平方根与立方根及实数知识点总结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作
“
（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平
。
2、立方根：
⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作
（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3
有意义的条
件是a≥0。
4、公式：⑴
2=a（a≥0）
=a取任
何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3
(-；（3）
49
15
1；⑷
2
1
(3)
-
例2 求下列各式的值
（1）81
±；（2）16
-；（3）
25
9
；（4）2)4
(-.（5）44
.1，（6）36
-，（7）
49
25
±（8）2)
25
(-
例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343；⑵
10
2
27
-；⑶
二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.
例4、若,6
2
2=
-
-
-
-y
x
x求y x的立方根.
练习：已知,2
1
2
2
1+
-
+
-
=x
x
y求y x的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0
)
(
)
(=
-
+
+a
a
例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.
练习：若3
2+
a和12
-
a是数m的平方根，求m的值.
四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3
=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话
说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
2
3(2)0y z -++=，求xyz 的值。
②已知互为相反数，求a ，b 的值。 六、实数
1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：
①按属性分类： ②按符号分类
2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算． 3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、 等． 思考：（1）－a 2
一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两 个整数之间？
(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
(4)实数包括____________或__________________；
(5)
下列各数：
3
，π，0.28，0
，3.14159，
0.121121112L
，，
22
7
．其中无理数有（ ）个 七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较
2
3
和3的大小
二、移动因式法 比较32和23的大小
三、求差法 比较2
1
5-和1的大小
四、求商法 比较53
4
和11的大小
练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和54
3；
④7-和－。
八、解答题（每题4分，共8分） 1、当2
1
≤a 时，化简|12|4412-++-a a a
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2)1(+-b a