[高等代数(下)课外习题 第七章 线性变换]资料

[高等代数(下)课外习题第七章线性

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第七章 线性变换

一、判断题

1、 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).

2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,

,m ααα线性相关, 那么

12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ).

3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ).

8、 σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有

1()(0).V V σσ-=⊕ （ ）

10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( ) 11、.最小多项式是特征多项式的因式. （ ） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式 （ ） 13、设n

n P

A ?∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵n

n P

T ?∈，使

AT T 1-具有对角形。（ ）

14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化?特征子空间的维数之和等于n 。（ ）

15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1

。（F ）

二、填空题

1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是11121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ??

?= ? ???

那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.

2、 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基

123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________. 3、0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.

4、 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ,

则σ可对角化的充要条件是_____________.

5、 矩阵327024005??

?

? ???

的特征根是______________.

6、复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .

7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构. 8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的

全体特征值为________ . 9、设????

??=2231A ，则向量?

??

?

??11是A 的属于特征值 的特征向量． 10、若???

?

?

??--=100001011A 与????? ??--1010101k k B 相似，则k = ．

11、n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ．

12、设A 是有限维空间V 的线性变换，f (λ)是A 的特征多项式，那么f (A)=________

13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2-，3，则1

-A 的

特征值为 。

14、21,A A 的最小多项式分别是)(),(21x g x g ，则矩阵????

??210

0A A 的最小多项式

是 。

15、设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为

4

3211

,

1

,1,1λλλλ，则行列式

=--E B 1 。

三、单选题：

1、“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。

.A 充分 .B 必要 .C 充分必要 D. 以上都不对

2、若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。

.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的 3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）

①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。

4、设三阶方阵A 有特征值为2,1,1321=-==λλλ，其对应的特征向量分别是

321,,x x x ，设(),,,123x x x P =，则AP P 1-=( )

A. ??????????-200010001

B. ??????????-200010001

C. ??????????-100010002

D.??

??

?

?????-100010002 5、设A 为可逆方阵，则A 的特征值（ ）

A ．全部为零 B.不全部为零 C.全部非零 D.全为正数