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高二数学模拟考试卷(含答案)

高二数学模拟考试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数2

+()i 是虚数单位的模等于（）

A B ．

C D

【答案】C 【解析】

()()()

23231211113335555i i i i i i --

=-=-+=+++-Q ，

2135

i ∴-

+. 故选C.

2．极坐标方程2sin ρθ=表示的圆的半径是（） A ．

B ．

C ．2

D ．1

【答案】D 【解析】

极坐标方程2sin ρθ=，即2

2sin ρρθ=，转化为普通方程，得：2

220x y y +-=，

∴极坐标方程2sin ρθ=表示的圆的半径是：2

r =

故选D.

3．已知()1sin cos f x x x =-，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21'f x f x =，

()()32'f x f x =，…，()()1'n n f x f x +=，*n N ∈，则()2018f x =（）

A ．sin cos x x -

B ．cos sin x x -

C ．sin cos x x +

D ．sin cos x x --

【答案】C 【解析】

()1sin cos f x x x =-Q ，

()()21'cos sin f x f x x x ∴==+， ()()32'sin cos f x f x x x ==-+， ()()43'cos sin f x f x x x ==--， ()()54'sin cos f x f x x x ==-，

……，

()()4'n n f x f x +=，

即函数()n f x 是周期为4的周期函数，

则()()()2018504422cos sin f x f x f x x x ?+===+. 故选C.

4．曲线sin x

y x e =+在点()0,1处的切线方程是（）

A ．330x y -+=

B ．220x y -+=

C ．210x y -+=

D ．310x y -+=

【答案】C 【解析】

sin x y x e =+Q ，

'cos x y x e ∴=+，

∴在0x =处的切线斜率()'0112k f ==+=， ∴sin x y x e =+在()0,1处的切线方程为：12y x -=， ∴210x y -+=.

故选C.

5．函数()f x 的定义域为R ，导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()f x （）

A ．无极大值点，有四个极小值点

B ．有三个极大值点，两个极小值点

C ．有两个极大值点，两个极小值点

D ．有四个极大值点，无极小值点【答案】C 【解析】

因为导函数的图象如图：

可知导函数图象中有4个函数值为0，即()()()()'0'0'0'0f a f b f c f d ====，，，.

(),x a ∈-∞，函数是增函数；(),x a b ∈，函数是减函数；(),x b c ∈，函数是增函数；(),x c d ∈，函数是减函数；(),x d ∈+∞，函数是增函数；

可知极大值点为：a c ，；极小值点为：b d ，. 故选C.

6．已知()(

)1log 2n n a n n N

+=+∈，观察下列算式：

1223lg 3lg 4

log 3log 42lg 2lg 3

a a ?=?=

?=， 123456237lg 3lg 4lg8

log 3log 4log 83lg 2lg 3lg 7

a a a a a a ?????=????=

????=???，，若()

1232018m a a a a m N *?????=∈，则m 的值为（） A ．201822- B ．20182

C ．201622-

D ．20162

【答案】A 【解析】

根据题意，()()

()

1lg 2log 2lg +1n n n a n n ++=+=

，

1223lg 3lg 4lg 4

log 3log 42lg 2lg 3lg 2

a a ?=?=

?==，若()

1232018m a a a a m N *?????=∈，则有

()()()()123231lg 2lg 2lg3lg 4log 3log 4log 22018lg 2lg3lg 1lg 2

m m m m a a a a m m +++?????=????+=

????==+则22018m +=，即2018

22m =-；

故选A.

7．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

【答案】B 【解析】

在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；

由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选B.

8．在R 上可导的函数()f x 的图形如图所示，则关于x 的不等式()'0x f x ?<的解集为（）

A ．()(),10,1-∞-?

B ．()()1,01,-?+∞

C ．()()2,11,2--?

D ．()(),22,-∞-?+∞

【答案】A 【解析】

若0x =时，不等式()'0x f x ?<不成立．

若0x >，则不等式()'0x f x ?<等价为()'0f x <，此时函数单调递减，由图象可知，此时01x <<．

若0x <，则不等式()'0x f x ?<等价为()'0f x >，此时函数单调递增，由图象可知，此时1x <-．

故不等式()'0x f x ?<的解集为()(),10,1-∞-?．故选A.

9．已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点()00,x y 处的切线方程为

()()()2000021y y x x x x -=---，那么函数()f x 的单调递减区间是（）

A ．[)1,-+∞

B ．(],2-∞

C ．(),1-∞-和()1,2

D ．[)2,+∞

【答案】C

【解析】

Q 函数()()f x x R ∈上任一点()00,x y 的切线方程为()()

()2000021y y x x x x -=---，

即函数在任一点()00,x y 的切线斜率为()()

20021k x x =--，即知任一点的导数为()()()

2'21f x x x =--．由()()()

2'210f x x x =--<，得1x <-或12x <<，即函数()f x 的单调递减区间是(),1-∞-和()1,2．故选C.

10．已知直线l

的参数方程为1cos sin x t y t αα??

?????

=+（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ?

=+ ??

，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当AB 最小时，α的值为（） A ．4

α=

B ．3

α=

C ．34

πα=

D ．23πα=

【答案】D 【解析】

Q 直线l

的参数方程为1cos sin x t y t α

α??

?????

=+（t 为参数）， ∴ 直线l 过点

M ? ??

，倾斜角为α，

Q 圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ?

?=+ ??

，即22sin cos ρρθθ=+，

∴圆C

的直角坐标方程为2220x y y +--=

，即(()2

14x y +-=，

Q (

1143??

+-< ? ???

，

∴点M

3 1,

3?? ? ???

在圆内，

Q直线l与圆C的两个交点为,A B，

圆心()31

C，与M

连线的斜率

，

∴当AB最小时，直线CM AB

⊥，

∴tan3

α==-．

∴

α=．

故选D.

11．如图，过原点斜率为k的直线与曲线ln

y x

=交于两点()

A x y，()

B x y，给出以下结论：

①k的取值范围是

②

x x

③当()

x x x

∈时，()ln

f x kx x

=-先减后增且恒为负．

其中所有正确的结论的序号是（）

A．①B．①②C．①③D．②③

【答案】C

【解析】

令()ln f x kx x =-，则()1'f x k x

，由已知()f x 有两个不同的零点，则0k >，

∴()f x 在10,k ?? ???上单调递减，在1,k ??

+∞ ???上单调递增，

∴111ln 0f k k ??

=-< ???

，则10k e << ，①正确；

且有121

x x k

<，∴121kx kx <<，②错误；当()12,x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负，③正确；

∴所有正确结论的序号是①③．

故选C.

12．已知函数()f x 的导函数()'f x ，满足()()21

'2f x f x x x

+=，且()11f =，则函数()f x 的最大值为（） A ．0 B

C ．

D ．2e

【答案】C 【解析】

Q ()()21'2xf x f x x +=

， ∴()()21

'2x f x xf x x

+=，

令()()2

g x x f x =，则()()()2

1''2g x x f x xf x x

=+=

， Q ()11f =，∴()11g =， ∴()1ln g x x =+，()21ln x f x x +=

，∴()3

12ln 'x

f x x --=， ∴12

x e -<时，()312ln '0x f x x --=>；1

x e ->时，()

12ln '0x f x x --=<， ∴当12x e -=时，()1

2max 121ln 2e e f x f e

e -

--?

?+=== ????

? ???

．故选C.

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．由直线3

π=，23

x π

，0y =与sin y x =所围成的封闭图形的面积为．

【答案】1 【解析】函数的图象如图：

当

x π

≤≤

时，()sin 0f x x =>，根据积分的几何意义可知，所求区域面积为

()223

2211sin cos |cos

cos cos cos 1333322

S xdx x ππππππππ??==-=---=-=+= ???? 故答案为：1．

14．若函数()sin f x x a x =+在R 上递增，则实数a 的取值范围为

．

【答案】[]1,1- 【解析】

Q ()'1cos f x a x =+，

∴要使函数()sin f x x a x =+在R 上递增，则1cos 0a x +>对任意实数x 都成立． Q 1cos 1a x -≤≤，

①当0a >时，cos a a x a -<<，

∴1a -≥-，∴01a <≤；

②当0a =时，适合；

③当0a <时，cos a a x a <<-，

∴1a ≥-， ∴10a -≤<．

综上，11a -≤≤．

故答案为：[]1,1- 15．观察下面一组等式：

11S =，

2234=9S =++，

33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，

???

根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则2

a b +=

．

【答案】25 【解析】

当1n =时，()()14131S a b a b =?-+=+=，①

当2n =时，()()()342325225S a b a b =?-+=+=，②，由①②解得4,3a b ==-，

∴2216925a b +=+=，

故答案为：25．

16．如果函数()y f x =在其定义域上有且只有两个数0x ，使得()

()000

'f x f x x =，那么我们就称函数()y f x =为“双T 函数”，则下列四个函数中： ①2

1y x =+， ②x y e =， ③ln y x =， ④sin 1y x =+．为“双T 函数”的是 .

【答案】①③

【解析】

对于①，()21y f x x ==+，

∴

()1

f x x x x

=+，()'2f x x =，令12x x x +

=，即1

x x

=，解得1x =±，满足题意，∴()y f x =为“双T 函数”；对于②，()x y f x e ==，

∴()x

f x e x x =，()'x f x e =，令x

x e e x

=，解得1x =，不满足题意，∴()y f x =不是“双T 函数”；对于③，()()ln ,0

ln ln ,0

x x y f x x x x >??===?

0x >，

()ln f x x x x =，()1

'f x x

=，令

ln 1

x x x

=，即ln 1x =，解得x e =， 0x <，()()ln f x x x x -=，()1

'f x x

=，令

()ln 1

x x x

-=，即()ln 1x -=，解得x e =-，满足题意，∴()y f x =为“双T 函数”；对于④，()sin 1y f x x ==+，

∴

()sin 1f x x x x x

=+，()'cos f x x =，令

sin 1

cos x x x x

+=，即sin cos 10x x x -+=，

由()sin cos 1g x x x x =-+，则()'sin g x x x =，令()'0g x =，解得x k π=，k Z ∈；

由三角函数的周期性知，方程sin cos 10x x x -+=的解有无数个，不满足题意，∴()y f x =不是“双T 函数”；综上，正确的命题序号是①③．故答案为：①③．

三、解答题（共6小题，满分70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题12分）

已知()2116104z a i a =

--+，()22

21z a i a

=+--（其中i 为虚数单位）

，若12z z +是实数（1）求实数a 的值；

（2）求12z z ?的值．【答案】()()239

132-+77

i ；【解析】（1）()()212162

10241z z a i a i a a

--++-+-， Q 12z z +是实数， ∴21020a a -++-=，

解得3a =或4a =-（舍去），

∴3a =；

（2）由（1）可得1216

z i z i =

-=-+，， ∴1

167

z i =+，

∴()121616162391+177777z z i i i i i ???=+-=--+-=-+ ?

．

18．（本小题12分）

（1<；

（2）已知实数a b c 、、满足02a b c <<、、，求证：()2a b -，()2b c -，()2c a -不同时大于1．【答案】()()12略；略【解析】

证明：（1，

只要证

<，

即证1111+<+，

< 即证2430<，显然成立，

<．

（2）假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->，由题意知20a ->，20b ->，20c ->，

那么

()212

a b -+≥

>，

同理

()212

b c -+>，

()21

c a -+>

三式相加，得33>矛盾，所以假设不成立．

所以()2a b -，()2b c -，()2c a -不能同时大于1． 19．（本小题12分）已知函数()(

12ln f x a

x x =--．

（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；

（2）若函数()f x 在()0,+∞单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】()1极大值：12

f e e

???

，无极小值；()(]20∞-，

【解析】

（1）当1a =时，()2ln 0f x x x x =->，，

∴()()'21ln f x x =-+，

令()'0f x =，解得1x e

=，当1

0x e

<<时，()'0f x >，函数单调递增，当1

x e

时，()'0f x <，函数单调递减， ∴当1x e

=时，函数取得极大值，极大值为

11122ln f e e e e ??

=-??= ???

，无极小值；

（2）Q 函数()f x 在()0,+∞单调递增，

∴()()()'2121ln 0f x a x x =--+≥，在()0,+∞上恒成立，

∴1ln 1x a x +-≥，

设()1ln x

g x x

+=，0x >，

∴()2

ln 'x g x x -=，

令()'0g x =，解得1x =，

当01x <<时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当1x >时，()'0g x <，函数()g x 单调递减，

∴()()11g x g ≤=， ∴11a -≥， ∴0a ≤ ，

故a 的取值范围为(]0∞-， 20．（本小题12分）数列{}n a 满足：11

a =

，前n 项和()12n n n n S a +=

，（1）写出23a a ，， 4a ；

（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】()()()()

23411111,,;2,2203012n a a a a n n ====++证明略【解析】（1）Q 11

a =

，前n 项和()12n n n n S a +=

， ∴令2n =，即1223a a a +=．∴2111212a a ==．令3n =，即12336a a a a ++=，∴31

a =．

令4n =，得1234410a a a a a +++=，∴41

a =．

（2）猜想()()

12n a n n =

++，下面用数学归纳法给出证明．

①当1n =时，结论成立．

②假设当n k =时，结论成立，即()()

12k a k k =

++，

则当1n k =+时，()()

1222k k k k k

S a k +=

+， ()()11122

k k k k S a

++++=

即()()1

1122

k k k k k S a a

+++++=，

∴

()()()11

12222

k k k k k

a a k +++++=+， ∴

()()

13222k k k k

a k ++=

+， ∴()()

23k a k k +=

∴当1n k =+时结论成立．

由①②可知，对一切n N *

∈都有()()

12n a n n =

++成立．

21．（本小题12分）已知函数()2x f x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）当0x >时，()21f x ax >+，求a 的取值范围．【答案】()1单调递增区间：1-ln 2

2a ?

?∞ ??

?，，单调递减区间：()(]1ln +2222a ??

∞-∞ ???

，；

，【解析】（1）()2'2x

f x e

a =-，

0a ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上递增， 0a >时，由()'0f x =得1ln 22

x =，

1-ln 22a x ??∈∞ ???，，()'0f x <，()f x 在1-ln 22a ?

?∞ ???，上递减；

1ln +22a x ??∈∞ ???，，()'0f x >，()f x 在1ln +22a ??

∞ ???

，上递增．

（2）()221x

f x e ax ax =->+变形为2210x e ax ax --->，

令()221x

g x e

ax ax =---，()2'22x g x e ax a =--，

令()'0g x =，可得2221

x e a x =+，

令()2221x e h x x =+，()()

8'21x

xe h x x =+， 0x >时，()'0h x >，()h x 在()0+∞，上单调递增，

∴()h x 的值域是()+∞2，，

当2a ≤时，()'0g x =没有实根，()'0g x >，

()g x 在()0+∞，上单调递增，()()00g x g >=，符合题意，

当2a >时，()'0g x =有唯一实根0x ，()00,x x ∈时，()'0g x <，

()g x 在()00,x 上递减，()()00g x g <=，不符题意，

综上，a 的取值范围是2a ≤． 22．（本小题10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C

：sin x y θ

?=??

=??（θ为参数），以平面直角坐标系

xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直

线l ：(

)cos sin ρθθ+=．

（1）试写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；

（2）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．【答案】(

)(

1+2sin

3,0;22x y ρρθ=+-=

【解析】

（1）Q 曲线C

：sin x y θ

?=??

=??（θ为参数），

∴曲线C 的普通方程为2

213x y +=，

∴曲线C 的极坐标方程为

2222cos sin 13

ρθ

ρθ+=，

即2

2sin 3ρρθ+=．

Q 直线l ：(

)cos sin ρθθ+= ∴直线l

的普通方程为0x y +-=．

（2

）设)

,sin P

θθ，

则P 到直线l

的距离d =

， ∴当2sin 23πθ?

?+= ??

?时，点P 到直线l 的距离最小，

此时6

θ=

，∴31,22P ??

???

，

此最小值为

min 2d =

职高高二数学试题

华夏职业学校2009－2010学年度上学期高二专业班数学期末试题一、选择题（每小题4分，共40分） 1、直线L 经过原点和点（－1，－1），则它的倾斜角是（） A 、4π B 、45π C 、4π或45π D 、－4π 2、已知圆x2+y2=25过点M （ m , 3 ）,则 m=（） A 、4 B 、－4 C 、±2 D 、±4 3、已知点p ( 3 , m )在过M( 2 , -1 )和N( -3 , 4 )的直线上，则m 的值（） A 、5 B 、2 C 、－2 D 、－6 4、当b=0, a , c 都不等于零时，直线ax+by+c= 0 ( ) A 、必过原点 B 、平行于 x 轴 C 、平行于y 轴 D 、必过点（a c ,0） 5、两条直线2x+y+4=0和x-2y-1=0的位置关系是（） A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、与k 的值有关 6、若a >b,则下式正确的是（）

A、ac >bc B、ac2 >bc2 C、a2>b2 D、a+c >b+c 7、两直线4x-2y+3=0和3x＋y－2＝0的夹角是（） A、30o B、45o C、60o D、90o 8、两平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0间的距离为（） A、13 B、26 C、213 D、226 9、直线y-2x+5=0与圆(x-2)2+(y+1)2=3之间的位置关系是（） A、相离 B、相切 C、相交且过圆心 D、相交但不过圆心 10、圆x2+y2-8x+2y+12=0的圆心和半径分别为（） A、（4，－1 ），5 B、（－4 ，1 ），5 C、（－4 ，1），5 D、（4 ，－1 ），5 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、过点p( 3 , 1),且与x轴平行的直线方程为___________ 2、当且仅当m=______时，经过两点A(2m, 2) B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是45o。 3、过点A( 3, -4) B( -1 ,8)连线的中点，且倾斜角为π/3的直线方程是_____________

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|