

n X X X 为一样本，

i X X n ==∑，

220

1()n

i i S X X n ==-∑，则2()E X 的矩估计为（）（A ）

；（B ）2

0S ；（C ）

01n S n -；（D ）21

1n i i X n =∑。

二、填空题

1、设总体2

~(,)X N μσ， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，则1

1~n

i i X n =∑

，

~X ，

()~n

i i X μσ

=-∑

，__

()~n

i i X X σ

=-∑ 。 2、设总体(1,4)X

N ，123(,,)X X X 为样本，X

是样本均值，2

S 为样本方差，则

()E X = ，()D X = ，2()E S = 。

3、设总体

2~(,)

X N μσ， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，X 是样本均值。则2(

)X U n μ

-=服从

的分布为。 4、设(0,4)X

N ，123(,,)X X X 为样本，若要求222123[()](2)aX b X X χ+-，则a =

，b = 。 5、设总体X 在(,1)θθ

+上服从均匀分布，12(,,,)n X X X 为一样本，则θ

的矩估计为__

__。三、计算题 1、设总体(1,4)~X

N ，123,,X X X 是X 的样本，试求222

123123(),()E X X X D X X X 。

2、设总体X 服从方差为4的正态分布，

12(,,,)n X X X 是一样本，求n 使样本均值与总体均值之

差的绝对值不超过0.1的概率不小于0.95。

3、设总体

~(4,4)X N ，1210(,,,)X X X 为X 的简单随机样本，

i X X n ==∑为样本均值，

211()1n

i i S X X n ==--∑为样本方差，（1）求{ 2.908}P S >；

（2）若 2.5S =，求{ 6.569}P X >。 4、设总体 X 的概率密度

,01,(,)0,.

x f x θθθ-??<

,)n x x x 为一样本，试求θ

的

矩估计。

一章练习题参考解答

一、单项选择题

1、（D ）。

2、（A ）。

3、（B ）。

4、（B ）。

5、（D ）。

6、（A ）。

7、（C ）。二、填空题

1、__0.7__

2、 2/3 , 0.8

3、 0.6

4、 1-p

5、 1/6

6、 1/3

7、13/18 ； 1/2 。

8、12

37102140C C C = 。 9、0.94 。

三、计算题

1、解：50149

9559550

100

1739

9603C C C P C +== 。 2、解：令 A ={抽取的电话号码由完全不相同的数字组成}，

B ={抽取的电话号码末位数是8}，则5

2()210

A P A ?=?，4

5210()210P B ?=?。 3、解：

()()()()()()()()5/8

P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=

4、解：令A ={ 2 件中有 1 件为次品}， B ={另一件也为次品}，欲求(|

)P B A ，

而2

210()C P AB C =，()1()P A P A =-26210

1C C =-，故()1

(|)()5

P AB P B A P A =

=。

5、解：设A ={任取一件产品为次品}，B i ={任取一件产品是第i 个车间生产的}， i =1,2,3，则

123A B A B A B A =，且123,,B A B A B A 两两互不相容；

已知123()0.45,()0.35,()0.20P B P B P B ===，

123(|)0.05,(|)0.04,(|)0.02P A B P A B P A B ===；

①112233()()(|)()(|)()(|)0.0405P A P B P A B P B P A B P B P A B =

++=；

②1111

()()(|)5

(|)()()9

P B A P B P A B P B A P A P A =

==。

6、解：设 A i = {第i 次取到一等品}，B i = {取到第i 号箱}， i =1, 2,

11121,A B A B A = 且B 1 A 1, B 2 A 1 两两互不相容，从而

1111212()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+1101182

2502305

=?+?=； 12112

212,A A B A A B A A = 且112212,B A A B A A 两两互不相容，从而

1211212122()()(|)()(|)P A A P B P A A B P B P A A B =+22

101822503011276

221421

A A A A =?+?=

；所求为12211()690

(|)0.4856()1421

P A A P A A P A =

=≈

7、解：以 A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 正常工作之事, 由于各元件独立工作，故 A 、B 、C 相互独立，且()0.90,()0.70,()0.70P A P B P C ===，所求为

()()()()P AB AC P AB P AC P ABC =+-

()()()()()()()0.819P A P B P A P C P A P B P C =+-=。

四、证：()()()

)1()()

P BA P B P AB P B A P A P A -=

-，()(|)()P AB P B A P A =，代入(|)(|)P B A P B A =得()()()P AB P A P B =，故A 与B 相互独立。

随机变量及其分布练习题参考答案

一、单项选择题

1、（C ）

2、（B ）

3、（B ）

4、（A ）

5、（C ）

6、（A ）

7、（C ）

8、（A ）

9、（D ）。二、填空题 1、a

=_1/6_，b =_5/6_，X 的分布为

2、a =_1_，b =_1_，{12}P X -<<=_3/4 ，X 的概率密度 f (x ) =32

,1,

0, 1.

x x x ?>???≤?

3、X ~ B (10, 1/6)，X 的概率分布为101015{}()(),0,1,

,10.66

k k k

P X

k C k -===

4、a

。 5、(2.28)(1.5)0.0555Φ-Φ=。 6、μ=－3，σ

7、 X 的分布律为

Y 的分布律为

{}P X Y ==1

a +

；当 a =_2/9_ , b = 1/9 时， X 与 Y 相互独立。 8、X 与Y 的联合分布律为

Z =X +Y 的分布律为

9、

11,1 e ,0,(,)20,.x y f x y x ?≤≤≤≤?=???其它 10、22

1212(,)

N μμσ

σ++ 。

11、

(,)f x y =1e ,11,0,

20,.

x y -?-<<>????其它 Z 的分布为

三、计算题 1、解: X 的分布律为

2、解: 令疵点数为 X ,

~(),X πλ分布律为{}e ,0,1,

P X k k k λλ-==

已知{0}0.4493,P X

==故e 0.4493,λ-= ln0.44930.8,λ=-≈所求为

0{4}1{}k P X P X k =>=-=∑4

00.810.4493!

k k ==-∑

0.0091≈。 3、解: (1) 由归一性得

()d f x x +∞

-∞

?1x -=?

arcsin A x

A π-==1,=令

所以

1/A π

=。

(2)

{||1/2}P X <1/21/2

()d f x x -=?1/21/2

x -=?

1/3=。

(3)

10,1,1()()d arcsin ,1 1.1, 1.x x

x F x f t x x x x x π-∞

?<-?

?===-≤≤???>?

4、解: 设某人造卫星偏离预定轨道的距离为X ，5次独立观测中“失败”的次数为Y ，则

2~(0,4)X N ，每次观测“失败”的概率为

{}{10}1|/4| 2.5P X P X >=-≤22(2.5)Φ=-=0.0124，

由此得~(5,0.0124)Y

B ，所求概率为

{2}1{0}{1}

P Y P Y P Y ≥=-=-=51

451(0.9876)

(0.0124)(0.9876)0.0015C =--≈

5、解 (1)

(2)

(3)

6、(1)

(2) 两个边缘分布列为

因为

1212

1551

(1)(1)(1,1)99819

P Y P Y P Y Y ===?=≠===，所以1Y 与2Y 不独立。（3）12121212(3)(1,1)(1,2)(2,1)1/3P Y Y P Y Y P Y Y P Y Y +≤===+==+===；

12121212()(1,1)(2,2)(3,3)1/3P Y Y P Y Y P Y Y P Y Y ====+==+===。

7、解: (1) 由归一性得

(,)d d f x y x y +∞+∞

-∞-∞

??12

00d ()d x x ax y y =+??1

0(22)d x ax x =+?2

a =+ 1,=令

得1

。

(2)

{1}P X Y +≥=

(,)d d x y f x y x y +≥??1220

1d ()d 3x

x y x x y -=+

(3)

()(,)d X f x f x y y +∞-∞

222

02()d 2,01,33

0,.x y x x y x x ?+=+≤≤?

=????其它 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞

120

1()d ,02,336

0,.x y

y x x y ?+=+≤≤?=????其它在 f (x , y ) 的非零区域内

(,)()(),X Y f x y f x f y ≠ 故 X 与 Y 不独立。 8、（1）

()(,)d X f x f x y y +∞-∞

04d 4,01,

0, .

x x y x x ?=≤≤?=?

???其它 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞

14d 22,01, 0, .

x x y y ?=-≤≤?

=???其它（2）在 f (x , y ) 的非零区域内

(,)()(),X Y f x y f x f y ≠ 故 X 与 Y 不独立。（3）{1/2}P X ≥=

1/2

(,)d d x f x y x y ≥??211/2

d 4d x x x y =?

=； {1/2,1/2}P X Y ≥≥=

1/21/2

(,)d d x y f x y x y ≥≥

??211/2

4d 1/4x x x y ==?

。

8/证明: Y 的分布函为

()(){31}Y F y P Y y P X y =≤=+≤1{}3y P X -=≤1

30 0, 1,1,14,3 1, 4.y y y dx y y -≤??-?

==<

≥???

()()Y Y f y F y '=1/3,14, 0, .y <

其他随机变量的数字特征与中心极限定理复习自测题解答

一、单项选择题

1、（B ）。

2、（B ）。

3、（C ）。

4、（B ）。

5、（C ）。

6、（D ）。二、填空题 1、2

(,N μσ

， 2(12,43)N μσ- 。 2、__1_ 。 3、 3 , 2/3 。

4、

2112

2e d e x x +∞

--=?。 5、 0 。 6、10.0007-Φ=。 7、 37 。8、 0.9 。

10 11、 21/20 ， 1/2 ，－3/20 。

三、计算及证明题

1、解：设保险费为 x 元，收益Y 元，则,,

,,x A Y x a A ??-?

=发生不发生 Y 的分布律为

故()10

E Y x ap =-=

令

，求得10a x ap =+。

2、解：（1）由归一性得

()d d ()d f x x ax x bx c x +∞

-∞

=++???2621a b c =++=令

；

而()()d E X xf x x +∞

-∞=

d ()d x ax x x bx c x =?++??856633

a b

c =++2=令； 31

{13}()d P X f x x <<=?

12d ()d ax x bx c x =++??3522a b c =

++34

=令；解得11

,,144

b c =

=-= （2）2

2(e

)e ()d e d e (1)d 44X

x x x x x E f x x x x +∞-∞

==?

+-?

??42111

=e e 424

-+。

3、解：(X, Y ) 的概率密度为

2,01,11,

(,)0,x x y f x y ≤≤-≤≤?=??

其它,

()()(,)d d E X Y x y f x y x y

+∞+∞

-∞

-∞+=+?

112010

d ()2d (2)d 3

x x y y x x x -=+=+=

?， 1

112

11[()]d ()2d [(1)1]d 3

E X Y x x y y x x -+==+=+-=

， 221()[()][()]18

D X Y

E X Y E X Y +=+-+=

。

4、解：()(,)d d E X xf x y x y +∞+∞-∞-∞=

??11

00d ()d 7x x x y y =+=??，

1220

()d ()d 512E X x x x y y =+=??，22()()[()]11144D X E X E X =-=；

由对称性得711(),()12144E Y D Y =

=；而11001

()d ()d 3

E XY x xy x y y =+=??，

故1Cov(,)()()()

144X Y E XY E X E Y =-=-

， 111XY ρ==-。 5、解：设X 为三次飞行后的修理次数，设

i X 为第i 次飞行后的修理次数，1,2,3i =，则

312X X X X =++, 则 312()()()()0.40.50.6 1.5E X E X E X E X =++=++=。

数理统计复习自测题参考答案

一、单项选择题

1、（D ）。

2、（C ）。

3、（D ）。

4、（D ）。二、填空题

1； (0,1)N ； (1)t n - ； 2()n χ； 2(1)

n χ-。 2、 1 ； 4/3 ； 4 ； 3、2

(1)χ

4、 1/4 ， 1/8。

5、 __

X -

。三、计算及证明题 1

、

解

：

123

,,X X X 独立且都服从

(1,

N ，得

()

i E X =，222()()[()]5i i i E X D X E X =+=，

1,2,3i =；从而222222

123123()()()()125E X X X E X E X E X ==， 2222123123123()()[()]D X X X E X X X E X X X =-=

2123125[()()())]124E X E X E X -=

2、解：样本均值

4~(,)X N

n μ__

~(0,1)N ，从而

{||0.1}{|

|21

P X P μ-≤=≤=Φ-，欲使

210.95Φ-≥，

则0.975Φ≥

， 1.961536.64n ?≥，得n 至少为1537。

3、解：（1）因为

(1)9~(9)4

n S S χσ-=，所以29{ 2.908}{19.027}4S P S P >=>，而2

0.025(9)19.023χ=，故{ 2.908}0.025P S

>≈；

（2）

~(1)t n -

~(9)t ，所以

{ 6.569} 3.2496}

P X P >=>，而

0.00

(9)3.2498

t =，故{6.

569}0.00

P X >

≈ 4、解：

()()d E X x f x x +∞-∞

d x x x θθ-=

??1

θθ=

+，

解得1E(X )

E(X )

θ=

-，从而得θ

的矩估计1x

=-；

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

自考概率论与数理统计基础知识.

概率论与数理统计练习题及答案

概率论与数理统计习题一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2=? ≤?，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 4．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。 (A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿ (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿ A ． B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P 7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿ A ． 0()1F x ≤≤ B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x == Ｄ．{}()P X x f x == 8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本，下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4 22 1 1 ()i i K X X σ==-∑ Ｄ．4 2 1 1()3i i S X X ==-∑ 9．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ． ()()P A B P A += B ．()()P AB P A =