高中数学新课程创新教学设计案例——11 指 数 函 数

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11 指数函数

教材分析

指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关．有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础．

教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．

教学目标

1. 了解指数函数模型的实际背景．

2. 理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．

3. 通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．

4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．

任务分析

学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程．

教学设计

一、问题情境

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．

先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个．

当x＝0时，y＝1＝20；

当x＝1时，y＝20×2＝21；

当x＝2时，y＝21×2＝22；

当x＝3时，y＝22×2＝23；

……

归纳：分裂x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N．

二、建立模型

1. 学生讨论

上面得到的函数y＝2x有何特点？

（底数为常数，自变量在指数的位置上）

2. 教师明晰

一般地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数．

思考：为什么要限制a＞0且a≠1？

（理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y ＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．）

3. 练习

在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．

（1）y＝2x．（2）y＝10x．（3）y＝（）x．

解：列表：

描点，画图：

4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝a x的性质

（1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）．

（2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）．

（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．5. 提出问题，组织学生讨论

（1）函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明．

（2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子．

三、解释应用

［例题］

1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5与1.73．（2）0.8-0.1与0.8-0.2．

解：（1）考查指数函数y＝1.7x．

∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函数．

又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．

（2）类似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2．

思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？

2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．（结果保留1个有效数字）

解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则

经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；

经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842；

……

经过x年，剩留量y＝0.84x．

列表：

表11-3

画出指数函数y＝0.84x的图像：

由图上看出y＝0.5时，x≈4．

答：约经过4年，剩留量是原来的一半．

说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．

3. 说明下列函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图．

（1）y＝2x＋1．（2）y＝2x－2．

解：（1）比较函数y＝2x＋1与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等．

∴函数y＝2x＋1中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等．

又y＝20+1与y＝x1相等；

y＝23+1与y＝x4相等；

……

∴将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y＝2x＋1的图像．（2）将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到函数y＝2x-2的图像．

［练习］

1. 比较大小：

（1）1.01-2与1.01-3.5．（2）0.75-0.1与0.750.1．

2. 画出下列函数的图像．

（1）y＝3x．（2）y＝（）x．

3. 求下列函数的定义域．

（１）y＝．（2）y＝．

4. 已知函数f（x）＝a x在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式．如果要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？

四、拓展延伸

1. 在例题2中，函数y＝0.84x与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x＝0.5的解吗？思考：你能判断出方程2x＋x2－2＝0有几个实数根吗？

2. 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：

表11-4

（1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝，y＝a·bx中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？若能，求出这个函数解析式．

（2）如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？

解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可考虑用函数y＝ab x，反映上述数据之间的对应关系．

把x＝70，y＝7.90和x＝160，y＝47.25两组数据代入y＝a·b x，得

利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．

所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02x．

将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．

（2）把x＝175代入y＝2×1.02x，得

y＝2×1.02175．

利用计算器计算，得y＝63.98．

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，

因此，这名男生体型偏胖．

点评

这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质．这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性和代表性．练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提高学生的解题技能．“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，判断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习．