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概率论与数理统计习题含解答,答案

概率论与数理统计复习题（1）

一．填空. 1.3.0)(,4.0)

(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概

率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2

σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=

μ ；

=>}0{X P 。

4．

1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则

=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X

，则==}{n X P

6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．

)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），

=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<

}82{X P 。

9．设1?θ和2

?θ均是未知参数θ的无偏估计量，且)?()?(2

1θθE E >，则其中的统计量更有效。 10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

四． X 的概率密度为?

??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)；

五．（X,Y ）的概率密度

?<<<<+=otherwise

,02

0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求（1）常数k ；（2）X 与Y 是否

独立；（3）XY ρ；

六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表

中空白处.

七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.

四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有

①

?????==?c

c x f x f x 00

1)(32

)( 即

?????==c

c kxdx dx kx 00

}?{

==c k

②由①知x 的密度函数为{

1020)(<<=

x x x f 其他

当x 时0≤ ()0=x F ；当10<

2x tdt dt t f x F x

∞

当1≥x 时

()()?

∞

-1

12xdx dt t f x F x

五、由（x 、y ）联合密度的性质有： ①．

()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x 即()36

1124

?=+??k dxdy y kx ②．由①可求出（x ，y ）的联合密度：()()其他2

0,,4202361,<<<

()()()y f x f y x f Y X ?=∴, 故x, y 相互独立。

③．由②知()y x ,相互独立。0=∴xy ρ

六、略

七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N （10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N （60，59.64）

设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A ：10000*12-1000x ≥6000060≤?x

概率论与数理统计复习题（2）

一.选择题（18分，每题3分）

1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有

)(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ?； )(D B A ?.

2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进

行4次，记X 为红球出现的次数，则

X 的数学期望=)(X E

)(A 1016； )(B 1024； )(C 10

； )(D 10642?.

3．设随机变量

X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数,

则对任意实数a ,有 4．设随机变量

X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从

均匀分布的随机变量是 5．已知随机变量

X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~22μμN Y N X , 设

)4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则

)(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p < )(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p =

6．设2

,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为二. 填空题（21分，每题3分） 1．已知随机事件

A ，

B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则

=?)(B A P ．

2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K

3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为)(X E = ,)(X D

4. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率

=>>),(b Y a X P .

5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3?X k X kX -++=μ

是μ的无偏

估计量则常数=k

6．设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，

当c ＝时， cY 服从2

χ分布，)(2

χE ＝ .

7．设离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为

若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X . 三. 计算题（54分，每题9分）

1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n 件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：（1）取出的是件正品的概率；（2）这一箱里没有次品的概率

2．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从

均匀分布。求：边缘密度函数(),()X Y f x f y . 3．已知随机变量）

；，；，091.045.0(~),(N Y X ，Y X Z -=2，

试求：方差)(Z D ，协方差)(Z X COV ，，相关系数Z X ρ

4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根

据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（9680.0)856.1(=Φ） 5．设12,,

,n X X X 是取自总体X 的一个样本，总体

~X ????

??∈=-)

1,0(,

0)1,0(,),(1

x x x x f θθθ ，)0(>θ。

试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ

；(2) 未知参数θ的极大似然估计量L θ

；

(3) )(2

X E 的极大似然估计量.

6．某种产品的一项质量指标)(~2

σμ，

N X ，在5次独立的测试中，测得数据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（0.05α=）

（1）可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？

（2）若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显着偏大？

附分布数值表

概率论与数理统计复习题（2）答案

一. 选择题（18分，每题3分）

c b a c

d b 二. 填空题（21分，每题3分）

1． 62.0； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+；

5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分）

1．解：令 A={取出为正品}， t B ={箱子中有t 个正品}，n t ,,2,1,0 = . 由已知条件，11)(+=

n B P t ，n

B A P t =)(,n t ,,2,1,0 =，（1）由全概率公式，∑∑===+==n t t t n

t t n n B A P B P A P 0

021

111)()()(, （2）由Bayes 公式，)

1(21

)

()

()()(+=

n A P B A P B P A B P n n n

2. 解：

?<<=其他

102)(x x

x f X

3．解：9.0)(=Z E 25)(=Z D

4．解：设i X 为第I 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑==

100

i i

5．解：（1）矩估计量 2

1???

? ?

?-=X

（2）极大似然估计量 2

ln ??

? ??=

∑-n

i i L

X n θ

（3） )(2

X E 的极大似然估计量 ∑=+=

+=n

i i L L

X n n X E

2)ln (22

)(?θθ

7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠.

当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--=

n t n

S X T

0.0252

(1)(4) 2.7764t n t α-== ，拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-?+∞

221.246,0.0288x s ==， [ 22

1.23,0.0224x s == ]

0 1.242T W =?，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ]

（2）假设 2

01:0.015;:0.015H H σσ=>.

当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(220

--=

n S n χσχ

220.05(1)(4)9.488n αχχ-==，拒绝域 [9.488,)W =+∞.

2014.86W χ=∈，拒绝0H .

概率论与数理统计复习题（3）

一．判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( )

4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(

=>k X P ，则X 的数学期望

)(X E 未必存在( )

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第

二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为)10(<

得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . (a) r n r

r n p p C ----)1(1

1； (b) r n r

r n

p p C --)1(； (c) 11

11)1(+-----r n r r n p p

C ； (d) r n r p p --)1(.

2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<

3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函

数 .

(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.

4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则

方差=-)23(Y X D .

(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6

5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2

N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .

(ａ)

)(~/21

n t n

X -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X n

i i ∑=-； (ｃ)

)1,0(~/21

N n

X -； (ｄ) )(~)1(41212n X n

i i χ∑=-.

二. 填空题（28分，每题4分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取

一个, 则第二次才取到正品的概率为

2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X

e Y 3=的概率密度函数

为=)(y f Y

3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则

)51(<<-X P ＝ .

4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为则条件密度函数为,当时 ,=)(x y f X Y

5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y

=服从的分布为 ( 需写出自由度 )

6. 设某种保险丝熔化时间),(~2

σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得

样本均值和方差分别为36.0,152

==S X ，则μ的置信度为95%的单侧

置信区间上限为 7. 设X 的分布律为

X 1 2 3

已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为

三. 计算题（40分，每题8分）

1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率

2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数

分布，试求Y X Z

23+=的密度函数)(z f Z .

3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的

销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的

概率.

4. 总体),(~2

σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.

求常数 k , 使∑

=-n

i i X X k

为? 的无偏估计量.

5．（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2

σμN X

（单位：kg ）. 已知8=σ

kg ，现从该厂生产的一大批特种金属丝中

随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？（%5=α）

（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2

μN . 某日抽取

5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.

四. 证明题（7分）

设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.

附表：标准正态分布数值表 2

χ分布数值表 t 分布数值表

概率论与数理统计复习题（3）参考答案

一. 判断题（10分，每题2分）是非非非是 . 二. 选择题（15分，每题3分）（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）

1.1/22 ；

2. ?

?≤>=0

00)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ；

4. 当10<<

x 时??

?<<-=他

其0

)

2/(1)(x y x x x y f X Y ；

5. ),1(m F

6. 上限为 15.263 .

7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）

1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)

9428.005.004.098.096.0)()()()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分)

.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. ??

?>=-其他0

)(x e x f x

X λλ ???>=-其他

0)(y e y f y Y μμ (1分)

0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ?

∞+-∞

dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(2

1 (2分)

)(232/3/3/0

]2/)[(2

1z z z x z x e e dx e μλμλλ

μλμ

λμ-------=

(2分)

所以

???

??≤>--=--0,

00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλ

μλμ

[ ???

??≤>--=--0

00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλ

μλμ

] (2分)

3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)

则一年的销售量为 ∑==

i i

Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 1

5225218521852

5252

2)7050(-???

? ??Φ+???? ??Φ≈????

??<

-=<

6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)

4. 注意到

5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)

检验用的统计量 )1,0(~/0

N n

X U σμ-=

，

拒绝域为

96.1)1(025.02

==-≥z n z U α. (2分)

96.106.21065.010

/85702.5750>==-=

U ，落在拒绝域内，

故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010

/92.5695710<==-=

U , 落在拒绝域外，

故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)

(2) 要检验的假设为 22122

0048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)

[22122

079.0:,79.0:≠=σσ

H H ]

检验用的统计量 )1(~)(22

--=

∑=n X X

i i

χσχ

，

拒绝域为 488.9)4()1(205.022

==->χχχ

αn 或

()n i i X X n X X n

X X ---+--=

- )1(1

21)

2(1)(,0)(2

分σ

n X X D X X E i i -=-=-)

1(1,0~2分???

??--σn n N X X i dz

e n n z X X E n

n z i 2

12121|||)(|σσ

π--

∞+∞

-?-=-dz e n

n z

n z 22

120

121

2σσ

π--

∞

-=)

3(122分σ

πn

n -=?

? ??-=??? ??-∑∑==n

i i n

i i X X E k X X k E 1

1||||σπ

n kn 122-=σ

令=

711.0)4()1(2

95.0212

==-<-χχχαn (2分)

41.1=x

[49.1=x ]

488.9739.150023.0/0362.02

0>==χ, 落在拒绝域内，

[711.0086.06241.0/0538.02

0<==χ,落在拒绝域内，]

故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知

X 0 1 Y X + 0 1 2

P p q

P 2q pq 2 2p (2分)

)0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)0()1(2)0,1(2

==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X

+与Z 相互独立. (5分)

概率论与数理统计复习题（4）及参考答案

1：

2：

3：

4：

5：

6：

7：

8：

9：

10：

答：增大样本容量

二：

11：

12：

13：

14：

15：

16：

17：

18:

19:

20：

21：证明题：

复习题（5）答案与评分标准

一．填空题（82142'=?'）

1．已知41)

A P ,31)(=A

B P ,2

1)(=B A P ,则=)(B A P 31。

2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为

3482325=?C C C ；

3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数

X 的概率分布为

,2,1,5.05.05.0)(1==?==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。

4．设随机变量X 的密度函数为?????<≥=1,01

,)(2x

x x c

x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数

=)(x F ??

???>-≤1,111

,0x x x 。

5．设随机变量X 的密度函数为???<<=其他 ,010,2)(x x x p X ，则随机变量2

X Y =的密度函数

=)(y p Y ???<<

其它

,010,1y 。

6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P

),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。

7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且

X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数

)(z p Z +∞<<-∞--

z e

z ,62124

)5(2

。

8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。

9．设),(Y X 的联合概率分布为

则X 的概率分布为相关系数=

XY ρ3

。 10．设随机变量n X X X ,,21 独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==n

i i n X n Y 1

1，则用切比雪夫不等式

估计≥<-)2(μn

Y P n

21-

。二．简答题（6'）

叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？

数学期望：

i i

p x ∑∞=1

绝对收敛，则i

i i

p x EX ∑∞

==1

。（2分）

EX 描述X 取值的平均。（1分）

方差： 2

)(EX X E -存在，则2

)(EX X E DX -=（2分）

DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分）

三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125'=?'）

1．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -。

不一定正确。（2分）如

X 为连续型随机变量，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -；如X 为离散型随机变量，且0)(≠=a X P ，

则≠≤≤)(b X a P )()(a F b F -（或举反例）。（3分） 2．若随机变量X 和Y 不相关，则DX Y X D ≥-)(。正确。（2分）

四．计算题（65018810101'='+'+'+'+'）

1．（01334'='+'+'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为3.0。如果A 不出现，则B 也

不出现；如果

A 出现一次，则

B 出现的概率为6.0；如果A 出现不少于两次，则B 出现的概率为1。试求：

（1）4次独立试验中

A 出现 i 次的概率)40(≤≤i ；

（2）B 出现的概率；（3）在B 出现的情况下，A 出现一次的概率。

记X 为4次独立试验中

A 出现的次数，

（1）;4,3,2,1,0,7

.03.0)(44===-i C i X P i

（4分）

（2）∑====

)|()()(i i X B P i X P B P （1分）

∑=-?+

???=4

7.03.06.07.03.0i i i i C

C （1分）

59526.0=（1分）

（3）4149.059526

.06.07.03.0)()1|()1()|1(31

=???====

=C B P X B P X P B X P （3分） 2．（0155'='+'）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X （单位：米）的密度函数为

???≤>=-

0,00,12501)(25002

x x xe

x p x ，如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于95.0？

（1）150

2500

11250

)50(2--

-==

≤=?

e dx xe X P p x （5分）

（2）设至少发射n 枚炮弹，则 95.01≥--n

，（3分） 3≥n （2分）

3．（8136'=?'）设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为

???<<<<=其他,

0,10,),(2x

y x x C y x p ，

试求：（1）常数C ；

（2）边际密度函数)(),(y p x p Y X ，并讨论X 和Y 的独立性；（3）)2(X Y P < 。

（1）??=x

x dy dx C 211

（3分）

6=C （3分）

（2）???<<-=其它 ,010),(6)(2x x x x p X （2分）?????<<-=其它

,01

0),(6)(y y y y p Y （2分）

不独立（2分）

（3）??=<221

46)2(x x dy dx X Y

P 分）

（ 8

（2分） 4．（8'）如果你提前s 分钟赴约，花费为cs （单位：元）；如果迟到s 分钟，花费为ks （单位：元）。假

设从现在的位置到赴约地点所用的时间]30,10[~U X

（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离

开的时间。

设赴约前t 分钟离开，则花费

?>-≤-==t X t X k t

X X t c X f C ),(),()(，(3分) )45050()3010()22(201)(201)(23010k c t k c t k

c dx t x k dx x t c t t

+++-+=-+-=??（3分）

EC 最小，k

c k

c t ++=

3010*（2分） 5．（01'）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为1:3。现种植杂交种400株，试求结黄果植株介于83到117之间的概率。记X 为结黄果植株数，则)4

,400(~B X

（3分），

???

?????-Φ-???? ?????-Φ≈≤≤75.025.040025.04008375.025.040025.0400117)11787(X P （4分）

()95.0196.12=-Φ=（3分）参考数据：

复习题（6）

一、单项选择（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将答案其代码填入题干后的括号内，每

题2分，共20分）

1.设随机事件A,B 互斥，则)(B A P ?=（） A )()(1B P A P -- B )(1A P - C )()(B P A P + D )()(B P A P

2.设P(A) =0.6，P(B) =0.3，P(AB) =0.1，则A)P(B - =（） A 0.3 B 0.2 C 0.5 D 0.4

3.甲、乙、丙三人各自独立地向某一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6和0.7，则至多有两人击中目标的概率为（）

A 0.09

B 0.21

C 0.44

D 0.79

4.已知随机变量),(~p n B X ，且已知)(X E =6，)(X D =2则)1(≥X P =（）

A 9321??? ??-

B 932??? ??

C 9

311??

? ??- D

31??

? ??

X~B(n,p)二项分布, )(X E =np , )(X D =npq

n k k n p p C --)1(

5.已知随机变量X 和Y 相互独立,且都服从参数为λ的泊松分布，则X+Y 与2X 的关系是 A 数学期望相等 B 相同的分布 C 方差相等 D 以上均不成立

6.设随机变量X 服从N(μ,1),φ(x )为标准正态分布的分布函数, P(X ≤μ)= A φ(μ) B 0.5 C φ(1) D 1-φ(μ)

7.设随机变量X 的分布列为:

设F(X)为其分布函数,则F(2)= A 0.2 B 0.4 C 0.8 D1

F(x)=P{X ≤x}称为X 的分布函数

所以F （2）=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0.1+0.3+0.4=0.8

8.设21X X Λ为取自总体的X 的样本, 2

)(,)(σμ==X D X E ,则以下结论正确的一个是( )

∑=n

i i

是μ的无偏估计量 B 2

X 是2

σ的无偏估计 C

2i X 是2σ 的无偏估计 D X 是μ的无偏估计

9.设总体

X ~ ()2,σμN ，2σ未知，如需通过样本 1X ，Λ, n X 检验假设

100

:μμ=H

，需用的检验统

计量是（）

n S X T μ-=

B S X T μ-=

C n X T σμ-=

D 1

--=n X T σμ

１０.一元线性回归模型i i i bx a Y ε++=，(

,0~σ

εN i 且相互独立，那么i Y ～（）

A (

,0σ

N B ()1,0N C ()1,b a N + D ()2,σi

b a N +

二、填空题（每空2分，共20分）

1．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中随机各地抽取1粒，则这两粒种子都能发芽的概率是＿0.56＿，这两粒种子仲恰好有１粒发芽的概率是＿0.38＿。２.设离散型随即变量Ｘ的分布律为ｐ（Ｘ＝ｋ）＝

()

1+k k c

，ｋ＝１，２，……５，则ｃ＝＿ 6/5 ＿．Ｐ（Ｘ

＜３）＝＿4/5＿。)2()1(=+=X P X P

３.若随机变量()2

,~σμN

X ，则随机变量σ

μ-=X Y 服从N(0, 1) 分布（标准正态分布）,而?

??-=σ

μX Z 服从2

(1)X 分布。４.设1X ……i X 为取自()2

,σμN

总体的样本，X 为样本均值，已知()2

μ-X k 服从2

分布，则ｋ的值应是

＿＿＿，其自由度应该是＿＿＿。

５.假设检验中，犯第一类错误的概率为＿＿＿＿＿＿犯第二类错误的概率为＿＿＿＿＿。三.判断题（认为对的，再题后的括号内打“√”，认为错的打“×”。每小题2分，共十分） 1.若事件A,B 的概率满足()()B P A P ≥.则必有B A ? ( ) 2.若事件A 、B 互斥，则P(AB)=0.反之亦然。（） 3.若随机变量()1,0~N X ,则随机变量()σμμσ,~N X Y +=.( ) 4、随机变量X,Y 相互独立的充要条件是它们的相关系数

xy σ=0 ( )

5、或2

σ为未知总体X 的方差，

S =2

1()n i

i X X n =-∑ 为样本方差，则有2lim n n ES →∞=2σ ( ) 四、计算题（每小题8分，共40分）

1、设一个袋子里装了1－５号的五只球，今从中任意地取出３只球，以Ｘ表示取出的三只球中的最小号码，

求：（１）Ｘ的分布律；（２）E(X)和D(X).

2、已知连续性随机变量Ｘ的密度函数

为269

())6x x f x -+-=

，如果Ｙ的密度函数为269

()exp()6

x x g x C x -+-=?? , ()

x -∞

<<∞ ，试求常Ｃ和Ｅ(Ｙ)

3、设总体X 的概率密度函数为：1,,01

()0,i x x p x θθθ-??<<=??

其他 (θ>0,未知) 试求未知参数θ 的矩阵计

量。

解：总体的数学期望为

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料一填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生；（2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?；（3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生；（5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =?=?,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,；（4）幂等律 A AA A A A ==?, ；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质（1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ；（3）)(1)(A P A P -=；（4）)()()(AB P B P A B P -=-。特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-；（5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷概率论与数理统计一．选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填空题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计课后习题答案

习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。解（1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ；（3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；（4）ABC ABC ABC U U ；（5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解（1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A （考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计课后习题答案

第一章随机事件及概率第一节样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8

{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。