项目七概率论,数据统计与区间估计

项目七 概率论、数据统计与区间估计

实验1 概率模型

实验目的 通过将随机试验可视化, 直观地理解概率论中的一些基本概念, 从频率与概 率的关系来体会概率的统计定义, 并初步体验随机模拟方法. 通过图形直观理解随机变量及 其概率分布的特点.

基本命令

1.调用统计软包的命令

进行统计数据的处理, 必须调用相应的软件包, 首先要输入并执行命令

<

以完成数据统计的准备工作.

2.调用作图软件包的命令<

用Mathematica 作直方图, 必须调用相应的作图软件包, 输入并执行

<

这时可以查询这个软件包中的一些作图命令的用法. 如输入

??BarChart

则得到命令BarChart 的用法说明; 如果没有, 则说明调用软件包不成功, 必须重新启动计算 机, 再次调用软件包.

实验举例

频率与概率

例1.1(高尔顿钉板实验)自高尔顿钉板上端放一个小球, 任其自由下落. 在其下落过程 中, 当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p , 从右边落下的概率为,1p -碰到下一排钉子又 是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 则此球落入哪个格子事先难以确 定. 设横排共有20=m 排钉子, 下面进行模拟实验:

(1) 取,5.0=p 自板上端放入一个小球, 观察小球落下的位置; 将该实验重复作5次, 观 察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性;

(2) 分别取,85.0,5.0,15.0=p 自板上端放入n 个小球, 取,5000=n 观察n 个小球落下后

呈现的曲线.

作出不同p值下5000个小球落入各个格子的频数的直方图, 输入<

<

Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={};

For[l=1,l<=n,l++,k=0;

t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}];

Do[If[t[[i]]==1,k++,k--],{i,1,m}];dist=Append[dist,k];

pp=Frequencies[dist];];Histogram[dist,BarStyle->{RGBColor[0,0,1]}];]

p=0.15;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]

p=0.5;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]

p=0.85;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]

则输出

p=0.15

p=0.5

p =0.85 图1-1

由图1-1可见: 若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化, 则高尔顿钉板实验中小球 落入各个格子的频数发生变化, 从而频率也相应地发生变化. 而且, 当,5.0>p 曲线峰值的 格子位置向右偏; 当,5.0

几何概型

例1.2 甲、乙二人约定八点到九点在某地会面, 先到者等20分钟离去, 试求两人能会面 的概率.

由于甲、乙二人在[0,60]时间区间中任何时刻到达是等可能的, 若以X ,Y 分别代表甲乙二 人到达的时刻, 则每次试验相当于在边长为60的正方形区域

}60,0);,{(≤≤=ΩY X Y X

中取一点.

设到达时刻互不影响, 因此),(Y X 在区域Ω内取点的可能性只与区域的面积大小成正 比, 而与其形状、位置无关. 于是, 会面问题可化为向区域Ω随机投点的问题. 所关心的事 件“二人能会面”可表示为

}20||);,{(≤-=Y X Y X A (图1-2)

于是, 所求概率的理论值为

=)(A P (A 的面积)/(Ω的面积)556.09

5

≈=

图1-2

下面, 我们作如下模拟试验:

(1) 模拟向有界区域Ω投点n 次的随机试验, 取100=n , 统计每次投点是否落在图1-2 所示区域A 中, 若是则计数1次.

(2) 改变投点数,10000,5000,1000=n 统计落入区域A 的次数. 输入

meet[n_Integer]:=Module[{x},

x[k_]:=x[k]=Abs[Random[Integer,{0,60}]-Random[Integer,{0,60}]]; pile=Table[x[k],{k,1,n}];times=Count[pile,x_/;0<=x<=20]; Print[times];frequence=N[times/n]] n=100;meet[n] n=1000;meet[n] n=5000;meet[n] n=10000;meet[n]

则输出所求结果, 为方便比较, 将输出结果列于表1-1中

表1-1

从上表结果可见, 当约会次数越来越大时, 试验约会成功频率与理论约会成功概率越来

越接近.

离散型随机变量及其概率分布

例1.3(二项分布)利用Mathematica 绘出二项分布),(p n b 的概率分布与分布函数的图形, 通过观察图形, 进一步理解二项分布的概率分布与分布函数的性质.

设20=n , ,2.0=p 输入

<

n=20;p=0.2;dist=BinomialDistribution[n,p];

t=Table[{PDF[dist,x+1],x},{x,0,20}];g1=BarChart[t,PlotRange->All]; g2=Plot[Evaluate[CDF[dist,x]],{x,0,20},PlotStyle->{Thickness[0.008],

RGBColor[0,0,1]}];

t=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,20}];

gg1=ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity];

gg2=ListPlot[t,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];

p1=Show[gg1,gg2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All];

则分别输出二项分布概率分布图形(图1-3)与分布函数图形(图1-4).

图1-3

图1-4

从图1-3可见, 概率}{k X P =随着k 的增加,先是随之增加, 直到4=k 达到最大值, 随 后单调减少. 而从图1-4可见, 分布函数)(x F 的值实际上是x X ≤的累积概率值.

通过改变n 与p 的值, 读者可以利用上述程序观察二项分布的概率分布与分布函数随 着n 与p 而变化的各种情况, 从而进一步加深对二项分布及其性质的理解.

连续型随机变量及其概率密度函数

例1.4 (正态分布)利用Mathematica 绘出正态分布),(2σμN 的概率密度曲线以及分布函 数曲线, 通过观察图形, 进一步理解正态分布的概率分布与分布函数的性质.

(1) 固定,1=σ 取,2,0,2==-=μμμ 观察参数μ对图形的影响, 输入

<

<

dist=NormalDistribution[0,1]; dist1=NormalDistribution[-2,1]; dist2=NormalDistribution[2,1];

Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},

PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange->All]; Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},

PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]}];

则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-5)及分布函数曲线(图1-6).

图1-6

从图1-5可见:

(a) 概率密度曲线是关于μ=x 对称的钟形曲线, 即呈现“两头小, 中间大, 左右对称” 的特点.

(b) 当μ=x 时, )(x f 取得最大值, )(x f 向左右伸展时, 越来越贴近x 轴.

(c) 当μ变化时, 图形沿着水平轴平移, 而不改变形状, 可见正态分布概率密度曲线的 位置完全由参数μ决定, 所以μ称为位置参数.

(2) 固定0=μ, 取,5.1,1,5.0=σ观察参数σ对图形的影响, 输入

dist=NormalDistribution[0,0.5^2]; dist1=NormalDistribution[0,1]; dist2=NormalDistribution[0,1.5^2];

Plot[{PDF[dist1,x],PDF[dist2,x],PDF[dist,x]},{x,-6,6},

PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]},PlotRange->All]; Plot[{CDF[dist1,x],CDF[dist2,x],CDF[dist,x]},{x,-6,6},

PlotStyle->{Thickness[0.008],RGBColor[1,0,0]},PlotRange->All]; 则分别输出相应参数的正态分布的概率密度曲线(图1-7)及分布函数曲线(图1-8)

图1-7

从图1-7与图1-8可见: 固定μ, 改变σ时, σ越小, 在0附近的概率密度图形就变得越 尖, 分布函数在0的附近增值越快; σ越大, 概率密度图形就越平坦, 分布函数在0附近的增 值也越慢, 故σ决定了概率密度图形中峰的陡峭程度; 另外, 不管σ如何变化, 分布函数在 0点的值总是0.5, 这是因为概率密度图形关于0=x 对称.

通过改变μ与σ的值, 读者可以利用上述程序观察正态分布的概率分布与分布函数随 着μ与σ而变化的各种情况, 从而进一步加深对正态分布及其性质的理解.

随机变量函数的分布

例1.5 设X ,Y 相互独立, 都服从(0,1)上的均匀分布, 求Y X Z +=的概率密度. 理论上, 我们可用卷积公式直接求出Y X Z +=的密度函数:

??

?

??≤≤-≤≤=其它,021,210,

)(z z z z z g

下面, 我们作如下模拟试验:

(1) 产生两组服从(0,1)上均匀分布的相互独立的随机数,,,2,1,,n i y x i i = 取n ,1000= 计算;i i i y x z +=

(2) 用数据i z 作频率直方图, 并在同一坐标系内画出用卷积公式求得的密度函数图形作 比较.

输入

<

Clear[g1,t,t1,t2];t={};n=1000;

g1[x_]:=50*Which[0<=x<=1,x,1<=x<=2,2-x,True,0];

pic1=Plot[g1[x],{x,0,2},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}]; t1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n]; t2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],n]; Do[t=Append[t,t1[[i]]+t2[[i]]],{i,n}];p1=Histogram[t]; Show[pic1,p1,DisplayFunction->$DisplayFunction];

则在同一坐标系中输出所求频率直方图与密度函数的图形(图1-9).

中心极限定理的直观演示

例1.6 本例旨在直观演示中心极限定理的基本结论: “大量独立同分布随机变量的和的 分布近似服从正态分布”. 按以下步骤设计程序:

(1) 产生服从二项分布),10(p b 的n 个随机数, 取2.0=p , 50=n , 计算n 个随机数之 和y 以及

)

1(1010p np np y --;

(2) 将(1)重复1000=m 组, 并用这m 组)

1(1010p np np y --的数据作频率直方图进行观察.

输入

<

<

m=1000;n=50;p=0.2;t={};dist={}; For[i=1,i<=m,i++,

dist=RandomArray[BinomialDistribution[10,p],n]; ysum=CumulativeSums[dist];

nasum=(ysum[[n]]-10*n*p)/Sqrt[n*10*p*(1-p)];t=Append[t,nasum];] Histogram[t,FrequencyData->False];

则输出图1-10.

图1-10

从图1-10可见, 当原始分布是二项分布, n 比较大时, n 个独立同分布的的随机变量之和的 分布近似于正态分布.

实验习题

1. (抛硬币实验) 模拟抛掷一枚均匀硬币的随机实验(可用0-1随机数来模拟实验结果), 取模拟n 次掷硬币的随机实验. 记录实验结果, 观察样本空间的确定性及每次实验结果的偶 然性, 统计正面出现的次数, 并计算正面出现的频率. 对不同的实验次数n 进行实验, 记录 下实验结果,通过比较实验的结果, 你能得出什么结论?

2. (抽签实验) 有十张外观相同的扑克牌, 其中有一张是大王, 让十人按顺序每人随机抽 取一张, 讨论谁先抽出大王.

甲方认为: 先抽的人比后抽的人机会大.

乙方认为: 不论先后, 他们抽到大王的机会是一样的. 究竟他们谁说的对?

3. (泊松分布) 利用Mathematica 在同一坐标系下绘出λ取不同值时泊松分布)(λπ的概 率分布曲线, 通过观察输出的图形, 进一步理解泊松分布的概率分布的性质.

4. (二项分布的正态分布逼近) 用正态分布逼近给出二项分布),;(p n k B ,1(=k

),,2n , 并将得到的近似值与它的精确值比较.

实验2 数据统计

实验目的 掌握利用Mathematica 求来自某个总体的一个样本的样本均值、中位数、样 本方差、偏度、峰度、样本分位数和其它数字特征, 并能由样本作出直方图.

基本命令

1.求样本数字特征的命令

(1) 求样本list 均值的命令Mean[list]; (2) 求样本list 的中位数的命令Median[list]; (3) 求样本list 的最小值的命令Min[list]; (4) 求样本list 的最大值的命令Max[list]; (5) 求样本list 方差的命令Variance [list];

(6) 求样本list 的标准差的命令StandardDeviation[list]; (7) 求样本list 的α分位数的命令Quantile[list,α]; (8) 求样本list 的n 阶中心矩的命令CentralMoment[list,n]. 2.求分组后各组内含有的数据个数的命令BinCounts 基本格式为

BinCounts [数据,{最小值,最大值,增量}]

例如,输入

BinCounts[{1,1,2,3,4,4,5,15,6,7,8,8,8,9,10,13},{0,15,3}]

则输出

{4,4,5,1,2}

它表示落入区间]15,12(],12,9(],9,6(],6,3(],3,0(的数据个数分别是4, 4, 5, 1, 2.

注: 每个区间是左开右闭的. 3.作条形图的命令BarChart 基本格式为

BarChart [数据,选项1,选项2,…]

其中数据是{{11,x y },{22,x y },…}或{ ,,21y y }的形式.而 ,,21y y 为条形的高度, 21,x x 为条形的中心.在数据为{ ,,21y y }的形式时默认条形的中心是{ ,2,1}.常用选项

有BarSpacing →数值1,BarGroupSpacing →数值2.

例如, 输入

BarChart[{{4,1.5},{4,4.5},{5,7.5},{1.10,5},{2,13.5}},BarGroupSpacing->0.1]

则输出如图2-1的条形图.

图2-1

实验举例

样本的数据统计

例2.1在某工厂生产的某种型号的圆轴中任取20个,测得其直径数据如下:

15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56,15.38,15.21,

15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46.15.52,15.29,15.42,15.69

求上述数据的样本均值,中位数,四分位数;样本方差,极差,变异系数,二阶、三阶和四阶中心矩;求偏度,峰度,并把数据中心化和标准化.

输入

<

data1={15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56,

15.38,15.21,15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46,

15.52,15.29,15.42,15.69}; (*数据集记为datal*)

Mean[data1] (*求样本均值*)

Median[data1] (*求样本中位数*)

Quartiles[data1] (*求样本的0.25分位数, 中位数, 0.75分位数*)

Quantile[data1,0.05] (*求样本的0.05分位数*)

Quantile[data1,0.95] (*求样本的0.95分位数*)

则输出

15.4405

15.46

{15.355,15.46,15.56}

15.13

15.63

即样本均值为15.4405,样本中位数为15.46,样本的0.25分位数为15.355,样本的0.75分位数 15.56, 样本的0.05分位数是15.13, 样本的0.95分位数是15.63.

输入

Variance[data1] (*求样本方差2s *)

StandardDeviation[data1] (*求样本标准差s *) VarianceMLE[data1] (*求样本方差2*s *)

StandardDeviationMLE[data1] (*求样本标准差*s *) SampleRange[data1] (*求样本极差R *)

则输出

0.020605 0.143544 0.0195748 0.13991 0.56

即样本方差2s 为0.020605, 样本标准差s 为0.143544, 样本方差2*s 为0.0195748 样本标准 差*s 为0.13991, 极差R 为0.56.

注: Variance 给出的是无偏估计时的方差, 其计算公式为

∑=--n

i i

x x

n 12)(1

1

, 而

VarianceMLE 给出的是总体方差的极大似然估计, 其计算公式为

∑=-n

i i

x x

n

1

2)(1

,它比前者稍

微小些.

输入

CoefficientOfVariation[data1]

(*求变异系数.变异系数的定义是样本标准差与样本均值之比*)

则输出

0.00929662

输入

CentralMoment[data1,2](*求样本二阶中心矩*) CentralMoment[data1,3] (*求样本三阶中心矩*) CentralMoment[data1,4] (*求样本四阶中心矩*)

输出为

0.0195748 -0.00100041 0.000984863

输入

Skewness[data1]

(*求偏度,偏度的定义是三阶中心矩除以标准差的立方*)

Kurtosis[data1]

(*求峰度,峰度的定义是四阶中心矩除以方差的平方*)

则输出

-0.365287

2.5703

上述结果表明:数据(data1)的偏度(Skewness)是-0.365287,负的偏度表明总体分布密度有较长的右尾,即分布向左偏斜.数据(data1)的峰度(Kurtosis)为2.5703. 峰度大于3时表明总体的分布密度比有相同方差的正态分布的密度更尖锐和有更重的尾部. 峰度小于3时表明总体的分布密度比正态分布的密度更平坦或者有更粗的腰部.

输入

ZeroMean[data1]

(*把数据中心化,即每个数据减去均值*)

则输出

{-0.1605,0.1895,-0.3105,0.0195,-0.0405,0.1195,-0.0905,

0.1195,-0.0605,-0.2305,0.0395,0.1395,0.1295,-0.0805,

0.0395,0.0195,0.0795,-0.1505,-0.0205,0.2495}

输入

Standardize[data1](*把数据标准化,即每个数据减去均值,再除以标准差,从而使

新的数据的均值为0,方差为1*)

则输出

{-1.11812,1.32015,-2.16309,0.135846,-0.282143,0.832495,

-0.630467,0.832495,-0.421472,-1.60577,0.275176,

0.971825,0.90216,-0.560802,0.275176,0.135846,

0.553836,-1.04846,-0.142813,1.73814}

读者可验算上述新数据的均值为0,标准差为1.

作样本的直方图

例2.2从某厂生产的某种零件中随机抽取120个, 测得其质量(单位:g)如表2-1所示. 列出分组表, 并作频率直方图.

表2-1

200 202 203 208 216 206 222 213 209 219

216 203 197 208 206 209 206 208 202 203

206 213 218 207 208 202 194 203 213 211

193 213 208 208 204 206 204 206 208 209

213 203 206 207 196 201 208 207 213 208

210 208 211 211 214 220 211 203 216 221

211 209 218 214 219 211 208 221 211 218

218 190 219 211 208 199 214 207 207 214

206 217 214 201 212 213 211 212 216 206

210 216 204 221 208 209 214 214 199 204

211 201 216 211 209 208 209 202 211 207

220 205 206 216 213 206 206 207 200 198

输入

<

<

data2={200, 202, 203, 208, 216, 206, 222, 213, 209, 219,

216, 203, 197, 208, 206, 209, 206, 208, 202, 203,

206, 213, 218, 207, 208, 202, 194, 203, 213, 211,

193, 213, 208, 208, 204, 206, 204, 206, 208, 209,

213, 203, 206, 207, 196, 201, 208, 207, 213, 208,

210, 208, 211, 211, 214, 220, 211, 203, 216, 221,

211, 209, 218, 214, 219, 211, 208, 221, 211, 218,

218, 190, 219, 211, 208, 199, 214, 207, 207, 214,

206, 217, 214, 201, 212, 213, 211, 212, 216, 206,

210, 216, 204, 221, 208, 209, 214, 214, 199, 204,

211, 201, 216, 211, 209, 208, 209, 202, 211, 207,

220, 205, 206, 216, 213, 206, 206, 207, 200, 198};

先求数据的最小和最大值.输入

Min[data2]

Max[data2]

得到最小值190,最大值222.取区间[189.5,222.5],它能覆盖所有数据.将[189.5,222.5]等分为11

,这个小区间,设小区间的长度为3.0.数出落在每个小区内的数据个数,即频数)7,

i

f

(

,2,1

i

可以由BinCount命令来完成.

输入

f1=BinCounts[data2,{189.5,222.5,3}]

则输出

{1,2,3,7,14,20,23,22,14,8,6}

输入

gc=Table[189.5+j*3-1.5,{j,1,11}]

(*产生11个小区间的中心的集合gc*)

bc=Transpose[{f1/Length[data2],gc}]

(*Length[data2]为数据data2的总个数即样本的容量n, f1/Length[data2]为频率f i /n,Transpose 是求矩阵转置的命令, 这里bc 为数据对,第一个数是频率,第二个是组中心*)

则输出结果

.}}221,20

1{.},218,151{.},215,607{.},212,6011{.},209,12023{.},206,6

1{.},203,607{.},200,1207{.},197,401{.},194,601{.},191,1201{{

输入作频率n f i /对组中心的条形图命令

BarChart[bc]

则输出所求条形图(图2-2).

图2-2

实验习题

1.在某省一“夫妻对电视传播媒介观念的研究”项目中,访问了30对夫妻,其中丈夫所 受教育x (单位:年)的数据如下:

18,20,16,6,16,17,12,14,16,18,14,14,16,9,20,18,12,15,13,16,16,21,21,9,16,20,14,14,16,16 (1) 求样本均值、中位数、四分位数;样本方差、样本标准差、极差、变异系数,二阶、 三阶和四阶中心矩;求偏度、峰度。

(2) 将数据分组,使组中值分别为6,9,12,15,18,21作出x 的频数分布表; 作出频率分布的 直方图.

2.下面列出84个伊特拉斯坎男子头颅的最大宽度(单位:mm),对数据分组,并作直方图.

141 148 132 138 154 142 150 146 155 158

150 140 147 148 144 150 149 145 149 158

143 141 144 144 126 140 144 142 141 140

145 135 147 146 141 136 140 146 142 137

148 154 137 139 143 140 131 143 141 149

148 135 148 152 143 144 141 143 147 146

150 132 142 142 143 153 149 146 149 138

142 149 142 137 134 144 146 147 140 142

140 137 152 145

3.下面的数据是某大学某专业50名新生在数学素质测验中所得到的分数:

88,74,67,49,69,38,86,77,66,75,94,67,78,69,84,50,39,58,79,70,90,

79,97,75,98,77,64,69,82,71,65,68,84,73,58,78,75,89,91,62,72,74,

81,79,81,86,78,90,81,62

将这组数据分成6~8个组,画出频率直方图,并求出样本均值、样本方差,以及偏度、峰度.

实验3 区间估计

实验目的掌握利用Mathematica软件求一个正态总体的均值、方差的置信区间的方法; 求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的方法. 通过实验加深对统计推断的基本概

念的和基本思想的理解.

基本命令

1.调用区间估计软件包的命令<

用Mathematica作区间估计, 必须先调用相应的软件包. 要输入并执行命令

<

或

<

2.求单正态总体求均值的置信区间的命令MeanCi

命令的基本格式为

MeanCI[样本观察值, 选项1, 选项2,…]

其中选项1用于选定置信度, 形式为ConfidenceLevel->α

1, 缺省默认值为

-

ConfidenceLeve1->0.95. 选项2用于说明方差是已知还是未知,其形式为

σ, 缺省默认值为knownVariance->None. 也可以用说明标准差的knownVariance->None或20

σ来代替这个选项.

选项knownStandardDeviation->None或

3. 求双正态总体求均值差的置信区间的命令MeanDifferenceCI

命令的基本格式为

MeanDifferenceCI[样本1的观察值, 样本2的观察值,选项1,选项2,选项3,…]

其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明. 选项2用于说明两个总体的方差是已

知还是未知, 其形式为knownVariance->2

0σ或},{22

21σσ或None, 缺省默认值为 knownVariance->None. 选项3用于说明两个总体的方差是否相等, 形式为

EqualVariance->False 或True. 缺省默认值为EqualVariance->False, 即默认方差不相等.

4. 求单正态总体方差的置信区间的命令VarianceCI 命令的基本格式为

VarianceCI[样本观察值, 选项]

其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明.

5. 求双正态总体方差比的置信区间的命令VarianceRatioCI 命令的基本格式为

VarianceRatioCI[样本1的观察值,样本2的观察值,选项]

其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明. 6. 当数据为概括数据时求置信区间的命令

(1) 求正态总体方差已知时总体均值的置信区间的命令

NormalCI[样本均值, 样本均值的标准差, 置信度选项]

(2) 求正态总体方差未知时总体均值的置信区间的命令

StudentTCI[样本均值, 样本均值的标准差的估计, 自由度, 置信度选项] (3) 求总体方差的置信区间的命令

ChiSquareCI[样本方差, 自由度, 置信度选项]

(4) 求方差比的置信区间的命令

FRatioCI[方差比的值, 分子自由度, 分母自由度,置信度选项]

实验举例

单正态总体的均值的置信区间(方差已知情形)

例3.1 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径可以认为服从正态分布. 从某天 产品中任取6个测得直径如下(单位:mm):

15.6

16.3

15.9

15.8

16.2

16.1

若已知直径的方差是0.06, 试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间与置信度为0.90的

置信区间.

输入

<

MeanCI[data1,KnownVariance->0.06] (*置信度采取缺省值*)

则输出

{15.7873,16.1793}

即均值μ的置信度为0.95的置信区间是(15.7063,16.2603).

为求出置信度为0.90的置信区间, 输入

MeanCI[data1,ConfidenceLevel->0.90,KnownVariance->0.06]

则输出

{15.8188,16.1478}

即均值μ的置信度为0.90的置信区间是(15.7873,16.1793). 比较两个不同置信度所对应的置 信区间可以看出置信度越大所作出的置信区间越大.

例3.2(教材§6.4 例1)某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅 游者, 得知平均消费额80=x 元, 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差

12=σ元, 求该地旅游者平均消费额μ的置信度为%95的置信区间.

输入

NormalCI[80,12/25]

输出为

{77.648,82.352}

单正态总体的均值的置信区间(方差未知情形)

例3.3 (教材§6.4 例4)有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计) 如下:

506 508 499 503 504 510 497 512 514

505 493 496 506 502 509 496

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求置信度分别为0.95与0.90的总体均值μ

的置信区间.

输入

data2={506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496}; MeanCI[data2]

(*因为置信度是0.95, 省略选项ConfidenceLeve1->0.95;

又方差未知, 选项knownVariance->None 也可以省略*)

则输出

{500.445,507.055}

即μ的置信度为0.95的置信区间是(500.445,507.055).

再输入

MeanCI[data2,ConfidenceLevel->0.90]

则输出

{501.032,506.468}

即μ的置信度为0.90的置信区间是(501.032,506.468).

例3.4 从一批袋装食品中抽取16袋, 重量的平均值为,75.503g x =样本标准差为

.2022.6=s 假设袋装重量近似服从正态分布, 求总体均值μ的置信区间(05.0=α).

这里, 样本均值为503.75, 样本均值的标准差的估计为,4/2002.6/=n s 自由度为15, 05.0=α, 因此关于置信度的选项可省略.

输入

StudentTCI[503.75,6.2002/Sqrt[16],15]

则输出置信区间为

{500.446,507.054}

两个正态总体均值差的置信区间

例3.5(教材§6.4 例7)A , B 两个地区种植同一型号的小麦, 现抽取了19块面积相同的麦 田, 其中9块属于地区A , 另外10块属于地区B , 测得它们的小麦产量(以kg 计) 分别如下:

地区A : 100 105 110 125 110 98 105 116 112 地区B : 101 100 105 115 111 107 106 121 102 92

设地区A 的小麦产量),(~211σμN X ,地区B 的小麦产量),(~2

2

2σμN Y ,221,,σμμ均未 知, 试求这两个地区小麦的平均产量之差21μμ-的95%和90%的置信区间.

输入

list1={100,105,110,125,110,98,105,116,112}; list2={101,100,105,115,111,107,106,121,102,92}; MeanDifferenceCI[list1,list2] (*默认定方差相等*)

则输出

{-5.00755,11.0075}

即21μμ-的置信度为95%的置信区间是(-5.00755, 11.0075).

输入

MeanDifferenceCI[list1,list2,EqualVariances->True] (*假定方差相等*)

则输出

{-4.99382,10.9938}

这时21μμ-的置信度为0.95的置信区间是(-4.99382, 10.9938). 两种情况得到的结果基本一 致.

输入

MeanDifferenceCI[list1,list2,ConfidenceLevel->0.90,EqualVariances->True]

则输出

{-3.59115, 9.59115}

即21μμ-的置信度为90%的置信区间是(-3.59115, 9.59115). 这与教材结果是一致的.

例3.6 比较A 、B 两种灯泡的寿命, 从A 种取80只作为样本,计算出样本均值,2000=x 样 本标准差.801=s 从B 种取100只作为样本, 计算出样本均值,1900=y 样本标准差.1002=s 假设灯泡寿命服从正态分布, 方差相同且相互独立, 求均值差21μμ-的置信区间

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

《概率论与数理统计》课程学习心得

《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数

概率论与数理统计参数估计

第六章 参数估计 在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数. 例如, 灯泡的寿命X 是一个总体, 根据实际经验知道, X 服从),(2σμN , 但对每一批灯泡而言, 参数2,σμ是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题. 参数估计问题的一般提法: 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(θx F , 其中θ为未知参数(θ可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n X X X ,,,21 , 再依据该样本对参数θ作出估计, 或估计参数θ的某已知函数).(θg 第一节 点估计问题概述 内容分布图示 ★ 引言 ★ 点估计的概念 ★ 例1 ★ 评价估计量的标准 ★ 无偏性 ★ 例2 ★ 例3 ★ 有效性 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 相合性 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-1 ★ 返回 内容要点： 一、点估计的概念 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21 是相应的一个样本值. θ是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数θ, 需构造一个适当的统计量 ),,,,(?2 1 n X X X θ 然后用其观察值 ),,,(?21n x x x θ 来估计θ的值. 称),,,(?21n X X X θ为θ的估计量. 称),,,(?21n x x x θ为θ的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为θ?. 注: 估计量),,,(?21n X X X θ是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值, θ的估计值θ?一般是不同的. 二、评价估计量的标准 从例1可见,参数点估计的概念相当宽松, 对同一参数,可用不同的方法来估计, 因而得到不同的估计量, 故有必要建立一些评价估计量好坏的标准. 估计量的评价一般有三条标准:

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-=

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：

概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

第七章参数估计练习题(最新整理)

第七章参数估计练习题 一．选择题 1.估计量的含义是指（） A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. .随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性 B.有效性 C. 一致性D. 充分性 8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（） A．准确性 B. 精确性 C. 显著性D. 可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t分布 C.χ2分布 D. F分布 11. 当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（）

《概率论与数理统计》袁荫棠_课后答案__概率论第一章

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.0812 1)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

第七章 参数估计

第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 一、 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μ? ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2 ? ∑=-n i i X X n 1 2)(1 ； 4.设()12?,,,n X X X θ 为未知参数θ的估计量，若() ?E θθ=，则称?θ为θ的无偏估计量； 5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为 X N ； 解 {}() 1i i i N x x x i N P x x C p p -==-， ()()11 1111n n i i i i i i i i n n x N x nN x x x x N N i i L C p p C p p ==--==∑??∑=-=- ??? ∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n n x N i i i i i L C x p nN x p ===?????? =++-- ? ? ??? ????∑∑∏， 令11ln 11 0,1n n i i i i d L x nN x dp p p ==????=--= ? ?-????∑∑得到1n i i x X p nN N ===∑。 7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{} 0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。 解 ()()2 2 0.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ?? ???

概率论与数理统计答案(1)

概率论与数理统计习题及答案 习题一 1． 略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C (6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12， 求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1 4 + 1 4 + 1 3 - 1 12 = 3 4 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=533213 1313131352 C C C C/C

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P

A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0

概率论与数理统计答案(4)

习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[ ()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量 且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=…… 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ）， D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

第七章参数估计

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθL d x θc θn θn θL