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14初中数学八年级下册勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解

初中数学八年级下册

勾股定理全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222

a b c +=）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a b c 、、，满足222

a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；

（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的应用

1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．

【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．

【答案与解析】

解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，

∴ CH ＝BC －BH ＝853555-= DH ＝AB ＝105，

在Rt △CDH 中，22222(105)(55)625CD DH CH =+=+=，

∴ CD ＝25，

∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形

111()222AD BC AB AD AE BC BE =+-- 111(3585)10535458565125222

=?+?-??-??= 又∵ 12

CDE S DC EF =△， ∴ 1251252EF ?=，∴ EF ＝10．【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．

【答案】

解：在△ABD 中，由222

12513+=可知： 222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．

在Rt △ADC 中，222215129DC AC AD =-=-=．

类型二、勾股定理与其他知识结合应用

2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角

形，利用勾股定理可解决．

【答案与解析】

解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知

道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：

在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．

∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．

由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．

最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，

∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，

∴ 由勾股定理得22222

8006001000000GB GH BH =+=+=．

∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．

【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．

举一反三：

【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．

【答案】

解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．

∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，

∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=

．

∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．

3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：线段AE,BF,EF 之间的数量关系.

【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．

【答案与解析】

解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：

将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，

即△ACF ′≌△BCF ，

∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，

∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．

∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．

∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．

在△ECF 和△ECF ′中：

45CE CE ECF ECF CF CF =??'∠=∠=??'=?

∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．

在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，

∴ 222AE BF EF +=．

【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．

4、（2014?顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c

2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC

的形状（按角分类）．

（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形．

（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

【思路点拨】

（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；

（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．

【答案与解析】

解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，

∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；

当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：锐角；钝角；

（2）∵c为最长边，2+4=6，

∴4≤c＜6，

a2+b2=22+42=20，

①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，

∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，

∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，

∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．

类型三、本章中的数学思想方法

1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.

【答案与解析】

解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．

又因为 AD为△ABC的中线，

所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．

且∠BAD＝∠C＝45°．

因为∠EDA＋∠ADF＝90°．

又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．

所以∠EDA＝∠CDF．

所以△AED≌△CFD（ASA）．

所以 AE＝FC＝5．

同理：AF＝BE＝12．

在Rt△AEF中，由勾股定理得：

，所以EF＝13.

【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.

举一反三：

【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，

求证：

【答案】

解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．

由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．

∵ BD＝DE，∠BDE＝60°

∴△BDE为等边三角形，BE＝BD

易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB

∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°

∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°

∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°

∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°

∴

2.方程的思想方法

6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.

【答案与解析】

解：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝30°，

则，由勾股定理，得.

因为，所以，，，.

【总结升华】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

举一反三：

【变式1】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积.

【答案】

解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：

由（1）得：7x y +=，

∴()2

49x y +=，即22249x xy y ++= (3) (3)－(2)，得：12xy =

∴直角三角形的面积是12xy ＝12

×12＝6（2cm ）【变式2】（2014春?防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？

【答案】

解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，

∵周长为36cm，

AB+BC+AC=36cm，

∴3x+4x+5x=36，

得x=3，

∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，

∵AB2+BC2=AC2，

∴△ABC是直角三角形，

过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．

故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．

八年级上华东师大版第十四章勾股定理复习教案

第十四章勾股定理回顾与思考教学目标 1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。 2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。 3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法：启发式教育教学过程一、回顾与思考 1．直角三角形的边存在着什么关系？ 2．直角三角形的角存在着什么关系？ 3．直角三角形还有哪些性质？ 4．如何判断一个三角形是直角三角形？ 5．你知道勾股定理的历史吗？一、讲例问题：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？（留几分钟的时间给学生思考）分析：1、求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ 2、如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m 至C ，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD 的长？解：根据勾股定理，在Rt △OAB 中，AB=3m ，OA=2.5m ，OB 2 =AB 2 -OA 2 = 32 -2.52 =2.75。 ∴OB ≈1.658m ；在Rt △OCD 中，OC=OA-AC=2m ，CD=AB=3m ，OD 2 =CD 2 -OC 2 = 32 2 。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m

∴如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.58m 。例2 议一议P19 拼图与勾股定理观察图 2 验证：c 2 ＝a 2 ＋b 2 证明：大正方形面积可表示为c 2 ，也可以表示为2 1ab ·4＋（b —a ）2 所以c 2 ＝ 2 1ab ·4＋（b —a ）2 ＝2ab ＋b 2 －2ab ＋a 2 ＝a 2 ＋b 2 故c 2 ＝a 2 十b 2 例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD ＝4，AB ＝3，DB ＝5，DC ＝12，BC ＝13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在△ABC 中，AB 2 ＋AD 2 ＝32 ＋42 ＝9＋16＝25＝BD 2 所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90° 在△DBC 中，BD 2 ＋DC 2 ＝52 ＋122 ＝25＋144＝169＝132 ＝BC 2 所以△DBC 是直角三角形，∠CDB ＝90° 因此这个零件符合要求。二、随堂练习一、判断题。 1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）二、填空题。 1．已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形是 2．△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，以BC 为边的正方形面积为 3．三条线段m 、n 、p 满足m 2 一 n 2 ＝ p 2 ，以这三条线段为边组成的三角形为三、选择题。 B A 3 4

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

14勾股定理

第14章勾股定理 §14.1勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树 §14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”

第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图． §14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

的面积之和等于大正方形的面积．即 AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1 这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；

（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2 正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．

（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3 概括数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.docsj.com/doc/c58006607.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.docsj.com/doc/c58006607.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A