数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
例1、已知函数表
求()
f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：
（1）由题可知
插值基函数分别为
故所求二次拉格朗日插值多项式为
（2）一阶均差、二阶均差分别为
均差表为
故所求Newton 二次插值多项式为
例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}
span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：
若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为
011231261192
34a a ??????????=??????????
??????????
，经过消元得012311
62110123a a ???
???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011
6
a =
故，所求最佳平方逼近多项式为*
111
()46
S x x =
+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳
平方逼近多项式。
解：
若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为
解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为
例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解：
（1）用4n =的复合梯形公式
由于
2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式
由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1
2
220,1,2,3k x
k k +
=+=，所以，有
例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元
再回代，得到33x =，22x =，11x =
所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设
则由A LU =的对应元素相等，有
1114u =
，1215u =，131
6
u =， 2111211433l u l =?=，3111311
22
l u l =?=，
2112222211460l u u u +=
?=-，2113232311
545
l u u u +=?=-， 3112322232136l u l u l +=?=-，31133223333313
215
l u l u u u ++=?=
因此，
解Ly b =，即12310
094
108382361y y y ??
????
???????
?=????????????????-?
?，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即1
231
1
14569110
46045
1541300
15x x x ??
???????
????
???--=-??????????-???????????
?
，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =-
所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-
１、若A 是n n ?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯
一成立。 （ ）
２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）
3、形如
)
()(1
i n
i i b
a x f A dx x f ∑?=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的
次数为12+n 。 （ ）
４、矩阵
??
??? ??=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ） 5、设
??
??? ??=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。（用∞
?） （ ）
6、设n
n R
A ?∈，n
n R
Q ?∈，且有I Q Q T
=（单位阵），则有22QA A =。
（ ）
7、区间[]b a,上关于权函数)(x
W的直交多项式是存在的，且唯一。（）
1、（Ⅹ）
2、（∨）
3、（Ⅹ）
4、（∨）
5、
（Ⅹ） 6、（∨）7、（Ⅹ） 8、（Ⅹ）
一、判断题（10×1′）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求
解。( × )
2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
( ? )
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
( × )
4、样条插值一种分段插值。
( ? )
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
( ? )
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截
断误差及舍入误差。
( ? )
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。
( × )
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最
后一步迭代计算的舍入误差。
( × )
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原
则是截断误差＝舍入误差。
( ? )
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
( × )
1.用计算机求1000
1000
1
1
n
n
=
∑时，应按照n从小到大的顺序相加。
（）
2.为了减少误差,
进行计算。
（对）
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（）
4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演
变方式有关，与常数项无关。 （ ）
复习试题
一、填空题：
1、
?????
?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ???
?????????=?
??????????
?。
答案：
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25
3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数
为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限
为( 1
2+-n a b )；
10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为
( 0.15 )；
11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f )，代数
精度为( 5 )；
12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式
均不为零)。
13、 为了使计算 32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
19992001-改写为 199920012
+ 。
14、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在
区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为
0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?
????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1
k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121
。
17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
18、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，
具有( 12+n )次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
20、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。
21、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分
（ 10 ）次。
23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)(( 1 )，∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x )，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。
26、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11
。
27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。
29、若用复化梯形公式计算?1
dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至
少用 477个求积节点。
30、写出求解方程组??
?=+-=+24.01
6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为
????
??--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。
31、设
A =?? ?
??
5443,则=∞A 9 。
32、设矩阵482257136A ????=??
????的A LU =，则U =
4820161002U ??????=??
??-???? 。 33、若4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。
34、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。
35、 线性方程组121015112103x ????
????????=?????
???????的最小二乘解为 11?? ??? 。
36、设矩阵
321204135A ????=??
????分解为A LU =，则U = 32141003321002??
????
??-??????
?
? 。 二、单项选择题：
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)( 2、设 ?? ??? ?????--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A ． 2 B ．5 C ． 3 D ． 4 4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。 A ． 对称阵 B ． 正定矩阵 C ． 任意阵 D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。 A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算 9、用1+3x 近似表示3 1x 所产生的误差是( D )误差。 A ． 舍入 B ． 观测 C ． 模型 D ． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则 f(x)=0的根是( B )。 (A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组??? ??-=+--=-+-=+-1 340921433 21321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择主元为 ( A ) 。 (A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)， (B) )!1() ()()()()1(+= -=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)， (D) ) ()!1() ()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ 17、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列 {xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。 19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形 式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。 (A)1 1:,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B) 21211:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C)3 /12123) 1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D) 11:,12 2 1 2 3+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是 （ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 22、在牛顿-柯特斯求积公式： ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数)(n i C 是负值 时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 23、有下列数表 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 25 、取1732.≈ 计算4 1)x =，下列方法中哪种最好？（ ） (A)28- (B)24(-； (C ； 。 27、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ） (A)5； (B)4； (C) 3； (D ) 2。 28、形如112233()()()() b a f x dx A f x A f x A f x ≈++? 的高斯（Gauss ）型求积公式的代数 精度为（ ） (A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。 29Newton 迭代格式为( ) (A) 132k k k x x x += +；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。 30、用二分法求方程32 4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为 3 1 102ε-=?，则对分次数至少为( ) (A )10； (B)12； (C)8； (D)9。 32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则 9 ()i k kl k == ∑( ) (A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。 35、已知方程3 250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是 ( ) (A)1k x += (B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D) 3 1225 32k k k x x x ++=-。 36、由下列数据 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 37、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B )9； (C)10； (D)11。 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?） 1、 已知观察值)210()(m i y x i i ，，，， ， =,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( ) 2、 用1-22 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 3、 ))(() )((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ? ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的 结果。 ( ? ) 5、矩阵A =? ???? ? ?-521352113具有严格对角占优。 ( ) 四、计算题：