龙文教育一对一讲义
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课 题 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
学习目标与分析
1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念
2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式
学习重点
1.正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号;会利用单位圆求三角函数值;
2.掌握诱导公式,包括推导、记忆、应用(求值、化简等);
学习方法
理解记忆法
学习内容与过程
教师分析与批改
1、单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆。
单位长:可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义
在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),则交点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数,记作v=sin α; 点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α.
通常,用x 表示自变量,用x 表示角的大小,用y 表示函数值,因此 定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ,值域为[-1,1]。 设点P (a,b )是角α终边上除原点之外的任意一点,记22r a b =+ 则定义sin ,cos .b a
r r
αα=
=更具有一般性。 3、三角函数值的符号
根据定义,三角函数值的符号仅与点P 的纵、横坐标的符号有关。sin α在一、二象限为正,三、四象限为负;cos α在一、四象限为正,二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。
4、单位圆与周期性
在单位圆中找到角
,2,46
6
6
α
α
α
ππ+
+
等与单位圆的交点,说明:(1)终边没变;(2)交
点没变;(3)交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变,余弦函数值没变。即
sin(4)sin(2)sin
,cos(4)cos(2)cos
.6
6
6
6
6
6
α
α
α
α
α
α
ππππ+
=+
=+
=+
=
从而说明终边相同的角的正弦函数值相等,终边相同的角的余弦函数值相等。即
sin(2)sin ,.cos(2)cos ,.k x x k Z k x x k Z ππ+=∈+=∈
说明:对于任意一个角x ,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变。所
以,正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出,周期性不是三角函数特有的,一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。2π是sin ,y x x R =∈的周期,则2,,0k k Z k π∈≠都是
x
y
P(a,b)
α O
是cos ,y x x R =∈的最小正周期。有的周期函数没有最小正周期,如()2,.f x x R =∈任意一个正数都是它的周期,但没有一个最小的正数。
周期函数的严格定义:一般地,对于函数()f x ,如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值,都有()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数,T 为它的一个周期。 5.诱导公式
1、角α与α-的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=
2、角α与απ±的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .
sin()sin ,cos()cos .
απααπααπααπα+=-+=--=--=-
3、角α与πα-的正、余弦函数关系
sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-
也可以由1、2两组公式推出
sin()sin()(sin )sin ,
cos()cos()cos .
πααπααπααπα-=--=--=-=-=-
4、角α与
2
π
α+的正、余弦函数关系
sin()cos ,cos()sin .22ππ
αααα+=+=-
5、角α与2π
α-的正、余弦函数关系
sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα-=-=
6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式 (1)2k πα+
sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈
(2)α-
sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=
(3)2πα-
sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--=
(4)πα±
sin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=- sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=-
x y
o P (x ,y )
P 1 (-x ,-y )
x
y
o
P (x ,y )
P 1 (x ,-y )
P 2 (-x ,y )
P (x ,y )
M
x
y
o
P 1 (-y , x )
M 1 P (x ,y )
y M x
o
P 1 (y , x )
M 1
y =x
(5)
2
π
α±
sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα+=+=-
sin()cos ,cos()sin .22ππ
αααα-=-= (6) 32π
α± 33sin()cos ,cos()sin .22ππ
αααα+=-+=
33sin()cos ,cos()sin .22
ππ
αααα-=--=-
2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律:“函数名不变,符号看象限”。即
它们的正、余弦函数值等于α的同名三角函数值,加上把α看成为锐角时,对应的三角函数值的符号。如把α看成锐角时,2πα-终边在第四象限,其余弦值为正,函数名称不变,所以cos(2)cos παα-=
2
π
α±,
32
π
α± 记忆规律:“函数名改变,符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等于α 的“余”名三角函数值,加上把α看成为锐角时,对应的三角函数值的符号。“余”名:“正则余,余则正”。如把α看成锐角时,2
π
α+终边在第二象限,其余弦值为负,函数名称改变,
所以cos(
)sin 2
π
αα+=-。
7、诱导公式的作用
(1)可把任意角的三角函数值转化为0~
2
π
的三角函数值求出。一般地:负角
化正角(α-),再化成为0~2π(2k πα+),再化成为0~2
π
求出。第二象限用πα-,第
三象限用πα+,第四象限用2.πα-
角
函数
2k πα+ πα+
α- πα-
2
π
α-
2
π
α+
正弦 sin α sin α- sin α- sin α cos α cos α
余弦 cos α
cos α-
cos α
cos α-
sin α
sin α-
正切
tan α tan α tan α- tan α-
/
/
六组诱导公式统一为“
()2
k k Z π
α±∈”
, 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. .
5.同角三角函数基本关系:
22sin cos 1αα+=(平方和关系);
sin tan cos α
αα
=
(商数关系). 1、下列各式不正确的是 ( )
A . sin (α+180°)=-sin α
B .cos (-α+β)=-cos (α-β)
C . sin (-α-360°)=-sin α
D .cos (-α-β)=cos (α+β) 2、若sin (π+α)+sin (-α)=-m ,则sin (3π+α)+2sin (2π-α)等于( ) A .-23 m B .-32 m C .23 m D .3
2 m
3、???
??-
π619sin 的值等于( ) A .
2
1
B . 2
1-
C .
2
3 D . 2
3-
4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 ( )
A .)(]22
,
22
[Z k k k ∈++-ππ
ππ
B .)()22
3
,22(
Z k k k ∈++ππππ
C .)(]22
3
,22[
Z k k k ∈++ππππ
D .)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ
5.已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为( )
A .5
B .-5
C .6
D .-6
6、sin
34π·cos 6
25π·tan 45π的值是( )
A .-43
B .4
3
C .-43
D .
4
3
7.设,1234
tan a =?那么)206cos()206sin(?-+?-的值为( ) ( )
A .
2
11a
a ++ B .-
2
11a
a ++ C .
2
11a
a +-
D .
2
11a
a +-
8.若)cos()2
sin(απαπ
-=+,则α的取值集合为( )
( )
A .}4
2|{Z k k ∈+=π
παα B .}4
2|{Z k k ∈-=π
παα
C .}|{Z k k ∈=παα
D .}2
|{Z k k ∈+
=π
παα
9.求值:sin160°cos160°(tan340°+cot340°)= .
10.若sin (125°-α)= 12
13
,则sin (α+55°)=
.
11.cos π7 +cos 2π7 +cos 3π7 +cos 4π7 +cos 5π7 +cos 6π
7 = .
12.已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .
13、已知 3)tan(=+απ, 求)
2sin()cos(4)
sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值.
14、若cos α=23
,α是第四象限角,求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+--------的值.
15、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π=?-+≥?和1cos ,()2
()1(1)1,()
2
x x g x g x x π?
?=??-+≥??
求)4
3()65()31()41(f g f g +++的值.
16.设)(x f 满足)2
|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π
≤
?=+-x x
x x f x f ,
(1) 求)(x f 的表达式;(2)求)(x f 的最大值.
《诱导公式》参考答案
一、选择题 ABAC BABC
二、填空题
9.1.
10、
13
12.
11、0.
12、0
三、解答题
13、7.
14、
2
5.
15、22)41(=
g , 5312()1,()sin()1,6233
g f π=+=-+ 1)4
sin()43(+-=π
f , 故原式=3.
16、解析:(1)由已知等式
(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=? ①
得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由3?①-②,得8x x x f cos sin 16)(sin ?=,
故212)(x x x f -=.
(2)对01x ≤≤,将函数212)(x x x f -=的解析式变形,得
2242()2(1)2f x x x x x =-=-+=2211
2()24
x --+,
当2
2
x =
时,max 1.f =
正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中,正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的,正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式,供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:a.已知两角 和任一边,求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.(2)正弦定 理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便
三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A
6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。依据: ①边的关系:2 22c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注 意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos (α+β)=cosαcosβ-s inαsinβ cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α
三角函数定义及三角函数公式大全 一:初中三角函数公式及其定理 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B ): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
α cos1 2 3 2 2 2 10α tan0 3 313—α cot-31 3 30 当0°≤α≤90°时,sinα随α的增大而增大,cosα随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α〈90°时,tanα随α的增大而增大,cotα随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知 的边和角。 依据:①边的关系:2 2 2c b a= +;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即 h i l =.坡度一般写成1:m的形式,如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α ==. 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角.如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。 : i h l = h l α
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)
三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA 的值为 2.已知α为锐角,且,则α的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是() A.75° B.90° C.105° D.120° 4.若∠A为锐角,且,则A=() A.15° B.30° C.45° D.60° 5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点, EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。)sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α 2tanα tan2α=————— 1-tan^2α sin3α=3sinα-4sin^3α
正弦余弦公式总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 (第课时) 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点:1.任意角三角函数的定义;2.同角三角函数关系式;3.诱导公式。 难点:1.正确选用三角函数关系式和诱导公式;2.公式的理解和应用。 2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;3.掌握同角三角函数的基本关系式;4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的,射线旋转开始的位置叫做角的始边,旋转终止的位置叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2.弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意:1sin 表示1弧度角的正弦,2sin 表示2弧度角的正弦,它们与?1sin 、?2sin 不是
一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α,则 r l = α (l 为这角所对的弧长,r 为半径)。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的,这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度,1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ,扇形面积为S ,圆心角大小为α弧度,半径为r , 则 αr l = ,α22 1 21r lr S == 。 3.角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角(始边也相同),则 αβ+??=360k (也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈) 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<+??3036060360k k α(也可记为3262π παπ π+ <<+ k k Z k ∈)。 ⑶ 象限角 以角的顶点为原点,以其始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则角的终边落在第几象限,这个角就叫做第几象限的角。 例.已知x 在第二象限,问2 x 在哪一象限? 解:∵ πππ π+<<+ k x k 222 ,∴ 2 24π ππ π+<< + k x k , 当k 为偶数时,2x 在第一象限;当k 为奇数时,2 x 在第三象限。 点评:第一二象限角的半角在第一或第三象限,第三四象限角的半角在第二或第四象限,记 住这一结论,可提高解题速度。 例.ABC ?中,已知178cos = A ,5 3 sin =B ,(A 、B 是锐角,)求C 角。 分析:A 、B 是锐角,故C 角可能是锐角,也可能是钝角。显然,如果想通过C sin 去求C 角是无法确定C 角是锐角还是钝角的。所以应该求C cos 。 解:1529.05 3 17554178)cos()](180cos[ cos ≈?+?-=+-=+-?=B A B A C , 显然,C 角在第一象限,约为2181'? 。 点评:如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限,需要选择适当名称的三