空间维度与能量自由度(稿)

空间维度与能量自由度

胡良

深圳宏源清有限公司

深圳市罗湖区金田工业区D栋,518004

摘要：原点具有一个原点自由度（膨胀与收缩），量纲是[L^(3)T^(-1)]；

一个维度对应一个移动自由度（前进与后退），量纲是[L^(1)T^(-1)]；

任意两个维度对应一个旋转自由度（左旋与右旋），量纲是[L^(2)T^(-1)]。

可见，

在一维空间，具有一个移动自由度及一个原点自由度。体现为两个自由度。

在二维空间，具有两个移动自由度，一个旋转自由度及一个原点自由度。体现为四个自由度。在三维空间，具有三个移动自由度，三个旋转自由度及一个原点自由度。体现为七个自由度。在四维空间，具有四个移动自由度，六个旋转自由度及一个原点自由度。体现为十一个自由度。

关键词：自由度，能量，物理常数，光子，普朗克空间，光速，普朗克常数

分类号：O412,O413

A new physical constant

Hu Liang

Abstract：

Energy characteristics constant (with Hu expressed)

Dimension is L ^ (3) [L ^ (3) T ^ (- 3)], is a physical constant, equivalent to the size of Vp *C ^ (3). Energy characteristics constant (Hu) is the smallest unit of energy, which is equivalent to the energy of elementary particles. Keywords:Energy, Planck space, velocity of light, Planck constant

0引言

在力学里，自由度是指力学系统的独立坐标的个数。力学系统可由一组坐标来描述。例如一个质点在三维空间中运动，在坐标系中，可由x,y,z 三个坐标来描述（在球坐标体系中，可由 a,b,c三个坐标描述）。则N个质点组成的力学系统可由 3N 个坐标来描述。但在力学系统中，存在着各种约束，从而使得这 3N 个坐标并不是都独立的。这样，对于N 个质点组成的力学系统，假如存在M个完整约束，则系统的自由度是S=3N-M。

力学中的自由度实际上就是能量自由度在宏观上的具体表现。能量的自由度数在本质上是指，表达能量在空间的状态所需独立坐标的数目。

1能量特征常数的等价方程式

能量特征常数的等价方程式。

在X轴方向运动，其量纲是：L^(1)*[L^(1)T^(-1)]；在X轴方向反向运动，其量纲是：

L^(1)*{-[L^(1)T^(-1)]}。其中：L^(1)≧Lp，[L^(1)T^(-1)]≦C。

围绕X轴方向左旋，其量纲是：[L^(2)T^(-1)]；围绕X轴方向右旋，其量纲是：

{-[L^(2)T^(-1)]}。其中：L^(2)≧Sp，T^(1)]≧tp。

在Y轴方向运动，其量纲是：L^(1)*[L^(1)T^(-1)]；在Y轴方向反向运动，其量纲是：

L^(1)*{-[L^(1)T^(-1)]}。L^(1)≧Lp，[L^(1)T^(-1)]≦C。

围绕Y轴方向左旋，其量纲是：[L^(2)T^(-1)]；围绕Y轴方向右旋，其量纲是：

{-[L^(2)T^(-1)]}。其中：L^(2)≧Sp，T^(1)]≧tp。

在Z轴方向运动，其量纲是：L^(1)*[L^(1)T^(-1)]；在Z轴方向反向运动，其量纲是：

L^(1)*{-[L^(1)T^(-1)]}。L^(1)≧Lp，[L^(1)T^(-1)]≦C。

围绕Z轴方向左旋，其量纲是：[L^(2)T^(-1)]；围绕Z轴方向右旋，其量纲是：

{-[L^(2)T^(-1)]}。其中：L^(2)≧Sp，T^(1)]≧tp。

对于三维空间在三维空间运动来说:

其量纲是：{L^(1)*[L^(1)T^(-1)]}*{L^(1)*[L^(1)T^(-1)]}*{L^(1)*[L^(1)T^(-1)]}

或[L^(2)T^(-1)]}*[L^(2)T^(-1)]*[L^(2)T^(-1)]等表达式；

但总量纲是：[L^(3)T^(0)]*[L^(3)T^(-3)]。其中：L^(3)≧Vp，[L^(3)T^(-3)]≦C^(3)。这意味，最小的能量单元的量纲是[L^(3)T^(0)]*[L^(3)T^(-3)]，大小等价于：Vp*C^(3)。从一维空间的角度来看:

一维空间运动的量纲是：L^(1)*[L^(1)T^(-1)]，

数学表达式：R^(2)=X^(2)+[i*(Vx*t)^(2)];其中, Vx≦C,X≧Lp,t≧tp.

从二维空间的角度来看:

二维空间运动的量纲是：L^(2)*[L^(2)T^(-2)]，

数学表达式：R^(2)=X^(2)+Y^(2) +[i*(Vx*t)^(2)]+[i*(Vy*t)^(2)].

其中, Vx≦C, Vy≦C;X≧Lp,Y≧Lp;t≧tp.

从三维空间的角度来看:

三维空间运动的量纲是：L^(3)*[L^(3)T^(-3)]，

数学表达式：

R^(2)=X^(2)+Y^(2)+Z^(2) +[i*(Vx*t)^(2)]+[i*(Vy*t)^(2)]+[i*(Vz*t)^(2)].

其中, Vx≦C, Vy≦C, Vz≦C;X≧Lp,Y≧Lp, Z≧Lp;t≧tp.

上式:C表达真空中的光速;Lp表达普朗克长度(宇宙中最小的长度).tp表达普朗克时间(宇宙中最小时间.

对于三维空间运动来说:

当一维空间破缺时:

R^(2)=X^(2)+Y^(2)+Z^(2) +[i*(Vx*t)^(2)]+[i*(Vy*t)^(2)].

当二维空间破缺时:

R^(2)=X^(2)+ Y^(2)+Z^(2) +[i*(Vx*t)^(2)].

当三维空间破缺时:

R^(2)=X^(2)+ Y^(2)+Z^(2) .

当三维空间没有破缺时:

R^(2)=X^(2)+Y^(2)+Z^(2) +[i*(Vx*t)^(2)]+[i*(Vy*t)^(2)]+[i*(Vz*t)^(2)].

宇宙的基本量纲是长度（L），及时间（T）.宇宙的物理量(A)都是长度（L）及时间（T）的集合.宇宙的所有属性可用表达式:

dim A = L^(α)*T^(β) .

其中：A是任一物理量. L是长度，通常用“米”.T是时间，通常用“秒” .α和β是量纲指数.

因为，最小的长度（L）是普朗克长度（用L p表达)，是一最基本的物理常数；最小的时间（T）是普朗克时间（用t p表达），也是一最基本的常数；真空中的光速用C表达，量纲是[L^(1)T^(-1)]；可见，L p=C*t p。

这意味着，宇宙中所有的物理常数都可表达为:

dim A = L p^(α)*t p^(β) .

其中：A是任一物理常数. L p是普朗克长度，通常用“米”.t p是普朗克时间，通常用“秒” .而α和β是量纲指数.

也可从三维空间的角度表达为：

dim A = [ L p^(α1)t p^(β1)]*[ L p^(α2)t p^(β2)]*[ L p^(α3)t p^(β3)] .

2能量的对称性破缺

最基本的物理常数只有二个， L p是普朗克长度（最小的长度）；t p是普朗克时间（最短的时间）。例如光真空中的光速C=L p/t p。

从对称性破缺来看，分为四大类：

第一类：对称性没有破缺

光子的对称性没有破缺。光子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*[L^(m3)T^(-n3)],其中m1+m2+m3=6，n1+n2+n3=3。其大小是Hu=Vp*C^(3)，属于波色子。

反光子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*{-[L^(m3)T^(-n3)]},其中m1+m2+m3=6，n1+n2+n3=3。其大小是Hu=Vp*C^(3)，属于波色子。

第二类：一对光子破缺成为一对正负电子；反之，一对正负电子恢复对称性也可成为一对光子；光子（正光子）的量纲是[L^(3)T^(-1)]*{[L^(2)T^(-2)]*[L^(1)T^(0)]}及光子（反光子）的量纲是[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(2)T^(-2)]*[L^(1)T^(0)]}。大小是Hu=V p*C^(3)。

正电子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]*Lp及负电子的量纲是

[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(2)T^(-2)]*Lp。大小是：Hu/Lp.

换个角度来说，电子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*[-Lp],其中m1+m2=5，n1+n2=3。

其大小是Hu/Lp，属于费米子。

正电子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*Lp,其中m1+m2=5，n1+n2=3。

其大小是Hu/Lp，属于费米子。

第三类：一对电子破缺成为一对正负质子；反之，一对正负质子恢复对称性也可成为一对电子。负电子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(2)T^(-2)]}*Lp.其大小是Hu/Lp。

质子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-2)]*Sp及负质子的量纲是

[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(1)T^(-2)]*Sp。大小是：Hu/Sp.

此外，一对正电子破缺成为一对正负质子；反之，一对正负质子恢复对称性也可成为一对正电子。正电子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]*Lp.其大小是Hu/Lp。

质子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-2)]*Sp及负质子的量纲是

[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(1)T^(-2)]*Sp。大小是：Hu/Sp.

换个角度来说，负质子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*[-Sp],其中m1+m2=4，n1+n2=3。

其大小是Hu/Sp，属于费米子。

正质子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*Sp,其中m1+m2=4，n1+n2=3。

其大小是Hu/Sp，属于费米子。

第四类：一对质子破缺可成为中子及反中子（或中微子及反中微子）；反之，中子及反中子（或中微子及反中微子）恢复对称性也可成为一对质子。

质子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(1)T^(-2)]*Sp.其大小是Hu/Sp。

中子的量纲是[L^(2)T^(-1)]*[L^(1)T^(-2)]*Vp及中微子的量纲是

[L^(2)T^(-2)]*[L^(1)T^(-1)]*Vp。大小是：Hu/Vp.

此外，一对负质子也可破缺成中子及反中子（或中微子及反中微子）；反之，中子及反中子（或中微子及反中微子）恢复对称性也可成为一对负质子。

负质子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*{-[L^(1)T^(-2)]}*Sp.其大小是Hu/Sp。

中子的量纲是[L^(2)T^(-1)]*[L^(1)T^(-2)]*Vp及中微子子的量纲是

[L^(2)T^(-2)]*[L^(1)T^(-1)]*Vp。大小是：Hu/Vp.中微子的较易辐射。

换个角度来说，反中子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*[-Vp],其中m1+m2=3，n1+n2=3。

其大小是Hu/Vp，属于费米子。

中子的量纲表达式

为：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*Vp,其中m1+m2=3，n1+n2=3。

其大小是Hu/Vp，属于费米子。

原子的结构是：光子围绕电子运动；电子围绕原子核运动。而原子核中，质子被中子约束。氢原子例外（原子核中不含中子）。

例一：原子中的电子状态由主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（ml）以及自旋磁量子数（ms）所描述；因此，泡利不相容原理又可表达为原子内不可能有两个（或两个以上）的电子具有完全相同的四个量子数n、l、ml、ms。这意味着，当电子状态完全相同时，电子会进一步破缺成质子及反质子；这就是泡利不相容原理的本质。

例二：夸克模型，认为介子是由夸克和反夸克所组成，重子是由三个夸克组成。其实，夸克的本质只是基本粒子的属性。从质子的量纲表达式：[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]*Sp,其中m1+m2=4，n1+n2=3；其大小是Hu/Sp，属于费米子。可知，夸克的量纲是[L^(m1)T^(-n1)]* [L^(m2)T^(-n2)]，其中m1+m2=4，n1+n2=3，只是基本粒子的属性。

此外，从宏观的角度来看，对于任一个惯性体系（N个基本粒子组成）来说，都存在对称性在一维破缺，二维破缺，三维破缺及没有破缺等四种情况。

基本物理常数是物理领域的一些普适常数，最基本的有真空中光速（с），普朗克常数（h）、基本电荷（e）、电子静止质量（m e）及阿伏伽德罗常数（N A）等。基本物理常数共有30

多个，加上其组合则更多；物理常数之间有着深刻的联系。基本物理常数（普适常数）与测量地点、测量时间、所用的测量仪器及材料等均无关联。

对于电子来说，电子的量纲是：电子的量纲是[L^(3)T^(-1)]*[L^(2)T^(-2)]*[-Lp]。大小是：Hu/Lp.电子的量纲等价于：{[L^(3)T^(-1)][L^(0)T^(-1)]}*[L^(2)T^(-1)]*[-Lp]。其中量纲[L^(2)T^(-1)]体现为自旋。电子由于自旋，电子体现了磁北极及磁南极属性。一个电子的磁南极与另一个电子的磁北极，具有引力。电子的磁南极与磁南极（磁北极与磁北极）排斥。可见两个电子可以纠缠。

3空间维度与能量的自由度

在力学里，自由度是指力学系统的独立坐标的个数。力学系统可由一组坐标来描述。例如一个质点在三维空间中运动，在坐标系中，可由x,y,z 三个坐标来描述（在球坐标体系中，可由 a,b,c三个坐标描述）。则N个质点组成的力学系统可由 3N 个坐标来描述。但在力

学系统中，存在着各种约束，从而使得这 3N 个坐标并不是都独立的。这样，对于N 个质点组成的力学系统，假如存在M个完整约束，则系统的自由度是S=3N-M。

力学中的自由度实际上就是能量自由度在宏观上的具体表现。能量的自由度数在本质上是指，表达能量在空间的状态所需独立坐标的数目。

原点具有一个原点自由度（膨胀与收缩），量纲是[L^(3)T^(-1)]；

一个维度对应一个移动自由度（前进与后退），量纲是[L^(1)T^(-1)]；

任意两个维度对应一个旋转自由度（左旋与右旋），量纲是[L^(2)T^(-1)]。

可见，

在一维空间，具有一个移动自由度及一个原点自由度。体现为两个自由度。

在二维空间，具有两个移动自由度，一个旋转自由度及一个原点自由度。体现为四个自由度。在三维空间，具有三个移动自由度，三个旋转自由度及一个原点自由度。体现为七个自由度。在四维空间，具有四个移动自由度，六个旋转自由度及一个原点自由度。体现为十一个自由度。

能量具有各种属性，其自由度数就是能量属性在空间的状态所需独立坐标的数目。也

就是说，能量具有属性的量子数就是能量具有属性的自由度。

例如：

电子就是能量（光子）在三维空间，有一个移动自由度被约束。

质子就是能量（光子）在三维空间，有一个旋转自由度被约束。

中子就是能量（光子）在三维空间，原点自由度被约束。

而光子是由于是能量在三维空间没有破缺。这意味光子在三维空间，具有三个移动自由度，三个旋转自由度及一个原点自由度；体现为七个自由度。

从另一个角度来看，能量的空间自由度类型有：

体现发散属性的自由度有三个，沿X轴方向的运动（含正反方向），沿Y轴方向的运动（含正反方向），沿Z轴方向的运动（含正反方向）。量纲是[L^(1)T^(-1)]。

体现收敛属性的自由度有三个，围绕X轴旋转的运动（含左右旋转），围绕Y轴旋转的运动（含左右旋转），围绕Z轴旋的运动（含左右旋转）。量纲是[L^(2)T^(-1)]。

此外，还有一个体现收缩与膨胀的原点自由度，量纲是[L^(3)T^(-1)]。

自由度计算

第二专题：求自由度（10分） 先注意题目要求：先明确指出下图机构运动简图中的复合铰链、局部自由度、和虚约束，然后计算机构的自由度，并说明该机构具有确定运动的条件。（要求列出计算公式、代入数字、得出结果。每个构件只能有一个构件序号）。 详细的解题步骤请见《学习指导》P18例2—2。 真题一： 解：

3236281L H F n P P =--=?-?-= 真题二： 在图示机构中，若以构件1为主动件，试： (1)计算自由度，说明是否有确定运动。 (2)如要使构件6有确定运动，则可如何修 改？ 说明修改的要点，并用简图表示。 解： (1)滚子5有局部自由度，滚子两侧高副中有一个是虚约束，去掉后n p p =5, H L ,,==61故F n p p =-=?-?-=3-2H L 352612 今只有构件1一个主动件，运动不确定。 (2)修改：把ABCDE 五杆机构改为四杆机构。 真题三： 真题四：

323527L H F n P P =--=?-?= {此为《机械原理》P26原题} 解题注意事项： （1）此类题目多数较为简单，首先必须记住机构自由度公式，其中n 为去除自由度后机构的活动构件数（即不含机架构件），这要与第三专题中求瞬心数目的方法区分开，这里机构总的瞬心数目2(1)2 n n n N C -==这里的的n 为构件数（此时包括机架构件）。 （2）在解题过程中一定注意要按题目要求标注好复合铰链、局部自由度和虚约束，减少不必要的失分。 （3）在说明该机构具有确定运动的条件是可以写：由于此机构的自由度为1，要使得该机构具有确定的运动，需要原动件数也为1。

机械机构自由度计算方法

机构自由度计算方法 机构自由度的计算例子 机 械 原 理 机构自由度的计算是机构的结构分析的重要内容。任何一个机构设计好以后，需要做的第一件事情就是计算机构的自由度。

机构自由度的计算公式是：F=3n-2p l-p h。 公式本身简单，只需要数出活动构件的数目n，低副的数目p l，高副的数目p h,则自由度就很容易计算了。 使用该公式有一个前提，就是要先判断出一些特殊情况：复合铰链，局部自由度和虚约束，在把这些情况都弄清楚后，再用上述公式计算，才可以得到正确的结果。 下面举一个例子，说明机构自由度的计算方法。计算图示机构的自由度，并判断该机构是否具有确定运动。如有复合铰链、局部自由度、虚约束，请直接在题图中标出。 拿到该机构以后，第一步就是找到凸轮M，发现推杆DB尖端有一个滚子，此滚子就是局部自由度。局部自由度几乎永远出现在滚子推杆的凸轮机构中。对于该局部自由度，处理方法是把该滚子B与BD杆焊接在一起，成为一个整体。 接着考察虚约束。虚约束中最常见的就是某一个构件和机架之间有导路重合或者平行的移动副。这里FH构件就在F,G,H三个地方有三个移动副与机架相联，而这三个移动副导

路重合。此时只有一个起作用，其它的就是虚约束。对于虚约束，只保留其中一个，其它的全部拿掉。 最后考虑复合铰链。复合铰链出现在转动副的地方，如果在转动副处有2个以上的构件相联，则该铰链就是复合铰链。从上图可以看出，J点有三个构件IJ,KJ,JL相连，所以J 是复合铰链。对于复合铰链，在计算转动副的数目时，在此处留心即可，注意这里的转动副数目等于相连的构件数目减1. 综上所述，把局部自由度，虚约束，复合铰链表示出来的结果见下图 这样，把滚子B和BD焊接在一起，从而去掉局部自由度；而去掉G，H这两个虚约束；J点有两个转动副。 下面进入公式的计算。 活动构件：齿轮A，齿轮M，连杆IJ,连杆KJ，连杆JL，滑块L，连杆BD(焊接了滚子B)，连杆DE，连杆FH。共计9个。 低副：A, M, I, K, J(2)，L(2), C, D, E, F. 共计12个.{注意，这里L处一个转动副，1个移动副，不能算成复合铰链，所谓铰链是指转动副，复合意味着着多个转动副}高副：齿轮A和齿轮B之间1个，B和凸轮之间1个，共计2个。 则 由于该机构有一个原动件，原动件的数目 = 自由度的数目，所以该机构有确定的运动。

1章机构自由度计算

第1章习题 1-1 绘出图1-7所示的唧筒机构的机构运动简图。 1-2 绘出图1-8所示叶片式油泵的机构运动简图。 1-3 绘出图1-9所示回转柱塞泵的机构运动简图。 1-4 绘出图1-10所示冲床架机构的机构运动简图。 1-5 试判断图1-11、图1-12所示运动链能否成为机构，并说明理由。若不能成为机构，请提出修改办法。 1-6 计算图1-13至图1-20所示各机构的自由度，并指出其中是否含有复合铰链、局部自由度或虚约束，说明计算自由度时应做何处理。 1-7 计算图1-21至图1-26所示各机构的自由度，用低副代替高副，并确定机构所含杆组的数目和级别以及机构的级别。

第1章综合测试题 1-1 填空题及简答题 (1)平面机构中若引入一个高副将带入个约束，而引入一个低副将带

入人约束。 （2）高副低代必须满足的条件是，。 （3）何谓运动链？运动链具备什么条件才具有运动的可能性？具备什么条件才具有运动的确定性？运动链具备什么条件才能成为机构？ （4）何谓机构运动简图？绘制的步骤如何？ （5）机构具有确定运动的条件是什么？ （6）在计算平面机构自由度时应注意哪些事项？ （7）杆给具有什么特点？如何确定杆组的级别？ （8）如果确定机构的级别？选择不同原动件对机构的级别有无影响？ 1-2 画出图1-27所示油泵的机构运动简图，并计算其自由度。 1-3 判别图1-28、图1-29所示运动链能否成为机构，并说明理由。如果有复合铰链、局部自由度或虚约束，需一一指出。 1-4 试用低副代替图1-30所示机构中的高副，并说明高副低代的一般方法。

1-5 图1-31所示为一机构的初拟设计方案，试从机构自由度的概念分析其设计是否会理，并提出修改措施。又问，在此初似设计方案中，是否存在复合铰链、局部自由度和虚约束？ 1-6 计算图1-32所示机构的自由度，并在高副低代后，确定机构所含杆组的数目和级别并判断机构的级别。 第1章习题参考答案 1-5 F=0，机构不能运动 F=0，机构不能运动

空间机构的自由度计算资料讲解

2.5.2空间机构的自由度计算 同平面机构自由度计算公式推导过程一样，空间机构的自由度 = 所有活动构件自由度 - 所有运动副引入的约束数，其公式为: F=6n-5P 5-4P 4 -3P 3 -2P 2 -P 1 式中：n为活动构件数； P 1、P 2 、P 3 、P 4 、P 5 分别为1 ~ 5级运动副的个数。 (a) (b) 图2.5.2-1 图(a)所示为自动驾驶仪操纵装置内的空间四杆机构。活塞2相对气缸运动后通过连杆3使摇杆4作定轴转动。构件1、2组成圆柱副，构件2、3和构件4、1分别组成转动副，构件3、4组成球面副，其运动示意图如图(b)所示。试计算该机构的自由度。 解： n=3， P 5 =2， P 4 =1， P 3 =1 F=6n-5P 5 -4P 4 -3P 3 -2P 2 -P =6×3-5×2-4×1-3×1=1.

图(a)所示为某飞机起落架的收 放机构。构件1为原动件，构件1、2和2、3分别组成3级球副，构件1、4和3、4分别组成5级移动副和转动副，其运动示意图如图(b)所示。试计算该机构的自由度并判断其运动是否确定。 解： n=3， P 5=2， P 3 =2 F=6n-5P 5-4P 4 -3P 3 -2P 2 -P =6×3-5×2-3×2=1. 计算结果表明需要2个原动件机 构的运动才能得以确定。而实际上该机构 在1个原动件的带动下运动就能确定了。 上述问题出现在何处？ (a) (b) 图2.5.2-2 构件2的两端同构件1、3分别组成球副，这样使得构件2可以绕自身轴线转动，而这个转动（自由度）对整个机构的运动没有影响，对比平面凸轮机构中滚子的转动一样，称为局部自由度。

平面机构自由度的计算

平面机构自由度的计算 1、单个自由构件的自由度为 3 如所示，作平面运动的刚体在空间的位置需要三个独立的参 数（x ，y, θ）才能唯一确定。 2、构成运动副构件的自由度 图2—19运动副自由度 运动副 自由度数 约束数 回转副 1（θ） + 2（x ，y ） =3 移动副 1（x ） + 2（y ，θ） =3 高 副 2（x,θ） + 1（y ） =3 构件自由度＝3－约束数 3、平面机构的自由度 1）机构的自由度：机构中活动构件相对于机架所具有的独立运动的数目。 2）.机构自由度计算公式 H P -=L 2P -3n F 式中： n-------活动构件数目（不包含机架） L P -----低副数目（回转副、移动副） H P ------高副数目（点或线接 触的） 例题1： 计算曲柄滑块机构的自由度。 解：活动构件数n=3 低副数 PL=4 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 曲柄滑块机构 =3×3 － 2×4 =1 例题2：计算五杆铰链机构的自由度。 解：活动构件数n=4 低副数 PL=5 高副数 PH=0 H P -=L 2P -3n F 图 五杆铰链机构 =3×4 － 2×4 =2 例题3： 计算凸轮机构的自由度 解：活动构件数n=2 低副数 PL=2 高副数 PH=1 =3×2 －2×2－1 =1 图 运动 副 低副(面接触) 移动副 高副(点或线接触) 约束数为2 约束数为1

凸轮机构 4．机构具有确定运动的条件 原动件的数目＝机构的自由度数F（F＞0或F≥1）。 若原动件数＜自由度数，机构无确定运动； 原动件数＞自由度数，机构在薄弱处损坏。 (a)两个自由度(b)一个自由度 (c)0个自由度 图3-11 不同自由度机构的运动 5．计算机构自由度时应注意的事项 1）复合铰链：两个以上个构件在同一条轴线上形成的转动副。 由m个构件组成的复合铰链，共有(m-1)个转动副。 2）局部自由度：在某些机构中，不影响其他构件运动的自由度称为局部自由度局部自由度处理：将滚子看成与从动杆焊死为一体。 注意：在去除滚子的 同时，回转副也应同 时去除，这就相当于 使机构的自由度数减 少了一个，即消除了 局部自由度。 3）虚约束：重复而不起独立限制作用的约束称为虚约束 计算机构的自由度时，虚约束应除去不计。 几种常见虚约束可以归纳为三类： 第一类虚约束：两构件之间形成多个运动副，它们可以是移动副（图2-17）或转动副（图2-18），这类虚约束的几何条件比较明显，计算自由度的处理也较简单，两个构件之间只按形成一个运动副计算即可。 图3-14 导路重合的虚约束图3-15 轴线重合的虚约束第二类虚约束：机构中两构件上某两点的距离始终保持不变。如用一个附加杆件把这两点铰接，即形成虚约束。这两个点可以是某动点对某固定点的关系（如2-15中的E、F），也可以是两个动点之间的关系。这类虚约束常见于平行四边形机构，计算自由度时应撤去附加杆及其回转副。 第三类虚约束：机构中对运动不起作用的对称部分可产生虚约束（图2-19）。这类虚约束常见于多个行星齿轮的周转轮系，计算自由度时应只保留一个行星轮而撤去所有多余的行星轮及其有关运动副。 最后必须说明，虚约束是人们在工程实际中为改善机构或构件受力状况，在一定条件下所采取的

机构的组成及其自由度的分析计算DOC

一、机构的组成及其自由度的分析计算（共170题） 1.组成机构的要素是和；构件是机构中的单元体。 2.具有、、等三个特征的构件组合体称为机器。 3.机器是由、、所组成的。 4.机器和机构的主要区别在于。 5.从机构结构观点来看，任何机构是由三部分组成。 6.运动副元素是指。 7.构件的自由度是指。 机构的自由度是指。 8.两构件之间以线接触所组成的平面运动副，称为副，它产生个约束，而保留个自由度。 9.机构中的运动副是指。 10.机构具有确定的相对运动条件是原动件数机构的自由度。 11.在平面机构中若引入一个高副将引入___个约束，而引入一个低副将引入____个约束，构件数、约束数与机构自由度的关系是 12.平面运动副的最大约束数为，最小约束数为。 13.当两构件构成运动副后，仍需保证能产生一定的相对运动，故在平面机构中，每个运 动副引入的约束至多为，至少为。

15.计算机机构自由度的目的是_ ____________ _________________。 16.在平面机构中，具有两个约束的运动副是副，具有一个约束的运动副是副。 17.计算平面机构自由度的公式为Ｆ=，应用此公式时应注意判断： (A)铰链，(B)自由度，(C)约束。 18.机构中的复合铰链是指；局部自由度是指；虚约束是指。 19.划分机构的杆组时应先按的杆组级别考虑，机构的级别按杆组中的级别确定。 20.机构运动简图是的简单图形。 31.任何具有确定运动的机构都是由机架加原动件再加自由度为零的杆组组成的。--------------( ) 32.一种相同的机构组成不同的机器。 (A) 可以；(B) 不能 33.机构中的构件是由一个或多个零件所组成，这些零件间产生任何相对运动。(A) 可以；(B)不能 34.有两个平面机构的自由度都等于1，现用一个带有两铰链的运动构件将它们串成一个 平面机构，则其自由 等于。 (A) 0；(B) 1；(C) 2

机构自由度计算a汇总

1、计算图示机构的自由度（如有复合铰链、局部自由度或虚约束，应在图上标出）。图b 中，C 、F 的导路在图示位置相互平行。 答案 (1) 图 a B 、 C 处 为 复 合 铰 链 F n p p =--=?-?=323102142L H (2) 图 b C (或F ) 为 虚 约 束。 F n p p =--=?-?=3234252L H 2、试分析下图所示的系统，计算其自由度，说明是否能运动？若要使其能动，并具有确定运动，应如何办？在计算中，如有复合铰链、局部自由度和虚约束，应说明。图中箭头表示原动件。图b 中各圆为齿轮。 答案 (1) 图a ，滚子B 处有 局 部 自 由 度，E 或F 为 虚 约 束，故 n p p ===341 ,,,L H F n p p =--32L H =?-?-=332410 不 能 运 动， 故 不 是 机 构。 可 增 加 一 个 构 件 和 一 个 低 副， 如 解 答 中 图 a , 这 时 n p p ===451 ,,,L H F n p p =--=?-?-=32342511L H (2)图b ， A 、B 处为复合铰链，D 或E 为 虚 约 束， 故 n p p ===672,,L H

F n p p =--32L H =?-?-=362722 故 可 动， 但 因 只 有 一 个 原 动 件， 所 以 运 动 不 确 定。 修 改 方 法： (a) 可 增 加 一 个 原 动 件， 如 认 为 杆3 亦 为 原 动 件。 (b) 减 少 一 个构 件 和 一 个 低 副， 仍 用 一 个 原 动 件， 如 认 为 杆3 和 轮1 为 一 个 构 件 ( 图 b)， 这 时 n p p ===562,,,L H F n p p =--32L H =?-?-=352621 注： 修 正 办 法 还 有 多 种。 3,计算下列机构的自由度。如有复合铰链、局部自由度和虚约束，必须注明。图b 中两圆为齿轮，导路F 垂直于AE 。 答案 (1) 图a A 处 为 复 合 铰 链。 F n p p =--=?-?-=3231021402L H (2) 图b BC 杆 引 入 虚 约 束， 应 去 除。 11524323H L =-?-?=--=p p n F 4,计算图示机构的自由度。若有复合铰链、局部自由度或虚约束，必须指出。（已

第05章 空间机构的自由度分析

第5章空间机构自由度分析的约束螺旋求解法对机构最基本的认识是要知道它的自由度，机构的自由度计算原本是一个简单的问题，用传统的Kutzbach-Grübler公式[1-3]就可以获得正确的结果，而且仅仅基于算术运算。这个最基本的问 题几乎在所有的教科书上都有论述。 这里为什么还要论及呢？在机构学的发展历程中，发现了不少的机构不符合上述公式[4-5]。这种情况长期来倒还能容忍，到底当时该公式对于绝大多数机构还是适用的，特别是适用于众多的平面机构。但是在近十年来当空间机构研究迅速发展时，问题变得突出起来，传统的大家熟悉的这个公式常常算不出正确的结果，特别是在新世纪开始前后的这十年间，国际机构学界开展了少自由度并联机器人新机构的研究，这个不为人们重视的自由度计算却经常让人们迷惑，用公式常常不能够得到正确的结果。甚至到了新世纪的2002年，美国马里兰大学的Tsai教授在分析他发明一种3自由度并联机构时再次指出，如果用Kutzbach-Grübler公式计算该机构的自由 度数将会得到错误的结果[6]。这样，人们不得不采取其它麻烦的分析方法[7-11]，多花费了很多的时间。究其原因，认识到这是由于在机构中存在过约束（overconstrained）的缘故，约束被重复 计算了。许多人不断寻找新的普遍适用的机构的自由度计算公式，仅举文献[12-13]。人们提出过许多新概念，包括公共约束、虚约束等等。文献[14,15]还建议自由度公式中应采用机构螺旋系的“阶”。在这方面国内也有许多学者进行了有意义的研究，文献[16]以闭合约束数定义公共约束以确定阶，文献[17]以非线性代数方程组的相关性来判定机构的“秩”，然而他却是一个十分困难的求解问题。考虑“过约束”去对Kutzbach-Grübler公式加以修正，关键是如何分析过约 束，到这个新世纪开始，这个问题在国际上一直未能解决。还有一些学者甚至还采取如李代数和群论[18-20]等现代数学来探讨，也取得了一些进展。然而，李代数和群论的应用本身到更加使人感到迷茫，难道处理这种机构学中最基本最常见的问题，非得用这些普通科技人员很难懂的高深的现代数学吗？如果真是那样，将来也是难以推广应用，也不利于科技的发展。确实，自由度分析首先应保证正确，还特别要求尽可能的简单。 本文应用螺旋理论来处理这个问题，表现的比较简单。当黄真在1991年出版的著作[21]中就提出以反螺旋重新定义公共约束，进行了四杆机构的自由度的计算。这样的定义使公共约束有了明确的物理概念，便于计算，而且还方便地确定机构的阶。在1997年出版的专著[22]中进一步集中讨论了机构的自由度计算问题。除了以反螺旋定义公共约束外，特别是研究了在构成并联机构时出现的冗余约束，并分析了许多不同阶的过约束机构。在后来的许多关于少自由度新机型的研究中都应用了这个自由度的判别方法。最后文献[23]又归纳形成完整的“基于约束螺旋的求解自由度的新方法”。这个方法的特点在于它仅仅基于螺旋理论中的最简单部分，具有线性代数基础的科技人员都不难掌握，分析过程又简单、快捷。本章就介绍这种基于约束螺旋求解自由度的新方法。在只需要一只铅笔、一张纸，绝大多数情况下花费几分钟就能得到正确的答案。这种方法对广大的机械工程师将非常适用。本章最后还介绍机构实现确定运动的条件，讨 1 ··

平面机构自由度计算例题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6.

1.构件数n为7,低副p为9,高副pn为1,局部自由度为1,虚约束为0. E处为局部自由度,C处为复合铰链. F=3n-2p-pn=3*7-2*9-1=2（与原动件数目一致,运动确定） 2. B处有复合铰链，有2个转动副。 无局部自由度。 B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0, F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 3.A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 无虚约束。 n=6, PL=8, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 4. 没有复合铰链、局部自由度、虚约束。 n=4, PL=5, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。 运动链有确定运动，因为原动件数= 自由度数。 5. 计算自由度：n=4, P L=6, P H=0, F= 3n-2P L -P H=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 6. F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。 移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。 n=7, PL=9, PH=1, F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。 运动链没有确定运动，因为原动件数< 自由度数。

自由度的概念

6Sigma的学习过程中会接触到大量的统计学的知识点。虽然大学期间学过《概率论与数理统计》以及《统计学》，但有些细枝末节的知识点仍然感到困惑。比如说自由度，很多统计量的计算公式中都有自由度的概念，可为什么同样是计算标准差，总体标准差的自由度是n，而样本标准差的自由度就是n-1？为什么其它公式中的自由度还有n-2、n-3呢？它到底是什么含意？ 翻看了以前的教材以及到网上查阅了大量相关资料，原来，不仅仅是统计学里有自由度的概念呀！下面把有关自由度的问题点简要归纳一下。 理论力学：确定物体的位置所需要的独立坐标数称作物体的自由度，当物体受到某些限制时——自由度减少。一个质点在空间自由运动，它的位置由三个独立坐标就可以确定，所以质点的运动有三个自由度。假如将质点限制在一个平面或一个曲面上运动，它有两个自由度。假如将质点限制在一条直线或一条曲线上运动，它只有一个自由度。刚体在空间的运动既有平动也有转动，其自由度有六个，即三个平动自由度x、y、z和三个转动自由度a、b、q。如果刚体运动存在某些限制条件，自由度会相应减少。 热力学中：分子运动自由度就是决定一个分子在空间的位置所需要的独立坐标数目。 统计学中：在统计模型中，自由度指样本中可以自由变动的变量的个数，当有约束条件时，自由度减少自由度计算公式：自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数，即df = n - k（df自由度，n样本个数，k约束条件个数） 我们当然最关心的还是统计学里面的自由度的概念。这里自由度的概念是怎么来的呢？据说： 一般总体方差(sigma^2)，其实它是衡量所有数据对于中心位置（总体平均）平均差异的概念，所以也称为离散程度，通常表示为sum(Xi-Xbar)^1/2/N ，（有多少个数据就除多少）而样本方差(S^2)，则是利用样本数据所计算出来估计总体变异用的（样本统计量的基本目