2010江苏省高考数学真题(含答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学Ⅰ试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分

160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的

规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5

毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式：

1

锥体的体积公式:V 锥体=

Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题．卡．相．应．的．位．．置．上．.

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同

的概率是_▲__.

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取

了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质

量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率

分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___

根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(e x+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________

2y

2

x

6、在平面直角坐标系x Oy中，双曲线1

上一点M，点M的横坐标是3，则M到412

双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

2y2

9、在平面直角坐标系x Oy中，已知圆x4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间0,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作

2

PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。

11、已知函数f(x)

21,0

xx

1,x0

2

f(1x)f(2x)的x的范围是__▲___。

,则满足不等式

12、设实数x,y满足3≤

2

xy≤8，4≤

2

x

y

≤9，则

3

4

x

y

的最大值是▲。

ba

13、在锐角三角形A BC，A、B、C的对边分别

为a、b、c，6cos

ab C

，则

tanCtanC

tanAtanB

=____▲_____。

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2

(梯形的周长）

S

,则S的最小值是____▲____。梯形的面积

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。

(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d

（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的

实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

18、（本小题满分16分）

2y2x

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1

的左、右顶点为A、B，右焦点为95 F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20。

2PB

2

（1）设动点P满足PF4,求点P的轨迹；

（2）设

1

x12,x2，求点T的坐标；

3

（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐

标与m无关）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，已知2a2a1a3，数列S n是公差为d

的等差数列。

（1）求数列a的通项公式（用n,d表示）；

n

（2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式S m S n cS k

都成立。求证：c的最大值为

9

2

。

20、（本小题满分16分）

设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数

2ax

h(x)，其中h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x1)，则称

函数f(x)具有性质P(a)。

(1)设函数f(x)

b2

lnx(x1)

x1

，其中b为实数。

(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。

(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2(1,),x1x2,设m为实数，

mx1(1m)x，(1m)x1mx2，且1,1，

2

若|g()g()|<|g()()|，求m的取值范围。

x1gx

2

数学Ⅱ（附加题）

7.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．选修4-1：几何证明选讲

D

（本小题满分10分）

CAB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

AB

O

AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

B．选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵

M= k

1

,N=

1

1

，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，

△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

C．选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

D．选修4-5：不等式选讲

（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：33(22)

ababab。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等

品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二

等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2 万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

2010年答案

填空题

1、[解析]考查集合的运算推理。3B,a+2=3,a=1

2、[解析]考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i 与3+2i 的模相等，z 的模为 2。

3、[解析]考查古典概型知识。31

p

62

4、[解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e

x +ae -x

为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

6、[解析]考查双曲线的定义。

M F d e 4 2 2 ，d 为点M 到右准线x1的距离，d=2，

MF=4。

7、[解析]考查流程图理解。 24 122L23133,输出

25

S122L263。

8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2

)处的切线方程为：

22(),

yaaxa 当y0时，解得

kkk

a k x ，

2

所以 a k

a 1,a 1a 3a 5164121。 k

2

9、[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，

|c | 13

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，

1，c 的取值范围是（-13，13）。 10、[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx 的值，

且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx= 2 3 。线段P 1P2的长为

2 3

11、[解析]考查分段函数的单调性。 2 1x2x 2 1x0 x(1,21)

12、[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。

2 x

2 ()[16,81] y

111 ，2

[,] xy83

， 32 xx1

2 ()[2,27]

42 yyxy

， 3 x 4 y

的最大值是27。

13、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题 多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

12C1cosC1

cosC，tan

321cosC2

，tan

C

2

22

，

1 tanAtanB2

C

tan

2 ，

t anCtanC

tanAtanB

=4。

（方法二）b a

ab

22

6cosC6abcosCab ，

2222

abc22223c

6abab,ab

2ab2

2 tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sinC

tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

由正弦定理，得：上式=

222

1ccc

2

113

cosCab(ab)c

22

662

4

14、[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为x，则：

22

(3x)4(3x)

S(0x1)

2 1331x

(x1)(1x)

22

（方法一）利用导数求函数最小值。

S(x)

2

4(3x)

3 1

2

x

，S(x)

22

4(2x6)(1x)(3x)(2x)

3

22

(1x)

22

4(2x6)(1x)(3x)(2x)42(3x1)(x3)

2222 3(1x)3(1x)

1

S(x)0,0x1,x，

3

当

1

x(0,]时，S(x)0,递减；当

3

1

x[,1)时，S(x)0,递增；

3

故当

1

x时，S的最小值是

3

323

3

。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

令

111

3xt,t(2,3),(,)

t32

，则：

S

2

4t41

2

86

3t6t831

2

tt

故当131

,x

时，S的最小值是

t83

323

3

。

一、解答题

15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。

uu u r uu u r

（1）（方法一）由题设知AB(3,5),AC(1,1)

，则

u u u r u u u r u u u r uuu r

ABAC(2,6),ABAC(4,4).

uu u r uu u r uu u r u u u r

所以|ABAC|210,|ABAC|42.

故所求的两条对角线的长分别为42、210。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；

u u u r （2）由题设知：OC

uuu r uu u r

=(－2,－1)，ABtOC(32t,5t) 。

由(ABtOC)·OC=0，得：(32t,5t)(2,1)0，

从而5t11,所以11 t。5

或者：u u u r u u u r u u u r

ABOCtOC

·

2 uuu r

，AB(3,5), t

u u u r u u u r

ABOC

u u u r

2

|OC|

11

5

16、[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考

查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PDIDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=

2

2

，故点A到平面PBC的距离等于2。

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得ABC的面积1

S。

ABC

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

11 VSPD。

ABC

33

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以222

PCPDDC。

由PC⊥BC，BC=1，得PBC的面积2

S。

PBC

2

由V APBC V PABC，11

S V hV，得h2，

PBC

33

故点A到平面PBC的距离等于2。

17、[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

HH

（1）tan

AD

ADtan ，同理：

H

AB，

tan

h

BD。

tan

AD—AB=DB，故得

HHh

tantantan

，解得：

h tan41.24

H124。

tantan1.241.20

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

HHhHh

（2）由题设知dAB，得tan,tan

dADDBd

HHh

，

tan()

tantanhdh

dd

HHhdHHhHHh

2()

1tantan1()

d

ddd

H(Hh)

d2H(Hh)

d

，故当d555时，tan()最大。

因为0

，则0，所以当d555时，-最大。22 故所求的d是555m。

18、[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2PB2由PF4，得

2222

(x2)y[(x3)y]4,化简得

9

x。

2

故所求点P的轨迹为直线

9 x。

2

（2）将15

x12,x2分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：M（2，

33

）、N（

1

3

，

20

9

）

直线MTA方程为：y0x3

523

3

，即

1

yx1，

3

直线NTB方程为：03

yx

201

03

93 ，即

55

yx。

62

x7

联立方程组，解得：

y 10

3

，

所以点T的坐标为

10 (7,)

3

。

（3）点T的坐标为(9,m)

直线MTA方程为：

y0x3

m093

m ，即y(x3)，

12

直线NTB方程为：

y0x3

m093

m ，即y(x3)。

6

2y

2

x

分别与椭圆1

95 联立方程组，同时考虑到x

13,x23，

解得：M

2

3(80m)40m

(,)

22

80m80m

、N

2

3(m20)20m

(,)

22

20m20m

。

（方法一）当xx时，直线MN方程为：

12

2 20m3(m20)

yx

22

20m20m

40203(802)3(220)

mmmm

2222

80m20m80m20m

令y0，解得：x1。此时必过点D（1，0）；

当x x时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）。

12

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

（方法二）若xx，则由

12

22

2403m3m60

22

80m20m

及m0，得m210，

此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。

40m

若x1x2，则m210，直线MD的斜率

20m k

MD

2

10m

80m

22

2403m40m

1

2

80m

，

直线ND的斜率k

ND

210m

20m

22

3m6040m

1

2

20m

，得k k，所以直线MN过D点。

MDND

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。

19、[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

（1）由题意知：d0，S S1(n1)da1(n1)d

n

2aaa3aS3(SS)S，21323213

222 3[(ad)a](a2d),

111

化简，得：

22

a12a1dd0,a1d,a1d

22

Sd(n1)dnd,Snd，nn

当n2时，

22222 aSS1nd(n1)d(2n1)d，适合n1情形。nnn

故所求a(2n1)d

n

2 （2）（方法一）

222222222 SScSmdndckdmnck，

mnk c

22

mn

2

k

恒成立。

又mn3k且mn，

2222

2(mn)(mn)9k

22

mn

2

k

9

2

，

故

9

c，即c的最大值为

2

9

2

。

（方法二）由a1d及S n a1(n1)d，得d0，

22 Snd。

n

于是，对满足题设的m,n,k，mn，有

2

222(mn)29229

SS(mn)dddkS。

mnk

222

所以c的最大值

9

c。

max

2

933

a。设k为偶数，令mk1,nk1，则m,n,k符合条件，另一方面，任取实数

222

22223232122

且()[(1)(1)](94)

SSmnddkkdk。

mn

222

于是，只要

22

9k42ak，即当k

2

2a9

时，

1

22

SSd2akaS。

mnk

2

所以满足条件的99

c，从而c max。

22

因此c的最大值为9

2

。

20、[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

（1）(i)f'(x) 1b21

22

x(x1)x(x1)

2

(xbx1)

∵x1时，

1

h(x)0

2

x(x1)

恒成立，

∴函数f(x)具有性质P(b)；

(ii)（方法一）设

2

bb

22

(x)xbx1(x)1，(x)与f'(x)的符号相同。

24

当

2

b

10,22

b时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；

4

当b2时，对于x1，有f'(x)0，所以此时f(x)在区间(1,)上递增；

b

当b2时，(x)图像开口向上，对称轴x1，而(0)1，

2 对于x1，总有(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；

（方法二）当b2时，对于x1，

222

(x)xbx1x2x1(x1)0

所以f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；

b 当b2时，(x)图像开口向上，对称轴x1，方程(x)0的两根为：

2

2424 bbbb

,

22 ，而

22

bb4bb42

1,(0,1)

2224

bb

当

24

bb

x(1,)时，(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间

2

24

bb

(1,)

2

上递减；同理得：f(x)在区间

24

bb

[,)

2

上递增。

综上所述，当b2时，f(x)在区间(1,)上递增；

当b2时，f(x)在

24

bb上递减；f(x)在

(1,)

2

24

bb上递增。

[,)

2

(2)（方法一）由题意，得：

22

g'(x)h(x)(x2x1)h(x)(x1)

又h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，

所以对任意的x(1,)都有g(x)0，g(x)在(1,)上递增。又x1x2,(2m1)(x1x2)。

当

1

m,m1时，，且x1(m1)x1(1m)x2,x2(1m)x1(m1)x2，2

综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)h(x)(x22x1)，其中函数h(x)0对于任