第七章习题解答
习 题 七
1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：
(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；
(2) 在向量空间R 3
中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(2
33221x x x x ＋；
(3) 在向量空间R 3
中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ. 解 （1）当0=α时，σ是线性变换；
当0≠α时，σ不是线性变换； （2）σ不是线性变换； （3）σ是线性变换； （4）σ不是线性变换；
2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有
σ (ξ)＝a ξ .
证明：充分性显然.
必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么
)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则
ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.
3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σ
k －1
ξ (k >0)线性无关.
证明: 令
++σξξ10l l ┄ +0
1
1=--ξσ
k k l ┈┈┈┈(1)
(1)式两端用1
-k σ
作用得:
++-ξσξσ
k
k l l 11
0+02
21=--ξσ
k k l
由已知得: ==+ξσξσ1
k k
=,02
2=-ξσ
k 01
≠-ξσ
k ,所以有
00=l .则(1)式变为: +σξ1l +01
1=--ξσ
k k l ┈┈┈┈(2)
(2)式两端用2-k σ 作用得:
ξσξσ
k
k l l 21
1+-+03
21=--ξσ
k k l
同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.
证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-
=
-+=-=-)()()()())((())(('
'
'
x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .
所以στ －τσ＝ι.
5. 在向量空间R 3
中，线性变换σ, τ如下：
σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)
τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)
(1) 求στ, τσ, σ2
；
(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.
解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ
,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.
)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212
x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ
=2
.
(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+
),,2(32321x x x x x -+=.
),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-
),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-
=)22,,(321232x x x x x x -++-.
2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.
6. 已知向量空间R 3
的线性变换σ为
σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3) 证明，σ是可逆变换，并求σ－1.
证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.
∴ σ关于3
R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:
????
? ?
?-=10
0110
111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且????
? ?
?--=-10
0110011
1
A
所以-=????
?
??=--13211
3211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.
7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,
（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；
（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.2
2
)()()(ρσ
σσρρσσσρσρσ====.
(2)同理可证.
8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.
证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当
且仅当σ把非零向量变为非零向量.
9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令
++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.
两端用1
-σ
作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性
无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.
10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,
ε2, ε3}下的矩阵为
A ＝????
?
??3332
312322
21131211a a a
a a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵；
(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0，k ∈F )；
(3) 求σ在{ε1, ε1＋ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)????
?
??=2223
21323331
121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)?????
?
?
?=33
32
31
23222113
121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+
????
?
?
?++---+-?33
32
313123222121231322
2112112111a a a a
a a a a a a a a a a a a
11. 在R 3
中定义线性变换σ如下
σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 2＋x 3, x 1－4x 2, 3x 1)，?(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)下的矩阵；
(2) 利用(1)中结论，求σ在基α1＝(1, 1, 1)，α2＝(1, 1, 0)，α3＝(1, 0, 0)
下的矩阵.
解:(1) ????
?
?
?-=00
3041
120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为???
?
?
?
?=00
1011
111
P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:
????
?
??????? ??-????? ?
?--=?????? ?
?-?-00
1
011111
00
3
041
120
01
1110
10000
3041
1201
P P =????
? ?
?---15
6266333
. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ，τ如下
σ (X )＝X ????
??-11
11, τ (X )＝???
?
?
?-0201
X , ?X ∈M 2(F ). 试求σ＋τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:???
?
?
?-=???? ??-+???? ?
?-=+0212
02
0111
11
)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.
???
?
?
?-=???? ??-+???? ?
?-=+2001
02
0111
11
)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.
???
?
?
?=???? ??-+???? ?
?-=+1100
02
0111
11
)(212121E E E τσ
=121100E E +2221E E ++.
???
?
?
?-=???? ??-+???? ?
?-=+100
02
0111
11
)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.
所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为
????
??
?
?
?---=11
2
0110200010012
A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.
121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为：
????
??
?
?
?--=11
0110000110011
B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:
?????????
? ?
?--=-212
10
021*******
121002121
1
B
. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.
13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间，并且
V ＝W 1⊕W 2
证明，σ是可逆变换的充要条件是
V ＝σ ( W 1)⊕σ ( W 2)
证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.
必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但
=)(1W σ￡( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ￡( )(1+r ασ,)(n ασ)
所以=ν+)(1W σ)(2W σ,?)(1W σ}0{)(2=W σ,故V ＝σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).
充分性:将必要性的过程倒过去即可.
14. 设R 3
的线性变换σ定义如下：
σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 1－x 2, x 2－x 3, x 2＋x 3)
求σ在基
ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1) 及基
η1＝(1, 1, 0), η2＝(0, 1, 1),η3＝(0, 0, 1)
下的矩阵.
解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:????
?
?
?--=11
0110
012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:
????? ??????? ?
?--????
? ?
?=-11
011
00111
0110012
11
0011
001
1
B =????
?
??--21
1
110
011
. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为
σ (X )＝???
?
??-3210X ， ?X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵，其中
E 11＝????
??0001, E 12＝???? ??0010, E 21＝???? ??0100
, E 22＝???
?
??1000
. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为
??
??
?
?
?
?
?--=30200302100001
A . 16. 证明，与n 维向量空间V
的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.
证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基
α1＝(1, 0, 1), α2＝(2, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；
和 β1＝(1, 2,－1), β2＝(2, 2, －1), β3＝(2, －1, －1). σ是R 3的线性变换，且σ(αi )＝βi ，i ＝1, 2,3. 求
(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵； (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵； (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.
解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,
ε3, ε2}的过渡矩阵为:1
10
1110
121-???
?
?
?
?. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:????
? ?
?10
1110
221
. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:
???
?? ?
?----?????
? ?
?---=-11
1122221
11
1110
1211
P =????
???
? ?
?--
-252
112323
1
2323
2 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在)
,,(321ααα
下的矩阵为:
????
???
? ?
?---252
112323
123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ????
???
? ?
?---252
112323
123232 18. 设α1＝(－1, 0, －2), α2＝(0, 1, 2), α3＝(1, 2, 5)，β1＝(－1, 1, 0), β2
＝(1, 0, 1), β3＝(0, 1, 2)，ξ＝(0, 3, 5)是R 3中的向量，σ是R 3的线性变换，并且σ(α1)＝(2, 0, －1), σ(α2)＝(0, 0, 1),σ(α3)＝(0, 1, 2).
(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵； (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标； (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令????
?
?
?--=52
2210
1011T ,???
?
?
??-=21
0101
1112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:
????
?
?
?-=????? ?
?----=?=-01
0121
00112
2234
121
221
1T T T T . 又
32113
53
103
11)1,0,2()(αααασ-
+
-
=-=
321203
23
1)1,0,0()(αααασ+-=
=
321300)2,1,0()(αααασ++==
所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:?????
??
?
??---03
13
5132310
031311
.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:
?????
? ?
?-==-21
1100
0011
AT T B ???????
? ??---03
135132310031311
????
? ?
?-?01
0121001= ????
???
? ??--
---313
53
103132
343132310
. (2)=
=)5,3,0(ξ3213
53
13
5ααα+-
.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标
为:????????
?
?--=???????? ??-?926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ?),,(321ααα?????
??
?
?
?-
-
926967
956
=(β1, β2 , β3
)?
?-1T ?????
??
? ?
?-
-
926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:
?-1
T ??????
?
?
?
?-
-
926967956=?????
? ??-21
1100001???????? ??-
-
926967956
=???????
?
??--
971926956. 19. 设R 3
有一个线性变换σ定义如下：
σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3)，?(x 1, x 2, x 3)∈R 3.
下列R 3的子空间哪些在σ之下不变？
(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };
(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , －a , 0)| a ∈R }.
解:(3)与(4)在σ之下不变.
20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，证明下列条件等价: (1) σ (V )＝V ； (2) ker σ＝{0}.
证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即
n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .
21. 已知R 3的线性变换σ定义如下：
σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋2x 2－x 3, x 2＋x 3, x 1＋x 2－2x 3)，?(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.
解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:
???
?
? ?
?--=21
1110
121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.
22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个不变子空间，证
明，W 是σ 2的不变子空间.
证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换，{α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn }是V 的基. 证明，如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基，那么{σ (αr ＋
1),…,
σ (αn )}是Im σ的基.
证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr ＋1)+ l r +2σ (αr ＋2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则
σ ( l r +1αr ＋1+…+ l n αn )=0, l r +1αr ＋1+…+ l n αn ∈ Ker σ .
所以 l r +1αr ＋1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr
但 α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr ＋1),…, σ (αn ) 线性无关.
又 Im σ = ￡(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr ＋1),…, σ (αn )).
从而结论成立.
24. 对任意α∈R 4
，令σ (α)＝A α，其中
A ＝????
??
?
?
?---21
2
2552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ??????
?
?
??-
-02232, α2 =
????
??
?
??--1021, Ker σ =￡(α1,α2). σ (ε1) = ?
?
????
? ??-21
11, σ (ε2) = ????
?
?? ??-2220. Im σ =￡(σ (ε1), σ (ε2)).
25. 设 σ，τ 是向量空间V 的线性变换，且σ＋τ＝ι，στ＝τσ＝θ. 这里
ι是V 的恒等变换，θ 是V 的零变换. 证明:
(1) V ＝σ(V )⊕τ (V )； (2) σ(V )＝Ker τ.
证明: (1) ?ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V ＝σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ＋τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.
(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).
26. 在向量空间F n [x ]中，定义线性变换τ为：对任意f (x )∈F n [x ]，τ(f (x )) ＝x f '(x )－f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ；
(2)证明,V ＝Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令
τ ( f (x )) = x f
'(x )－f (x ) = 0
其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则
(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0
(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2
+ … + (n a n -a n )x n
= 0 有 ?????
??===00
020n
a a a
, 所以 f (x ) = a 1x ,
Ker τ =￡(x ), Im τ=￡(1,x 2, … ,x n ).
(2) 显然 .
27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为
A ＝????
?
?
?--12
1101
365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?
解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:
ξ1=
?????
??
?
??0131 , ξ2=???????
? ??-1031, 故σ 不能对角化.
28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换，证明 (1) σ的本征值一定不为0； (2) 如果λ是σ 的本征值，那么
λ
1
是σ－1的本征值.
证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得
σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.
(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.
σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=
λ
1
ξ, 所以结论成立.
补 充 题
1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ?Ker σ2
? Ker σ3
?…
(2) Im σ ?Im σ2 ?Im σ3 ?…
证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ? Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n
., σ n
(ξ)=0, σ (σ n
(ξ))=0 即σ
n +1
(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σ
n +1
.
(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ?Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σ
n +1
(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n
.
2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明，存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )＝0.
[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]
证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2
n
线性相关,故存在
F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2
n ,使得+++2
210A k A k I k ┄+
02
2
=n
n A
k .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 02
2=n
n x
k ,结论得证.
3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ－1
的不变子空间.
证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故
),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1
=∈=-ωαασσ
.所
以W 关于1
-σ
不变.
4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2
＝σ. 证明: (1) Ker σ ＝{ξ－σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V ＝Ker σ ⊕Im σ ;
(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ＝τσ.
[提示：证(3)的必要性，利用(2). ]
证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么
{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.
反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ
0)()()(2
=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.
(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ?∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:
ξησησξσ===)()()(222
所以0=ξ,结论成立.
(3)充分性易证.
必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈?V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为
+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((22
2ξτσξστσ-.
由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以
)()())(())(())((2323=
-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.
5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2＝ι. 证明, V ＝W 1⊕W 2, 这里W 1＝{ξ∈V |σ(ξ)＝ξ}，W 2＝{η∈V |σ(η)＝－η}.
[提示：?α∈V ，α＝
2
1(α＋σ(α))＋2
1(α－σ(α)). ]
证明:首先对2
)
(2)
(,ασαασααα-+
+=
∈?V ,由于
=
+)2
)
((
ασασ2
)
(2
)
()(2
ασαασασ+=
+,
=
-)2
)
((
ασασ=-2
)
()(2
ασασ 2
)
(ασα--
所以
12
)
(W ∈+ασα,
22
)
(W ∈-ασα,故21W W V +=.
其次对任意的21W W ?∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V ＝W 1⊕W 2,结论成立.
6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ＝τσ . 证明
(1) 对σ的每一本征值λ来说，V λ＝{ξ∈V |σ(ξ)＝λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.
[提示：证(2)时，考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.
(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此
λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得
μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向
量.由α的取法,结论得证.
7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ＝{ξ∈R n |ξ T A ξ＝0}是R n 的n －r 维子空间.
[提示：利用习题三第33题的结论，可得W 是齐次线性方程组BX ＝0的解空间. ]
证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ?矩阵.
则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T
当且仅当0=ξB .=W
{}
0=∈ξξB R
n
.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是
r n -维的.即r n W -=dim .
8. 设σ，τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2＝σ,τ2＝τ. 证明，
(1) Im σ＝Im τ 当且仅当 στ＝τ, τσ＝σ； (2) Ker σ＝Ker τ 当且仅当 στ＝σ, τσ＝τ.
证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈?ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则
)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.
充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则
τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==
所以τσIm Im ?,同理可证στIm Im ?. （2）必要性:设Ker σ＝Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为
0)()())((2
=-=-ξτξτξξττ
所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.
充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且
0)0())(())(()(====τξστξτσξτ
所以τξker ∈,故τσker ker ?.同理可证στker ker ?.
人教版八级数学三角形知识点考点典型例题含答案
第七章三角形 【知识要点】 一．认识三角形 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3．与三角形有关的线段 ．．：三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段； 三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分； 三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。 注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线； ②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。 ④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。） 4．三角形的内角与外角 （1）三角形的内角和：180° 引申：①直角三角形的两个锐角互余； ②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角。 （2）三角形的外角和：360° （3）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度 ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角 多边形的内角和与外角和（识记）
人教版高中生物必修二第七章过关检测题库
章末过关检测 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题(共14小题，每小题4分，共56分) 1．自然选择是指 () A．生物繁殖的能力超越生存环境的承受力 B．生物的过度繁殖引起生存斗争 C．在生存斗争中适者生存 D．遗传使微小有利变异得到积累和加强 答案 C 解析在生存斗争中，具有有利变异的个体容易生存下来，具有有害变异的个体容易死亡。这样适者生存，不适者被淘汰的过程称为自然选择。 2．达尔文自然选择学说的局限性在于 () A．不能解释生物进化的原因 B．不能解释生物的多样性和适应性 C．不能解释生物现象的统一性 D．不能解释生物的遗传和变异特性 答案 D 解析由于受当时遗传理论知识的限制，达尔文只是从个体水平和性状水平上，对遗传、变异现象进行了观察和描述，但不能解释其本质。 3．现代生物进化理论是在达尔文自然选择学说的基础上发展起来的，现代生物进化理论对自然选择学说的完善和发展表现在 () ①突变和基因重组产生进化的原材料②种群是生物进化的基本单位③自
然选择是通过生存斗争实现的④自然选择决定生物进化的方向⑤生物进化的实质是基因频率的改变⑥隔离导致物种形成⑦适者生存，不适者被淘汰 A．②④⑤⑥⑦B．②③④⑥ C．①②⑤⑥D．①②③⑤⑦ 答案 C 解析现代生物进化理论认为：种群是生物进化的基本单位，生物进化的实质在于种群基因频率的改变。突变和基因重组产生生物进化的原材料，隔离是新物种形成的必要条件，形成新物种的标志是产生生殖隔离。 4．在某一使用除草剂的实验田中，选到了能遗传的耐除草剂的杂草X，将它与敏感型杂草Y杂交，结果如下表所示，下列分析错误的是 () A B．除草剂对杂草的耐药性进行了定向选择 C．耐药型基因在接触除草剂之前就已产生 D．A和B杂交子代群体中耐药基因频率占100% 答案 D 解析根据现代生物进化理论，突变是不定向的，耐药型基因和敏感型基因可以互相突变而成，耐药型基因在接触除草剂之前就已产生，而除草剂对杂草的耐药性起了选择作用。无论该等位基因属于何种遗传方式，A和B杂交后，其子代的耐药基因频率都不会是100%。
第七章选择题答案
1.计算机网络的发展，经历了由简单到复杂的过程。其中最早出现的计算机网络 是。 （A）Ethernet （B）Internet （C）APARNET （D）PSDN 2.一座大楼内的一个计算机网络系统，属于。 （A）PAN （B）LAN （C）MAN （D）W AN 3.计算机网络中可以共享的资源包括。 （A）硬件，软件，数据，通信信道（B）主机，外设，软件，通信信道 （C）硬件，程序，数据，通信信道（D）主机，程序，数据，通信信道 4.网络接口卡的基本功能包括：数据转换，通信服务和。 （A）数据传输（B）数据缓存 （C）数据服务（D）数据共享 5.网络管理系统中，管理对象是指。 （A）网络系统中各种具体设备（B）网络系统中各种具体软件 （C）网络系统中各类管理人员（D）网络系统中具体可以操作的数据 6.通信系统必须具备的三个基本要素是。 （A）终端，电缆，计算机（B）信号发生器，通信线路，信号接收设备 （C）信源，通信媒体，信宿（D）终端，通信设施，接收设备 7.局域网不提供服务。 （A）资源共享（B）设备共享 （C）多媒体通信（D）分布式计算 8.关于因特网中主机的IP地址，叙述不正确的是。 （A）IP地址是由用户自己决定的 （B）每台主机至少有一个IP地址 （C）主机的IP地址必须是全国唯一的 （D）一个主机可以属于两个或者多个逻辑网络 9.下面是有效的IP地址。 （A）202.280.130.45 （B）130.192.290.45 （C）192.202.130.45 （D）280.192.33.45 10.按照IP地址的逻辑层来分，IP地址可以分为类。 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 11.当用户向ISP申请Internet帐户时，用户的E-mail帐户应包括。 （A）Username （B）mailbox （C）Password （D）Username，Password 12.如果用户希望在网上聊天，可以使用internet提供的服务形式。 （A）新闻组服务（B）电子公告版服务 （C）电子邮件服务（D）文件传输服务 13.所有站点均连接到公共传输媒体上的网络结构是。 （A）总线型（B）环型 （C）树型（D）混合型 14.在internet上浏览时，浏览器和WWW服务器之间传输网页使用的协议是。 （A）IP （B）HTTP （C）FTP （D）Telnet 15.使用Internet时，由指明通信协议和地址。 （A）TCP和IP （B）FTP （C）URL （D）E-mail地址 16.一个计算机网络由组成。 （A）传输介质和通信设备（B）通信子网和资源子网 （C）用户计算机终端（D）主机和通信处理机
第七章试题和答案
第七章试题及答案 一、单项选择题（每题1.5分，共30分） 1.在教师的整体素质中，（）是关键。 a文化素质，b专业素质c职业道德c教学能力 2.“（）”重要思想体现在教育战线上主要就是要加强教师职业道德建设。 a以德治国b以德育人c依法治国d又红又专 3.新时期，教师的劳动具有如下特点（） a.知识性、专业性、长期性、创造性、示范性、艺术性b知识性、专业性、长期性、创造性、示范性、唯一性c知识性、专业性、长期性、创造性、科学性、艺术性d知识性、专业性、相互性、创造性、示范性、艺术性 4“唯有教师善于读书，深有所得，才能教好书。”这句话是（）说的。 a陶行知b叶圣陶c苏霍姆林斯基d杜威 5新时期高等教育肩负三大职能是（） a.培养人才、创新文化、服务社会b培养人才、创新科技、服务社会c培养人才、创新科技、服务国家d培养精英、创新科技、服务社会 6.高校应以（）为中心。 a教学b科研c学科建设d管理 7高校要建立“三位一体”的教师职业道德监督网络是指（） a学校、社会、家庭b学校、学生、教师c学校、学生、网络d学校、学生、家庭 8. “三人行，必有我师焉。择其善者而从之，其不善者而改之。”这句话是我国古代著名教育家（）说的。 a孔子b韩愈c朱熹d王阳明 9建立和完善师德教师保障制度，尤其在（）等方面要建立一个长效机制。a工作机制、约束机制、考核机制b激励机制、处罚机制、考核机制c激励机制、约束机制、奖励机制d激励机制、约束机制、考核机制 10教师人格魅力的基础条件是（） a渊博的知识b崇高的职业道德c爱心d奉献精神 11构成教师人格魅力的前提条件是（） a高尚的灵魂b知识广博c爱心d敬业 12.高校教育质量的决定性因素是（） a教学水平b科研水平c教师素质d学生素质 13在高等教育中，要实现以学生为本，需要高校转变观念，并在教育实践中采取相应措施。以下所列各措施中，不属于这一措施的是（） a尊重学生的个性b开展个性化教学c关心学生身心健康d实施人才强校战略 14高校教师的中心任务是（） a科研b教学c创收d社会实践 15“教师是人类灵魂的工程师。在我国，人民教师是社会主义精神文明的传播者和建设者。”这是（）同志在全国第三次教育工作会议上指出的。邓小平b 江泽民c胡锦涛d温家宝 16.学校管理的中心内容和校长领导水平与领导艺术的最重要体现是（）
分析化学课后习题答案 第七章
第七章重量分析法和沉淀滴定法 思考题 1.沉淀形式和称量形式有何区别试举例说明之。 答：在重量分析法中，沉淀是经过烘干或灼烧后再称量的。沉淀形式是被测物与沉淀剂反应生成的沉淀物质，称量形式是沉淀经过烘干或灼烧后能够进行称量的物质。有些情况下，由于在烘干或灼烧过程中可能发生化学变化，使沉淀转化为另一物质。故沉淀形式和称量形式可以相同，也可以不相同。例如：BaSO4,其沉淀形式和称量形式相同，而在测定Mg2+时，沉淀形式是MgNH4PO4·6H2O，灼烧后所得的称量形式却是Mg2P2O7。 2．为了使沉淀定量完全，必须加人过量沉淀剂，为什么又不能过量太多 答：在重量分析法中，为使沉淀完全，常加入过量的沉淀剂，这样可以利用共同离子效应来降低沉淀的溶解度。沉淀剂过量的程度，应根据沉淀剂的性质来确定。若沉淀剂不易挥发，应过量20%~50%；若沉淀剂易挥发，则可过量多些，甚至过量100%。但沉淀剂不能过量太多，否则可能发生盐效应、配位效应等，反而使沉淀的溶解度增大。 3．影响沉淀溶解度的因素有哪些它们是怎样发生影响的在分析工作中，对于复杂的情况，应如何考虑主要影响因素 答：影响沉淀溶解度的因素有：共同离子效应，盐效应，酸效应，配位效应，温度，溶剂，沉淀颗粒大小和结构等。共同离子效应能够降低沉淀的溶解度；盐效应通过改变溶液的离子强度使沉淀的溶解度增加；酸效应是由于溶液中H+浓度的大小对弱酸、多元酸或难溶酸离解平衡的影响来影响沉淀的溶解度。若沉淀是强酸盐，如BaSO4，AgCl等，其溶解度受酸度影响不大，若沉淀是弱酸或多元酸盐[如CaC2O4、Ca3(PO4)2]或难溶酸（如硅酸、钨酸）以及与有机沉淀剂形成的沉淀，则酸效应就很显着。除沉淀是难溶酸外，其他沉淀的溶解度往往随着溶液酸度的增加而增加；配位效应是配位剂与生成沉淀的离子形成配合物，是沉淀的溶解度增大的现象。因为溶解是一吸热过程，所以绝大多数沉淀的溶解度岁温度的升高而增大。同一沉淀，在相同质量时，颗粒越小，沉淀结构越不稳定，其溶解度越大，反之亦反。综上所述，在进行沉淀反应时，对无配位反应的强酸盐沉淀，应主要考虑共同离子效应和盐效应；对弱酸盐或难溶酸盐，多数情况应主要考虑酸效应，在有配位反应，尤其在能形成较稳定的配合物，而沉淀的溶解度又不太大时，则应主要考虑配位效应。 4．共沉淀和后沉淀区别何在它们是怎样发生的对重量分析有什么不良影响在分析化学中什么情况下需要利用共沉淀 答：当一种难溶物质从溶液中沉淀析出时，溶液中的某些可溶性杂质会被沉淀带下来而混杂于沉淀中，这种现象为共沉淀，其产生的原因是表面吸附、形成混晶、吸留和包藏等。后沉淀是由于沉淀速度的差异，而在已形成的沉淀上形成第二种不溶性物质，这种情况大多数发生在特定组分形成稳定的过饱和溶液中。无论是共沉淀还是后沉淀，它们都会在沉淀中引入杂质，对重量分析产生误差。但有时候利用共沉淀可以富集分离溶液中的某些微量成分。 5．在测定Ba2+时，如果BaSO4中有少量BaCl2共沉淀，测定结果将偏高还是偏低如有Na2S04、Fe2(SO4)3、BaCrO4共沉淀，它们对测定结果有何影响如果测定S042-时，BaSO4中带有少量BaCl2、Na2S04、BaCrO4、Fe2(S04)3，对测定结果又分别有何影响 答：如果BaSO4中有少量BaCl2共沉淀，测定结果将偏低，因为M BaO＜M BaSO4。如有Na2S04、Fe2(SO4)3、BaCrO4共沉淀，测定结果偏高。如果测定S042-时，BaSO4中带有少量BaCl2、Na2S04、BaCrO4、Fe2(S04)3，对测定结果的影响是BaCl2偏高、Na2S04偏低、BaCrO4偏高、Fe2(S04)3偏低。 6．沉淀是怎样形成的形成沉淀的性状主要与哪些因素有关其中哪些因素主要由沉淀本质决定哪些因素与沉淀条件有关
第七章 微分方程经典例题
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
钻井工程试题及答案(第七章)
第七章固井与完井 一、选择题 二、填空题 三、名词解释 1．何谓双向应力椭圆？ 答： 在轴向上套管承受有下部套管的拉应力，在径向上存在有套管内的压力或管外液体的外挤力，套管处于双向应力的作用中。根据第四强度理论，列套管破坏的强度条件方程： 2 2 2 (T z+b t - (T t (T z= d s 改写为：( T z/ d s) -( d z d t )/ T s +( T t / T s) =1 得一椭圆方程。 用d z/ d s的百分比为横坐标，用 d t/ d s的百分比为纵坐标，绘出的应力图，称为双向应力 椭圆。 2．何谓前置液体系？ 答：前置液是注水泥过程中所用的各种前置液体的总称。前置液体系是用于在注水泥之前，向井中注入的各种专门液体。 四、简答题 1．简述套管的的种类及其功用。 答： (1)表层套管，表层套管是开始下入的最短最浅的一层套管，表层套管主要有两个作用：一是在其顶部安装套管头，并通过套管头悬挂和支承后续各层套管；二是隔离地表浅水层和浅部复杂地层，使淡水层不受钻井液污染。 (2)中间套管，亦称技术套管。介于表层套管和生产套管之间的套管都称中间套管，中间套管的作用是隔离不同地层孔隙压力的层系戒易塌易漏等复杂地层。 (3)生产套管。生产套管是钻达目的层后下入的最后一层套管，其作用是保护生产层，并给油气从产层流到地面提供通道。 (4)钻井衬管，亦称钻井尾管。钻井衬管常在已下入一层中间套管后采用，即只要裸眼井段下套管注水泥，套管柱不延伸至井口。采用钻井衬管可以减轻下套管时钻机的负荷和固井后套管头的负荷，同时又可节省大量套管和水泥，降低固井成本。
2．井身结构设计的原则是什么？ 答： 进行井身结构设计所遵循的原则主要有： （1）有效地保护油气层，使不同地层压力的油气层免受钻井液的损害。 （2）应避免漏、喷、塌、卡等井下复杂情况的发生，为全井顺利钻进创造条件，以获得最短建井周期。 （3）钻下部地层采用重钻井液时产生的井内压力不致压裂上层套管外最薄弱的裸露地层。 （4）下套管过程中，井内钻井液柱的压力和地层压力之间的压力差，不致产生压差卡套管现象。 3．套管柱设计包括哪些内容？设计原则是什么？答：套管柱设计包括套管的强度计算；有效外在计算；及套管柱强度设计。 套管柱设计原则： （ 1）应能满足钻井作业、油气层开发和产层改造的需要； （ 2）在承受外载时应有一定的储备能力； （ 3）经济性要好。 4．套管柱在井下可能受到哪些力的作用？主要有哪几种力？答：套管柱在井下可能受到的力包括：（ 1）轴向拉力：套管本身自重产生的轴向拉力、套管弯曲引起的附加应力、套管内注入水泥引起的套管柱附加应力及动载和泵压变化等引起的附加应力。 （ 2）外挤压力：主要有套管外液柱的压力，地层中流体的压力、高塑性岩石的侧向挤压力及其他作业时产生的压力。 （ 3）内压力：主要来自地层流体（油、气、水）进入套管产生的压力及生产中特殊作业（压裂、酸化、注水）时的外来压力。 主要受：轴向拉力、外挤压力及内压力。 5．目前主要有几种套管柱的设计方法？各有何特点？ 答： （ 1）等安全系数法：它的设计思路是使各个危险截面上的最小安全系数等于或大于规定的安全系数。 （ 2）边界载荷法：它的优点是套管柱各段的边界载荷相等，使套管在受拉时，各段的拉力余量是相等的，这样可避免套管浪费。 （ 3）最大载荷法：其设计方法是先按内压力筛选套管，再按有效外挤力及拉应力进行强度设计。该方法对外载荷考虑细致，设计精确。 （4） AMOCO设计方法：该方法在抗挤设计中考虑拉力影响，按双轴应力设计，在计算外载时考虑到接箍处的受力，在计算内压力时也考虑拉应力的影响。
试题库之第七章先进制造技术
第七章：先进制造技术 一、单项选择题 1.按照系统的观点，可将生产定义为使生产（）转变为生产财富并创造效益的 输入输出系统。C A．对象；B．资料；C．要素；D．信息。 2.快速原型制造技术采用（）方法生成零件。C A．仿形；B．浇注；C．分层制造；D．晶粒生长 3.度量生产过程效率的标准是（）。D A．产量；B．产值；C．利润；D．生产率 4.在先进的工业化国家中，国民经济总产值的约（）来自制造业。C A．20%；B．40%；C．60%；D．80% 5.制造从广义上可理解为（）生产。B A．连续型；B．离散型；C．间断型；D．密集型。 6.精良生产是对（）公司生产方式的一种描述。 D A．波音；B．通用；C．三菱；D．丰田。 7.在机械产品中，相似件约占零件总数的（）。C A．30%；B．50% ；C．70%；D．90%。 8.零件分类编码系统是用（）对零件有关特征进行描述和识别的一套特定的规 则和依据。 C A．文字；B．数字；C．字符；D．字母 9.成组技术按（）组织生产。D A．产品；B．部件；C．零件；D．零件组 10.CIM是（）和生产技术的综合应用，旨在提高制造型企业的生产率和响应能 力。 B A．高新技术；B．信息技术；C．计算机技术；D．现代管理技术 11.并行工程是对产品及（）进行并行、一体化设计的一种系统化的工作模式。 D A．零件；B．设备；C．工艺装备；D．相关过程 12.实行并行工程的企业多采用（）的组织形式。C A．直线式；B．职能式；C．矩阵式；D．自由式 13.在多变的市场环境下，影响竞争力的诸要素中（）将变得越来越突出。A A．时间； B．质量； C．成本； D．服务 14.柔性制造系统（FMS）特别适合于（）生产。B A．单件；B．多品种、中小批量；C．少品种、中小批量；D．大批量 15.先进制造技术首先由美国于20世纪（）提出。D A．70年代中；B．80年代初；C．80年代末；D．90年代中 16.当前精密加工所达到的精度是（）。C
泛函分析第七章 习题解答
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时， )1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10< 。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1。若n n o x ∞=?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1<，因此 )(∞?→??→?n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1。 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y
第七章-平面直角坐标系知识点归纳及典型例题
第七章平面直角坐标系的复习资料 一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形； 2、构成坐标系的各种名称； 3、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 ； 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、特殊位置点的特殊坐标：
六、用坐标表示平移：见下图 ~ 五、经典例题 知识一、坐标系的理解 例1、平面内点的坐标是（ ） A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对 { 坐标不同 同 y ＞0 y ＜0 ) P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ） P （x ，y ＋a ） 向上平移a 个单位 ~ 向左平移a 个单位
学生自测 1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据； 在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据． 2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ） A 原点O 不在任何象限内 B 原点O 的坐标是0 C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上 D 原点O 在坐标平面内 知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 ( 点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x<0, 在x 轴的正半轴上时，x>0 点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴上时，y>0 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；坐标点（x ，y ）xy>0 第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反；坐标点（x ，y ）xy<0 例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 对应的实数是 3 1 ，则点Q 的坐标是 ， 例2 点P （a -1，2a -9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是 。 学生自测 … 1、点P(m+2,m -1)在y 轴上,则点P 的坐标是 . 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m -1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。
仪器分析题库,第七章答案
2(C)、3(D) 、5(B)、7 (C)、8(D)、9(C)、 10(D)、12(C)、13(A)、15(A) 、16(D)、18(B)、19(A)、20 (A)、21(A)、22 (C)、23 (A)、24 (A)、25(C) 、30(D)、32 (C)、33(A)、34(D)、36 (C)、37(C)、41(A )、44(C)、45( D) 1、共振(吸收)线。 2、不会改善 3、自吸 4、各种元素的原子核外层电子基态与激发态之间的能级差( E)大小不同,受 激跃迁时,不同的原子都有其特征的光谱线及线组;2~3条。 5、高频发生器、等离子炬管、雾化器; 稳定性好、基体效应小、线性范围宽、检出限低、应用范围广、自吸效应 小、准确度高。 6、Li的670.785nm的原子线;Be的313.042的一级离子线。 7、元素光谱图中的铁光谱线为波长标尺,可为查找谱线时作对照用。 8、第一激发态, 基态. 9、分辨率色散率 11、分析线或分析线对有背景干扰扣除背景 14、铁谱比较法标准试样光谱比较法
15、谱线波长标尺来判断待测元素的分析线 1、答:因为谱线强度I不仅与元素的浓度有关,还受到许多因素的影响,采用内标法 可消除操作条件变动等大部分因素带来的影响,提高准确度。 可作内标法分析线对的要求是: 1.两谱线的激发电位相同或接近。 2.波长尽可能接近,无自吸。 3.两谱线的强度不应相差太大。 4.两谱线应不受其它谱线干扰。 3、答:当某一元素的谱线射出弧层时,由于弧层外部的同类冷原子对此辐射产生吸收,使得光强与原子的浓度不呈正比关系,这种现象称为自吸。 5、答:原子线:原子被激发所发射的谱线。 离子线:离子被激发所发射的谱线。 灵敏线:一些激发电位低的谱线,它的发光强度大。 分析线:分析过程中所使用的谱线,也即确定某一元素是否存在的谱线。 分析线对:定量分析中的分析线对由分析线与内标线组成。从被测元素中选一根谱线作为分析线,从内标元素中选一条谱线作为内标线,以它们的相对强度比lg R作工作曲线,使光源强度对谱线强度影响得到补偿。 6、答:最后线: 元素含量减少而最后消失的谱线。
第7章 习题解答
第七章 习题解答(部分) ［1］用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。已知πω5.0=c ，51=N 。求出)(n h 并画出滤波器的幅度响应曲线。 解：由题意得理想线性相位低通滤波器为： ??? ??≤<≤=-π ωωωωωα ω 0 )(c c j j d e e H 理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为： ? ? +---= = c c d e d e e H n h n j n j j d d ωωαωπ π ωω ωπ ωπ ) (21)(21)( ?? ? ??=≠--=α ααπαωn n n n c 0)()] (sin[ 式中α为线性相位所必须的位移， 252 1=-= N α。因此 ?? ? ??≤≤--=?=其它 0500)25()]25(5.0sin[)()()(n n n n R n h n h N d ππ 该低通滤波器的幅度响应曲线如图1所示。 ［2］。求出)(n h 解??-<≤ 0 0 c d ωπω理想高通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：
? ? +----= = c c d e e d e e H n h n j j n j j d d ωπωπωα πωπ π ωω ωπ ωπ )(21)(21)( c c n j j e n j e ωπωπαωαπ απ+---= ) () (2 [] ) ()(sin ) 1(απαω---=n n c n 式中α为线性相位所必须的位移， 102 1=-= N α，因此 ?? ? ? ?≤≤---=?=其它 0200)10()]10(5.0sin[)1()()()(n n n n R n h n h n N d ππ 该低通滤波器的幅度响应曲线如图2所示。 ［3 （1 （2 （3）若改用汉宁窗设计，写出)(n h 的表达式。 解：根据是题意，单位冲激响应)(n h d 为： ? ? +---= = c c d e e d e e H n h n j a j n j j d d ωπωπωπωπ ωω ωπωπ)(20 21)(21)( ?? ? ???-= = +--+--? c c c a n j ja a n j ja e a n j e d e e ωπω πωπ ωπωπωπ π ωπ )() ()(1 2121 ) (] )s i n [() 1(a n a n c n ---=πω 式中a 为线性相位所必须的位移，已知需满足2 1-=N a 。(说明：在题中只给定了)(ωj e H 在 (π~0)之间的表达式，但在求解时，必须把它看成(ππ~-)或(π2~0)之间的分布，不能只用(π~0)区域求解。)
一元一次不等式典型例题(第七章)
一元一次不等式 典型例题 相关练习 1．不等式基本性质的应用：（比较大小） 已知：b a < (1) 11+<+b a ； (2) c b c a -<-； (3) b a 22<； (4) b a 2 1 21->- ； (5)2323-<-b a ； (6) c b c a +->+-． 注：能说出具体理由． 2．求不等式32-x ≤5的正整数解． 解：求解集为 x ≤4， ∴正整数解为4,3,2,1=x ． 注：不等式的“特殊解”（正整数解、非负整数解…）． 3．如果010<<-
管理信息系统_第七章练习题
第七章习题 单项选择题 物理模型设计是系统开发的（B）阶段的任务。 a.信息系统流程图设计 b.系统设计 c.系统分析 d.系统规划 磁盘文件是一种（C） a.输人文件 b.输出文件 c.输人输出文件 d.周转文件 用质数法确定代码结构中的校验位时，校验位的取值是质数法中的（D）。 a.权 b.模 c.除得的商 d.除得的余数 区间码是把数据项分成若干组，用区间码的每一区间代表一个组，在码中（C）。 a.数字的值代表一定意义，但数字的位置是无意义的 b.数字的位置代表一定意义，但数字的值是没有意义的 c.数字的值和位置都代表一定意义 d.用字符而不用数字表示意义 文件设计时，首先应设计（a a.共享文件 b.非共享文件 c.中间文件 d.处理文件 代码设计工作应在（B）阶段就开始。 a.系统设计 b.系统分析 c.系统实施 d.系统规划 周转文件用来存放具有（A）。 a.固定个体变动属性的数据 b.固定半固定属性的数据 c.随机变动属性的数据 d.固定属性的数据 石邮政编码是一种（D）。 a.缩写码 b.助忆码 c.顺序码 d.区间码 对直接存取文件组织方式组织的文件采用顺序文件处理方式进行处理是（C）。 a.很合适的 b.合适的 c.不合适的 d.常用的 为了检查会计工作中惜方会计科目合计与贷方会计科目合计是否一致，通常在程序设计中应进行（C）。 a.界限校验 b.重复校 c.平衡校验 d.记录计数校验 系统的吞吐量指的是（B）。 a.每天的数据输出量 b.每秒执行的作业数 c.每秒的数据处理量 d.每日的数据输人量绘制新系统的信息系统流程图的基础是（D）。 a.组织机构图 b.功能结构图 c.业务流程图 d.数据流程图 文件按信息流向分类有输人文件、输出文件和（d a.顺序文件 b.索引文件 c.直接文件 d.输人输出文件 文件的活动率指的是（B）。 a.文件在单位时间内被查询的记录的数量 b.文件在更新过程中被处理的记录的百分数
习题解答(第七章)
C 语言程序设计习题解答（第七章） 7.1 题目略. [解答] (1) A (2) F (3) B (4) B (5) C 7.2 题目略. (1) 6 (2) 40 (3) DDBBCC (4) 0 4 5 15 (5) 6 (6) 16 7.3 职工数据包括：职工号、职工名、性别、年龄、工龄、工资、地址。 （1）为其定义一个结构体变量。 （2）对上述定义的变量，从键盘输入所需的具体数据，然后用printf函数显示出来。 （3）定义一个职工数据的结构体数组，从键盘输入每个结构体元素所需的数据，然后逐个输出这些元素的数据(为简化起见，可设数组只有三个元素)。 [解答] (1) struct employee { unsigned long num; char name[20]; char sex; unsigned int age; unsigned int ls; float wage; char addr[50]; }; (2) struct employee { unsigned long num; char name[20]; char sex; unsigned int age; unsigned int ls; float wage; char addr[50]; };
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思科第一学期第七章试题+答案
1UDP 协议具有以下哪一项特点 传输前建立端到端连接 系统开销低 有保证的传输 错误纠正 2客户正在考虑使用多功能设备建立家庭网络。多功能网络设备中通常会集成下列哪三种设备（选择三项。） 电子邮件服务器 Web 服务器 交换机 无线接入点 路由器 打印服务器 3WAN 的特征是什么 它可跨越一个园区或城市来支持区域资源共享。 它通常归单个家庭或公司所有并受其管理。 它可连接处于不同地理位置上的多个网络。 它需要一个无线接入点将用户连接到网络。
4OSI 模型的哪一层负责逻辑寻址和路由 数据链路层 传输层 网络层 应用层 5子网掩码为的网络上有多少个可用主机地址 254 16,777,214 1024 65,534 6用户声称前一天还能访问Internet 但现在却无法正常访问Internet，技术人员正在排除此故障。 经过调查，技术人员确定用户也无法访问办公室中的网络打印机。网络打印机与计算机位于同一个网络中。分配给计算机的IP 地址为。此问题最可能的原因是什么 计算机无法与DHCP 服务器通信。 计算机上的默认IP 网关不正确。 需要更新网卡驱动程序。 连接此网络与其它网络的路由器发生故障。 7哪个网络设备基于帧中所包含的目的MAC 地址决定转发策略 交换机
集线器 中继器 8OSI 模型的哪三层与TCP/IP 模型的应用层对应（选择三项。） 数据链路层 表示层 会话层 应用层 网络层 物理层 传输层 9下列哪一项是将设备连接到PAN 时最常用的技术 蓝牙 光缆 同轴电缆 IEEE 无线 10蓝牙设备可以同时连接多少台设备 127 24
5 7 11某网络专家被一家组装飞机引擎的公司聘用，负责安装网络。出于业务性质的原因，该区域受到电磁干扰的严重影响。应该推荐哪种类型的网络介质才能使数据通信不受EMI 影响 光纤 同轴 UTP STP 12下列哪种设备将为用户提供无线连接作为其主要功能 路由器 调制解调器 交换机 接入点 13100BASE-TX 标准中的100 指的是什么 最大网络节点数 以米为单位的最大电缆距离 以Mb/s 为单位的最大带宽 该标准的系列序号
第七章题库
第七章为创建新中国而奋斗 一、单项选择题 1．第一次世界大战后，开始在资本主义世界中称雄的国家是 A.美国 B.英国 C.法国 D.德国 2.中共中央明确提出“和平民主团结”的口号是在 A. 1943年8月25日 B. 1944年8月25日 C. 1945年8月25日 D. 1946年8月25日 3. 1945年10月10日，国共双方签署了 A.《国共重庆谈判纪要》 B.《国共重庆谈判协定》 C.《政府与中共代表会谈协定》 D.《政府与中共代表会谈纪要》 4. 1945年9月19日，中共中央正式确定了 A.“向北发展，向南防御”的战略方针 B.“向南发展，向北防御”的战略方针 C.“向东发展，向西防御”的战略方针 D.“向西发展，向东防御”的战略方针 5.解放区军民粉碎国民党军队的全面进攻是在 A. 1946年6月 B. 1947年2月 C. 1947年6月 D. 1948年2月 6.解放区军民粉碎国民党军队的重点进攻是在 A. 1947年3月 B. 1947年4月 C. 1947年6月 D. 1947年7月 7.中国共产党决定将减租减息政策改变为实现“耕者有其田”政策的文件是 A.《关于清算、减租及土地问题的指示》 B.《中国土地法大纲》 C.《在不同地区实行土地法的不同策略》 D.《新解放区土地改革要点》 8.国统区人民所进行的第二条战线的斗争 A．以工人运动为发端 B.以农民运动为发端 C.以学生运动为发端 D.以城镇贫民运动为发端 9. 1947年12月，毛泽东提出新民主主义革命三大经济纲领的报告是 A.《论联合政府》 B.《关于目前国际形势的几点估计》 C.《以自卫战争粉碎国民党的进攻》 D.《目前形势和我们的任务》 10.“一二．一运动的基本口号是 A.“反对内战，争取自由” B.“抗议驻华美军暴行” C.“反饥饿、反内战” D.“反饥饿、反内战、反迫害” 11.第二条战线的正式形成是在
第七章习题解答
第七章习题解答 填空题 1.解 由于100113,55x EX p ++++= ==，故由35p =解得μ3 5 p =． 2.解 似然函数为12(,,;)n L x x x λK 1 2 21 1 ()n i i i n n x x n i i i i x e e x λ λλ λ=--==∑= =∏∏，故 ln L 1 1 2ln ln n n i i i i n x x λλ===-+∑∑， 由 ln d L d λ12n i i n x λ==-∑0=，得λ的最大似然估计量为?λ2X =． 3.解 由222 ()(1)E X kS E X kES EX kDX np knp p np +=+=+=+-=，得1k =-． 4.解 22 22 2 21 1 2( )()()3n n i i i i x E X E X nE X n x dx θ θ θ=====∑∑? 3 222 2532x n dx n θθθθ==?． 由2221 5 ()2n i i E c X cn θθ== =∑，解得25c n =． 5.解 由于123EX EX EX μ===，且由题意有123()E X aX bX μ+-=， 2342E bX X aX μ(--)=，得11a b +-=，211b a --=解得2a =，2b =． 6.解 由于2 1σ=，所以μ的置信度为1α- 的置信区间为2 2 (,)x x αα+ ， 将40, x =1σ=,0.0252 16,0.05, 1.96n U U αα====代入其中， 即得μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49)． 7.解 由于μ未知，且10,10.90=-=n α，得2 2 0.050.95(9)16.919,(9) 3.325==χχ， 2σ的置信水平为0.90的置信区间为 2222 2212 2 (1)(1)935935(,)(,)(651.63,3315.79)(1)(1)16.919 3.325 n S n S n n ααχχ---??==--． 8.解 由于μ的置信度为0.95 的置信区间为0.025 0.025(x U x U -+ ，所以得0.025 24l U =≤．又因为0.025 1.96U =，解得2(2 1.96)15.3664n ≥?=，所以n 至少取16． 选择题