高考数学公式：平方差公式

高考数学公式：平方差公式

表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式

公式运用

可用于某些分母含有根号的分式：

1/（3-4倍根号2）化简：

1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号

2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23

[解方程]

x^2-y^2=1991

[思路分析]

利用平方差公式求解

[解题过程]

x^2-y^2=1991

(x+y)(x-y)=1991

因为1991可以分成1×1991，11×181

所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995

如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数

所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995

或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，

y=-85

有时应注意加减的过程

常见错误

平方差公式中常见错误有：

①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）

②混淆公式；

③运算结果中符号错误；

④变式应用难以掌握。

三角平方差公式

三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B )

(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B )

这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。

注意事项

1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项

乘法公式—— 平方差公式

乘法分式 ——平方差公式 一、内容及内容解析 《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。 平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。 所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用 二、目标和目标解析： 目标： 1、经历探索平方差公式的全过程 2、能使用公式实行简单的运算 3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。 目标解析： （1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。 （2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。 （3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。

三、教学问题诊断分析 学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。 鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。 四教学支持条件： 利用多媒体展示教学的部分环节 五、教学过程分析 教学流程图： 创设情境、导入新课 自主探索、获取新知 应用新知、形成技能 变式训练、巩固提升 总结归纳、上升理性 即时反馈、查漏补缺 教学情景： （一）创设情景，导入新课 王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿

七年级数学第一章平方差公式与完全平方公式习题

七年级数学第一章平方差公式与完全平方公式习题 A：基础题（3）姓名：_________ 平方差公式 公式： 语言叙述： 两数的，。 公式结构特点： 左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b. (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b. (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b. (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b. （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b. （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b. （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b. 一.直接运用公式 (1).（a+3）(a-3) (2).( 2a+3b)(2a-3b) (3). (1+2c)(1-2c) (4). (-x+2)(-x-2) 二.运用公式使计算简便 (1) 1998×2002 (2) 999×1001 (3) 1.01×0.99 (4) （100-1 3 ）×（99- 2 3 ） 三.两次运用平方差公式 (1) （a+b）(a-b)(a2+b2) (2) (a+2)(a-2)(a2+4) 四.需要先变形再用平方差公式 1.（-2x-y）(2x-y) 2.(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)

五．计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1). 完全平方公式 公式： 语言叙述：两数的 ， . 。 公式结构特点： 左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 公式变形 1.a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2 2.（a-b ）2=(a+b)2 ； (a+b)2=(a-b)2 3.(a+b)2 +（a-b ）2= 4.(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题： ①2)(y x + ②2)21 (b a + ③2)12(--t ④2)3 13(c ab +- 二、利用完全平方公式计算： ①1022 ②1972 ③982 ④2032 三、计算： （1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2 ()x y x y x y --+- 四、计算： （1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）22)1()1(--+xy xy （3）)4)(12(3)32(2 +--+a a a

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 一、请准确填空 1、若a 2+b 2－2a+2b+2=0,则a 2004+b 2005=________. 2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a －3b),则长方形的面积为________. 3、5－(a －b)2的最大值是____，当5－(a －b)2取最大值时，a 与b 的关系是___. 4.要使式子0.36x 2+41 y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 6.29×31×(302+1)=________. 7.已知x 2－5x+1=0,则x 2+21 x =________. 8.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________. 二、相信你的选择 9.若x 2－x －m=(x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于A.－1 B.0 C.1 D.2 10.(x+q)与(x+51)的积不含x 的一次项，猜测q 应是A.5 B.51 C.－51 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷41 xy=xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c;③9x 8y 2÷3x 3y=3x 5y; ④(12m 3+8m 2－4m)÷(－2m)=－6m 2+4m+2，其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.设(x m －1y n+2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为A.1 B.－1 C.3 D.－3 13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 A.a 4－2a 2b 2+b 4 B.a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14.已知(a+b)2=11,ab=2,则(a －b)2的值是A.11 B.3 C.5 D.19 15.若x 2－7xy+M 是一完全平方式，那么M 是 A.27y 2 B.249y 2 C.449 y 2 D.49y 2

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)教学内容

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方 差公式)

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

七年级数学下册平方差公式练习题及答案【打印版】

A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4； ②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（-x+y）·（x+y）=-(x-y)(x+y)=-x2-y2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___________。 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×19 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． B卷：提高题一、七彩题 1．（多题－思路题）计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．

数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思

数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思 我参与了学校组织的“同课异构”活动，授课内容是《乘法公式——平方差公式（一课时）》。 上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入；②形成；③明确表述；④辨析；⑤巩固应用；⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。 我的教学流程是按照“引入——猜想——证明——辨析——应用——归纳——检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的

思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。 当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上；在处理学生练习时，为了抓紧时间完 成进度没有把学生的出错点讲透讲细；游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来；当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。 通过这次“同课异构”活动，我感觉自己在教学环节设计、课件制作和使用、导学案的规范书写等各方面都有了提高，通过各位领导和老师的点评，我也有了更多的收获，相信可以为我今后的教学所用。

初中数学 平方差公式教案

平方差公式 教学目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 教学重点：平方差公式的推导和应用． 教学难点：灵活运用平方差公式解决实际问题． 过程： 一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 知识复习 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m －n）． 再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 得出平方差公式 （a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积

说明平方差公式吗？ 图1 图2 图1中剪去一个边长为b 的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为 （a 2－b 2）． 在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为 （a +b ）（a －b ）． 这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2． 二、知识应用，巩固提高 例1 计算： （1）（3x ＋2）（3 x －2）； （2）（－x+2y ）（－x －2y ） （3）（b +2a ）（2a －b ）； （4）(3+2a ) (－3+2a ) 练习：加深对平方差公式的理解 （课本 70页练习1有同种题型） 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） （1）（x +1）（1+x ）； （2）（a +b ）（b －a ）； （3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ） 2121

平方差公式法分解因式(1)

平方差公式法分解因式（1） 一 选择题 1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．a 2+b 2 B ．-a 2-b 2 C ．a 2-c 2-2ac D ．-4a 2+b 2 2.-4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A ．（0.3x+2）（0.3x-2） B ．（2+0.3x ）（2-0.3x ） C ．（0.03x+2）（0.03x-2） D ．（2+0.03x ）（2-0.03x ） 3.已知多项式x+81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a+3b ）（3b-2a ），则x 的值是（ ） A ．16a 4 B ．-16a 4 C ．4a 2 D ．-4a 2 4.分解因式2x 2-32的结果是（ ） A ．2（x 2-16） B ．2（x+8）（x-8） C ．2（x+4）（x-4） D ．（2x+8（x-8） 5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.22b a +- B.22b a -- C.22b a + D.33b a - 6.(x ＋1)2－y 2分解因式应是（ ） A. (x ＋1－y)(x ＋1＋y) B. (x ＋1＋y)(x －1＋y) C. (x ＋1－y)(x －1－y) D. (x ＋1＋y)(x －1－y) 7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．－a 2＋b 2 C ．－a 2－b 2 D ．－(－a 2)＋b 2 8.下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、x 2＋4y 2 B 、－4y 2＋x 2 C 、－x 2－4y 2 D 、x －4y 2 9.平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ） A ．只能是数 B ．只能是单项式 C ．只能是多项式 D ．以上都可以 10.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13 a ） D ．（a 2－ b ）（b 2+a ） 二 填空题 1.已知一个长方形的面积是a 2-b 2（a>b ），其中长边为a+b ，则短边长是_______ 2.代数式-9m 2+4n 2分解因式的结果是_________ 3.25a 2-__________=（5a+3b ）（5a-3b ） 4.已知a+b=8，且a 2-b 2=48，则式子a-3b 的值是__________ 5.分解因式：①29a -= ；②3x x -= ③22 49a b -= ； ④2422516a y b -+= ；⑤3375a a -= ；⑥39a b ab -= ⑦44x y -= ；⑧2224m m n -= ；⑨42(53)x x -+= ； ⑩225(21)n -+= ；○114481x y -= ；○122199 a -+= 6.若1004,2a b a b +=-=，则代数式22 a b -的值是 7.式子851-能被20～30之间的整数 整除 8.已知x 2－y 2=-1， x+y=0.5，则x －y= 9.两个连续偶数的平方差能可以被偶数 整除 10.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 三 解答题 1.分解因式 (1)24x - (2)29y - (3)21a - (4)224x y - (5)2125b - (6)222 x y z - (7) 2240.019m b - (8)2219 a x - (9)2236m n - (10)2249x y - (11)220.8116a b -

七年级数学下册教案_平方差公式

1．5平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】直接运用平方差公式进行计算

利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)2013×1923 ； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．

初中数学平方差公式(一)

平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1 =20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，19 99，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+ 1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－

平方差公式法因式分解

平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解 第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒 等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式 分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为 指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。 【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分 解因式。

乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

乘法公式(平方差公式,完全平方公式)题

一、选择题 1、计算的结果是（） A．B．1000 C．5000 D．500 2、计算(x4＋y4)(x2＋y2)(x＋y)(y－x)的结果是（） A．x8－y8B．x6－y6 C．y8－x8D．y6－x6 3、下列计算，结果错误的是（） A．x(4x＋1)＋(2x＋y)(y－2x)＝x＋y2 B．(3a＋1)(3a－1)＋9＝0 C．x2－(5x＋3y)(5x－3y)＋6(2x－y)(y＋2x)＝3y2 D．＝－54x3y 4、下列算式中不正确的有（） ①(3x3－5)(3x3＋5)＝9x9－25 ②(a＋b＋c＋d)(a＋b－c－d)＝(a＋b)2－(c＋d)2

③ ④2(2a－b)2·(4a＋2b)2＝(4a－2b)2(4a＋2b)2＝(16a2－4b2)2 A．0个B．1个 C．2个D．3个 5、下列说法中，正确的有（） ①如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，则x2－y2的值是－15； ②解方程(x＋1)(x－1)＝x2＋x的结果是x＝－1； ③代数式的值与n无关. A．0个B．1个 C．2个D．3个 B 卷 二、填空题 6、已知，则＝___________． 7、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k＝___________． 8、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝___________． 9、代数式与代数式的差是___________．

10、已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝___________． 隐藏答案 答案： 6、7 7、±18 8、－4 9、xy 10、－2 提示： 6、∵，∴， ∴，∴． 7、∵x2＋kx＋(±9)2是完全平方式． ∴k＝2×(±9)＝±18． 8、∵a2－b2＝20，∴(a＋b)(a－b)＝20. 又∵a＋b＝－5，∴a－b＝－4． 10、[m2＋2·m·(－3)＋(－3)2]＋(n2＋2·n·5＋52)＝0， (m－3)2＋(n＋5)2＝0． ∴ ∴ ∴m＋n＝－2．

人教初中数学八上《平方差公式》教案

14.2.1平方差公式 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 重点难点 重点：平方差公式的推导及应用． 难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式． 教学设计 一、板书标题，揭示教学目标 教学目标 1、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算； 2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 二、指导学生自学 自学内容与要求 看教材：课本第151页------第153页，把你认为重要部分打上记号，完成第153页练习题。想一想：1、平方差公式实质是什么？ 2、满足什么条件的两个多项才能运用平方差公式？ 3、你对152页思考中的图形理解吗？ 8分钟后，检查自学效果 三、学生自学，教师巡视 学生认真自学，并完成P153练习，老师巡视，并指导学生完成练习。 四、检查自学效果 1、学生回答老师所提出的问题； 2、你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗? 3、学生抢答P153练习结果，并要求学生是否有不同意见。 4、学生板演： 计算： (1)x2+(y-x)(y+x) (2)20082-2009×2007

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y) (4)(a+1 2 b)(a- 1 2 b)-(3a-2b)(3a+2b) 五、归纳，矫正，指导运用 1、概念归纳：平方差公式的字母表示形式 （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式。 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2、应用： 下列计算是否正确?如不正确，应怎样改正? (1)(a-4)(a+4)=a2-4 (2)(2x+5)(2x-5)=2x2-25 (3)(-a-b)(a+b)=a2-b2 (4)(mn-1)(mn+1)=mn2-1 计算： （1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 六、随堂练习 1、用简便方法计算 （1）2001×1999 （2）998×1002 2、计算： （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 七、布置作业 课本第156页 1 设计思想: 《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。”在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习。 在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心。在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境．(2)促进学生发展是活动的目的。数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点．因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。

乘法的平方差公式

《平方差公式》教学设计 重庆市潼南区梓潼初级中学校周祥平 一、内容和内容解析 内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2乘法公式”（第一课时） 内容解析 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析 目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 目标解析： 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.

整式的乘法平方差公式完全平方公式整式的除法B卷

1.6~1.9 整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷) 班级：_______姓名：_______得分：_______发展性评语：___________ 一、请准确填空(每小题3分,共24分) 2220042005=________. +则ab－2a+21.若ab+b+2=0,答案: 0 22－2a+2b提示：∵a+2=0, +b2222=0.∴a=1,b+(b+1)=2a+1)+(b－+2b+1)=(a－1)∴(a1. －2.一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a－3b),则长方形的面积为________. 22 b－9答案: 4a22取最大值时，a与ba－b)ba－)的关的最大值是________，当5－(3.5－(系是________. 答案: 5 a=b 122成为一个完全平方式，则应加上________. +4.要使式子0.36xy4122) y或－(或－0.36x答案: 0.6xy4m+1mm1－=________. aa)5.(4a÷2－62－3a答案: 2a 2+1)=________. ×(306.29×314－: 301 答案提示：把29×31转化为(30－1)(30+1). 122+x=________. x+1=0,7.已知x则－52x112－5x+1=0,∴x－5+=0,即x示：∵x+=5.两边平方得: 答案23 提xx12+=23. x2x22=________. )－－a)a+(2003已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(20058.22 a－a))+(2003答案: 2004 提示：(2005－2+2(2005－a)(2003－a) )－(2003－a)〕a=〔(2005－=4+2×1000=2004. 二、相信你的选择(每小题3分,共24分) 2－x－m=(x－m)(x+1)9.若x且x≠0,则m等于 A.－1 B.0 C.1 D.2 答案:D 110.(x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是51A.5 B. 51 C.－ D.－5 5答案:C 1 / 4 136432228224÷y:①4。③9x。②16axbyc÷8a11.b÷=2a下列四个算式bxy=xyc422353 +4m+2+8m(－4m)÷－2m)=－63xmy=3xy。④(12m，其中正确的有A.0个B.1个 C.2个 D.3个 :B 答案nm253m1n+25－－)=xymy)·(x的值为,y则(12.设x C.3 B.－1 A.1 3 － D.:A 答案22222 )］13.计算［(a+－bb)(a等于24 42bb2aA.a+－6 644 +bB.ab+2a8 6446 －aD.ba+C.ab－2844 +bb2a:D 答案22 =11,ab=2,则(a－的值是b14.已知(a+b)) A.11 B.3 D.19 C.5 :B

平方差公式因式分解练习题)

因式分解练习题 （平方差公式） 姓名班级 1. x2－16 （2）－x2+y2 > （3）64－a2 （4）4x2－9y2 （5）36－25x2 } （6）16a2－9b2 （7）4 9m2－ " （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 [ （11）4a2－16 （12）a5－a3 （13）x4－y4 ） （14）32a3－50ab2 (15)36 492- c （ 16） 256 9 4 2n m - (17)9 25 .02 2+ -m a \ (18) n x2 4-

(19)1)(2 -+b a 22 94)20(y x - — 2 2 1681.0)21(b a - 22 01.09 4)22(-m (4) 2 3)1(28+-a a a … (5) ()2 2 4a c b +-- （6）44161b a - （ （7）()()2 2 23n m n m --+ (8)()2 24y x z +- (9) ()()2 2 254y x y x +-- ~ (10)()()2 2c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 36－25x 2 16a 2－9b 2 （ 29a - 3x x - 2249a b - 2422516a y b -+ — 3375a a -

39a b ab - 44x y - （1） 36－x 2 ： （2） a 2－91 b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 ] （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） (x+y)2－(x －y)2 ) （9）22 ()()a b c a b c ++-+- （10）2 2(2)16(1)a a -++- （1）a 2-144b 2 （2）πR 2-πr 2 （3）-x 4+x 2y 2 。 （4） 16x 2-25y 2 （5） (a+m)2-(a+n)2 （6） 75a 3b 5-25a 2b 4 （7）3（a+b ）2-27c 2

因式分解的平方差公式

14.3.2公式法-运用平方差公式分解因式 教学目标 知识与技能 1. 能进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 过程与方法 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观 在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验整体思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 教学重点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。 教学难点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 教学过程 一、复习引入 A、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 设计意图：通过判断这几个变形是不是因式分解，进一步了解因式分解的定义，也为这节课要学习的a2 -- b2的多项式应该分解为整式的积的形式做一铺垫 B、把下列各式进行因式分解: 1）a2 --ab 2）a2 -- b2 设计意图：有2个，1、复习提公因式分解因式2、由多线式a2 –ab变为 a2 -- b2没有公因式时又怎么分解呢，即用旧知识解决不了的问题引出学习新知识的必要性 C、 a2 -- b2 教师引导由整式乘法与因式分解的关系，你能想到a2 -- b2应分解为什么吗？说出你是怎么想的 这一问题的提出给了学生思考的方向，同时也是用旧知解决新知 二、合作交流，探索新知 学生相互讨论下列问题： （1）用语言怎样叙述公式？ （2）当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？ （4）、根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？ 【设计意图】引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。） 三指导运用，巩固知识。 1、填空： (1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2;

七年级数学下册 1.27平方差公式综合拓展练习

七年级数学下册 1.27平方差公式综合拓展练习 1．填空题： （1）161(____)21214 -=??? ??+??? ??- x x x ； （2）=-?? ? ? ? + )14(212m m ________； （3）=??? ??+??? ??- n n d abc d abc 32513251________； （4）=?? ? ??+-??? ? ?- -m n m m n m z y x z y x 213213________； （5）=?? ? ??--??? ??+-n m n m 2121________； （6）=-+))((m n n m m n n m b a b a b a b a ________； （7）=-++)8)(8(12 2 a a ________； （8）[ ][ ] =-+3 2232 332)()()()(y x y x ________； （9）=??? ??-??? ??+2 2321321xy xy 2 (____)； （10）=??? ? ? +??? ??2 2121-x x ________； （11）=?? ? ? ?+-+212)12)(24(2 x x x ________； （12）4 14)(____)14(2 -=+x x ； （13）=++?? ? ??- )14)(12(212 x x x ________； （14）1(____)1031012 -=?． 2．选择题： （1）若16121214-=?? ? ??+-??? ??+x x x A ，则代数式A ＝（ ）．

A ．??? ? ?-412 x B ．4 12 +-x C ．412 - -x D ．4 12 +x （2）若81))( 3)(9(42 -=++m m m ，则括号里应填入的代数式是（ ）． A ．3-m B ．m -3 C ．m +3 D ．9-m （3）计算)())()((4 4 2 2 y x y x y x y x +-++-等于（ ）． A ．4 2x B ．4 2y C ．m +3 D ．9-m （4）=?? ? ??+??? ??--??? ??+??? ??-x y y x x y y x 4131314121313121 （ ）． A ． 2292163y x - B ．2163x C ．223241y x -D ．2 4 1x （5）下列各式计算中，结果错误的是（ ）． A ．03131 9)13)(13(=?? ? ??+??? ??---+m m m m B ．2 2 )2)(2()14(b x x b b x x x +=-+++ C ．0)9)(9(313331313=-+-?? ? ??-??? ??+ ?b a a b ab ab a b b a D ．2 2 3)2)(2(6)35)(35(y x y y x y x y x x =+-+-+- （6）442211)(1a a a a a a -=?? ? ??+??? ??--，括号中应填（ ）． A ．a a 1- B ．a a 1+- C ．a a 1-- D ．a a 1 + （7）下列等式中不能成立的是（ ）． A ．n n n n n n n n y x y x y x y x 4422))()((-=+-+ B ．??? ? ? -=??? ??-??? ??+ 229192616313y x y x y x C ．2)(9 1 3 1 3 1b a b a b a --= ?? ? ??+-??? ??-+