2019海淀高三一模数学(文科)试题

2019海淀高三一模数学（文科）试题

2019.4

选择题 （共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1、已知集合{}

30<<∈=x x A R ，{}

42≥∈=x x B R ，则=B A

A. {}

2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<

32<≤x x D. R

2. 设0.5

323, log 2, cos 3

a b c π===，则

A. c b a <<

B. c a b <<

C. a b c <<

D. b c a << 3．函数1

()x f x x

+=

图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)

C. (1,0)

D. (1,1)

4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为

A. 25 B ．24 C. 23 D ．22

5.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为

A ． 29 B. 13 C. 49

D. 5

9

6. 在同一个坐标系中画出函数,sin x

y a y ax ==的部分图象，其中

01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是

7. 已知函数221, 1,

()1, 1,

x ax x f x ax x x ?++≥?=?++

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是

A ．2

2

(1)1x y -+= B ．．2212

x y += C. 2y x = D ．22

1x y -=

非选择题（共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9. 计算2

1i

=+__________________.

10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）

11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.

12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______ 13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .

P

D

C

B

A

1

A 1

D 1

B 1

C 左视

主视

乙

丙

甲

14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题共13分）

在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1

tan 3

C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.

16. （本小题共13分）

数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.

( I )求n S ；

( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.

17. （本小题共13分）

如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 1

2

AD CD AB ==，

且O 为AB 中点.

( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .

C

B

D

B

A

C

D

O

P

18. （本小题共14分）

已知函数1

()ln (0,)f x a x a a x

=

+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；

(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.

19. （本小题共14分）

已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为1

2

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.

20. （本小题共13分）

已知每项均是正整数的数列123100,,,

,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，

设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =++

+-(1,2,3).m =

（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.

答案及评分参考 2019．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）

解：（I ）因为1tan 2B =

，1tan 3

C =,tan tan tan()1tan tan B C

B C B C ++=

- …………………3分 代入得到，1123tan()111123

B C +

+==-?. …………………6分

（II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C

=-+=-+=- …………………9分 又0180A <

<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =

>，且0180C <<，所以sin C =

， …………………11分 由sin sin a c A C

=，得a =. …………………13分

16. （共13分）

解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==?, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212

n

n a a S n n n +=

?=+ ，*N n ∈ …………………6分

（II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立

所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则

23

12

3b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，

其通项公式为1

23n n b -=? . ………………13分

17. （共13分）

证明: (I) 因为O 为AB 中点，

所以1

,2

BO AB =

…………………1分 又//,AB CD 12

CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分

所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分

又DO ?平面,POD BC ?平面,POD

所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC .

因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，

所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，

所以PO AB ⊥ ， …………………8 分

又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD

平面PAB AB = ，

所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ?平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO

DO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分

又PD ?平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分

B A

C D

O P

B

A

C

D O P

18. （共14分）

解：（I ）因为2211

'()a ax f x x x x -=-+=

， …………………2分 当1a =， 21

'()x f x x

-= ，

令'()0f x =，得 1x =，

…………………3分

又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '()f x x

所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分

()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分

（II ）解法一：

因为22

11

'()a ax f x x x x -=-

+=

，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1

x a

= ，

若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，

其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当1

0x a

=

<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减，

故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11

()ln f e a e a e e =

+=+， 由10a e +<，得1

a e <-，即1(,)a e

∈-∞- …………………9分 （2）当1

0x a =>，即0a >时，

① 若1

e a

≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，

所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11

()ln 0f e a e a e e

=+=+>，

显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e

<

<，即1

a >时，则有

所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln

f a a a a

=+， 由11

()ln

(1ln )0f a a a a a a

=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)

(,)a e e

∈-∞-+∞符合题意. …………………14分

解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即

00

1

ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可

因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1

x e

= …………………

9分 1

因为(0,)x e

∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1

a

e <-，即1(,)a e

∈-∞- …………………11分

所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln

1a g a e e e e

=+?=-， 由10a

e

-

<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1

(,)(,)a e e

∈-∞-+∞ . …………………14分

19. （共14分）

解：（Ⅰ）由已知，222

2

14

a b e a -==，所以22

34a b =， ① …………………1分 又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以22

1914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得2

2

4,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，

则由22

,

1.4

3y kx m x y

=+??

?+=?

? 消去y 得，2

2

2

(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+->， ③…………7分 设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、

、，则： 0120121222

86,()23434km m

x x x y y y k x x m k k =+=-

=+=++=++，

…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以22

00

143x y +=

. ……… 9分 从而222

2222

16121(34)(34)

k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：

2

d===≥=

………11分

当且仅当0

k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，

从而P点为(2,0),(2,0)

-，直线l为1

x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分所以点O到直线l

的距离最小值为

2

……14分

20.（共13分）

解: (I)因为数列12

40,30,

k k

==

3

20,

k=

4

10

k=，

所以1234

40,70,90,100

b b b b

====，

所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100

g g g g

=-=-=-=-. …………………3分

(II) 一方面，

1

(1)()100

m

g m g m b

+

+-=-，

根据j b的含义知1100

m

b

+

≤，

故0

)

(

)1

(≤

-

+m

g

m

g，即)1

(

)

(+

≥m

g

m

g

，①…………………5分

当且仅当

1

100

m

b

+

=时取等号.

因为123100

,,,,

a a a a中最大的项为50，所以当50

m≥时必有100

m

b=，

所以(1)(2)(49)(50)(51)

g g g g g

>>>===

即当149

m

<<时，有()(1)

g m g m

>+；当49

m≥时，有()(1)

g m g m

=+ .

…………………7分

（III）设M为{}

12100

,,,

a a a中的最大值.

由（II）可以知道，()

g m的最小值为()

g M. 下面计算()

g M的值.

123

()100

M

g M b b b b M

=++++-

1231

(100)(100)(100)(100)

M

b b b b

-

=-+-+-++-

233445

()()()()

M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23

[2(1)]

M

k k M k

=-+++-

12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++

123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100

a a a a =-+++

++，

∵123100200a a a a +++

+= ， ∴()100g M =-，

∴()g m 最小值为100-. …………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.