第8章 斯勒茨基方程

第8章斯勒茨基方程

某种商品价格的上升可能会产生两方面的影响：一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更了，这会导致消费者减少对该商品的消费量，而增加对该商品替代品的消费量；另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）下降，这也会导致该消费者减少（或增加）对商品的消费量。前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应。斯勒茨基方程(Slusky equation)的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中有多少是替代效应所导致，而又有多少是收入效应所导致的。

一、替代效应(substitution effect)

1．含义

在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。

2．替代效应的图示：

x2

m/p

m’/p2

x1

图8－1 替代效应和收入效应

一种商品的价格变动后，在新的相对价格水平下，消费者的实际收入刚好能够支付得起价格变动之前的那个均衡商品束，这种情况即为Slusky equation中的购买力不变，即消费者购买力在价格变动前或价格变动后是一样的。

3．替代效应的计算：

（1）调整货币收入以保持实际购买力不变

初始均衡点：价格水平为),(21p p ，均衡商品束为),(21x x ，支付的货币为: 2111x p x p m +=

（8.1）

价格变动后：价格水平为),(2'1p p ，均衡商品束为)','(21x x

要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为： 2111''x p x p m +=

（8.2） 则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为式（8.1）－式（8.2）：

⊿1211)'('x p p x m m m =-=-=⊿1p （8.3）

（2）计算替代效应

⊿),,()',,'(2112111m p p x m p p x x s -= （8.4）

二、收入效应(income effect)

1．含义 在新的相对价格水平下（21'p p ），仅仅由于实际购买力（或实际收入）的变化而导致的消费者需求量的变动量。

2．收入效应的图示（参见图8-2）

3．收入效应的计算：

⊿)',,'(),,'(2112111m p p x m p p x x n -= （8.5）

三、价格变动的总效应（需求的总变动）

1．斯勒茨基方程（斯勒茨基恒等式）

⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1

＝),,(),,'(211211m p p x m p p x -

＝)],,()',,'([211211m p p x m p p x -－)],,'()',,'([211211m p p x m p p x -（8.6）

2. 不同类型商品的价格变动的效应分析

（1）正常商品价格变动（下降）的效应

x 2

A

C

’

x 1

图8-2 正常商品价格变动的效应

⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1

(－) (－) (－)

（2）低档（非吉芬）商品价格变动（下降）的效应

x 2

A

C

x 1

图8-3 低档（非吉芬）商品的价格变动效应

⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1

(＋) (＋) (－)

（3）低档（吉芬）商品价格变动（下降）的效应

x 2

C

B ’

图8-4 吉芬品的价格变动效应

⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1

(－) (＋) (－)

四、变动率

反映价格变动引起需求量变化率的斯勒茨基方程：

令：⊿=m x 1),,'()',,'(211211m p p x m p p x -＝－⊿n x 1

则：⊿=1x ⊿-s x 1⊿m x 1

1

11111)(p x p x p x m s ??-??=?? （8.7） 根据等式（8.3）有：1

1x m p ?=?，将其代入（8.7）可得： 111111)(x m

x p x p x m s ???-??=?? （8.8） 等式（8.8）即为用变化率表示的斯勒茨基方程，其中：

用变化率表示的替代效应为：1

21121111),,()',,'(p m p p x m p p x p x s ?-=?? （8.9） 用变化率表示的收入效应为：11x m

x m ???=1211211'),,'()',,'(x m m m p p x m p p x ?-- 五、需求法则

如果一种商品的需求随着收入的上升而增加，那么这种商品的需求一定会

随着价格的上升而下降。

六、特定偏好情形下的替代效应和收入效应

1．完全互补品价格变动的SE 和IE

效用函数的形式：},min{),(2121bx ax x x u =

x

C

1

TE ＝IE

图8-4 完全互不品价格变动效应

2．完全替代品价格变动的SE 和IE

效用函数的形式：2121),(bx ax x x u +=

A

1

图8-5 完全替代品价格变动的效应

3．拟线性偏好品价格变动的SE 和IE

效用函数的形式：2121)(),(x x v k x x u +==

x 2

x 1

图8-6 拟线性偏好品价格变动效应

七、替代效用与收入效应的应用：汽油税

20年代70年末，为了减少汽油消费，卡特政府计划对汽油进行征税，采取的政策措施是：对汽油消费进行征税，然后政府再把增税而带来的收入退还给消费者。该项政策措施受到了当时总统候选人里根的严厉批评，认为退税会使汽油税政策起不到作用，那么究竟谁对呢？

假定消费者消费两种商品：汽油（X ）和其他商品（Y ），令其他商品的价格为1，汽油的价格为p 。

3 2 1 图8-7 退税的效应

图8-7显示，卡特的退税计划达到了减少汽油消费的目的，虽然汽油消费

的减少量（X1－X2）不如单纯的征税导致汽油消费的减少量（X1－X3）那样多，但是消费者的福利较之单纯征税高。

第8章 斯勒茨基方程

第八章斯勒茨基方程 1.计算替代效应，为了使原来收入消费束消费得起，221' 1'x p x p m +=；2211x p x p m += () 1'11'p p x m m -=-；相对收入变化11p x m ?=? 替代效应)()(11''111m p x m p x x s ，，-=? 收入效应)()(''11'111m p x m p x x n ，，-=? 总效应)()(11'111m p x m p x x ，，-=? 2.斯勒茨基方程 s n x x x 111?+?=?； 3.变动率 把)()('11''111m p x m p x x m ，，-=?定义为负收入效应 斯勒茨基方程 m s x x x 111?-?=? 同时除以1p ?，1 11111p x p x p x m s ??- ??=??；由11p x m ?=?；11p x m ?=? 111111x m x p x p x m s ??-??=??1 11'11) ()(p m p x m p x ?-= ，，总效应 1 1p x s ??=111''11) ()(p m p x m p x ?-，，；替代效应，价格变动，收入调整到恰好使原先的消费束还能支付的起的需求变动 率 11x m x m ??=1''11''11)()(x m m m p x m p x --，，；价格保持不变，收入做出调整的需求变动率 4.预算线的转动和移动 转动是预算线的斜率发生变化而购买力保持不变 移动是预算下的斜率保持不变，购买力发生变化

5.希克斯的替代效应 预算线不是绕着初始消费束转 动，二是绕着穿过初始消费束的无差 异曲线转动 希克斯的替代效应是保持效用不 变 6.完全互补情况下的斯勒茨基分解 替代效应为0 收入效应就是总效应 7.完全替代情况下的斯勒茨基分解 收入效应为0，替代效应就是总效应

斯勒茨基方程例题+答案

1．查理消费苹果和香蕉。他的效用函数是2),(xy y x U =，其中x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。 2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ?=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。 1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为： x p m x ?=31，y p m y ?=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。 设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则 20)21(1030)(),(=-?+=-'?+='y y y p p m p y m m 因此， 替代效应31023032120323232),(),(=?-?=?-''?=-''=?y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=?-?=''?-'?= ''-'=?y y y y m p m p m m p y m p y y 。 2．解：由效用函数为Y X U ?=，可得需求函数为： X P M X ?=21，Y P M Y ?=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021???= ?=。 希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：

Y Y P M M P '??'?=???2112110021210021 解得5.70250≈='M 因此， 希克斯替代效应 25.102 1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=?-?=-=-''=X X M P X M P X X X 希克斯收入效应 75.141 5.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=?-?=-=''-'=X X M P X M P X X X 习题：补偿变化和等价变化 卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。 由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。请计算$A 、$B 分别是多少？ 解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。

第8章 斯勒茨基方程

第8章斯勒茨基方程 某种商品价格的上升可能会产生两方面的影响：一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更了，这会导致消费者减少对该商品的消费量，而增加对该商品替代品的消费量；另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）下降，这也会导致该消费者减少（或增加）对商品的消费量。前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应。斯勒茨基方程(Slusky equation)的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中有多少是替代效应所导致，而又有多少是收入效应所导致的。 一、替代效应(substitution effect) 1．含义 在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。 2．替代效应的图示： x2 m/p m’/p2 x1 图8－1 替代效应和收入效应 一种商品的价格变动后，在新的相对价格水平下，消费者的实际收入刚好能够支付得起价格变动之前的那个均衡商品束，这种情况即为Slusky equation中的购买力不变，即消费者购买力在价格变动前或价格变动后是一样的。 3．替代效应的计算：

（1）调整货币收入以保持实际购买力不变 初始均衡点：价格水平为),(21p p ，均衡商品束为),(21x x ，支付的货币为: 2111x p x p m += （8.1） 价格变动后：价格水平为),(2'1p p ，均衡商品束为)','(21x x 要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为： 2111''x p x p m += （8.2） 则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为式（8.1）－式（8.2）： ⊿1211)'('x p p x m m m =-=-=⊿1p （8.3） （2）计算替代效应 ⊿),,()',,'(2112111m p p x m p p x x s -= （8.4） 二、收入效应(income effect) 1．含义 在新的相对价格水平下（21'p p ），仅仅由于实际购买力（或实际收入）的变化而导致的消费者需求量的变动量。 2．收入效应的图示（参见图8-2） 3．收入效应的计算： ⊿)',,'(),,'(2112111m p p x m p p x x n -= （8.5） 三、价格变动的总效应（需求的总变动） 1．斯勒茨基方程（斯勒茨基恒等式） ⊿=1x ⊿+s x 1⊿n x 1 ＝),,(),,'(211211m p p x m p p x - ＝)],,()',,'([211211m p p x m p p x -－)],,'()',,'([211211m p p x m p p x -（8.6）