第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算

作者：钟家伟 指导老师：张伟伟

摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，

格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分

1 引言

本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

第二类曲线积分的概念

介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

第二类曲线积分的计算方法

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

第二类曲线积分的物理学背景

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =

沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功

一质点受变力()y x F ,ρ

的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,ρ

所做功W .

大家知道,如果质点受常力F ρ的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F ρ

所做功为 W =AB F ?ρ

. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点

,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分

成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i Λ= ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n

i S T ?=≤≤.

设力()y x F ,ρ

在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

与),(y x Q ,那么()y x F ,ρ=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ρ

ρ),(),(+=由于

),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i Λ=在x 轴和y 轴方向上的投影分

别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i

i M M

L 1-ρ

=),(i i y x ??从而力()y x F ,ρ

在小曲线段i i M M 1-上

所作的功i W ?≈),(i F ηξρ

i

i M M L 1-ρ= ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ?

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,ρ

沿L 所作的功可近似等于

i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1

1

),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这

种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.

第二型曲线积分的定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i Λ=；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为

i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n

i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记

11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i Λ= .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

??+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注：(1) 若记()y x F ,ρ=()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=?

则上述记号可写成向量形式:??L

s d F ?ρ.

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第

二类曲线积分,并记为

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =

沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为

?+=AB

Qdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有

?

?

-=BA

AB

,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场

()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第

二型曲线积分

?

++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

对坐标的第二类曲线积分的概念

设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点

(,)(0,1,2)i i i M X Y i n =L 将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度(,)i i i l ξη?∈?，作和式

1(,)()

n

i

i

i

i

i i

P X X

X ξη-?-∑。记

{}1max i

i n

l λ≤≤=?，若极限1

lim ()n

i

i i i P X I

λξ

η→∞

=-?=∑存在，且对曲

线L 的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到

B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作

1

(,)lim ()n

i

i i

i L

P x y dx P X λξ

η→∞

==-?∑?，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对

坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。

类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。

若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值

1lim ()n

i i i

i Q Y λξη→∞

=-?∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，记作(,)L

Q x y dy

?

2. 2 第二类曲线积分的参数计算法

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是

(,)i i ξη(,)L

P x y dx ?

1

(,)(,)lim (,)(,)n

i

i

i

i

i

i

l

i P x y dx Q x y dy P x Q y λ

ξηξη→=+=?+?∑? （1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的

i s ?，i s ?是一小段弧的弧长，

i s ?总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量11,i i i i i i x x x y y y --?=-?=-，i x ?与i y ?是可正可负的。当积分的路径反向时，i s ?不变，而i x ?，i y ?反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定

积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有

些不同。

设曲线l 的参数方程为

则第一类曲线积分的计算公式为

这里要注意αβ≤，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有0dt >，也就有dt dt

=，这样才有上

述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l 上的点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。

在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为

有些较简单的曲线可取x 或y 为参数，即可由直角坐标方程。 例如，直线y ax b =+，取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角y ax b =+，取x 为参数，参数方程即为

又如，抛物线y x =

，取y 为参数，参数方程为

例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界，计算

（1）2222

()()l

x y dx x y dy +++?，沿逆时针方向。

解：（1）这是第一类曲线积分。 线段OA 的参数方程为 线段AB 的参数方程为

1

22220

22()((1))23AB

x y ds x x dx +=+-=

?

?.

线段OB 的参数方程为

所以22

12212(12)()3333L x y ds ++=++=?

（2）这是第二类曲线积分。

在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性 问题。

利用格林公式计算第二类曲线积分

设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域，函数(,)P x y ，(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式

其中l 取正向。

格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。

例2. 用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。

解： 显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式， 这比例1中的解法简单一些。

例3. 计算第二类曲线积分

其中l 为从A （-2,0）到B （2,0）沿椭圆2

21

4x y +=

的上半部分的曲线。

解：l 不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线。 此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。

利用对称性计算第二类曲线积分

定理 1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为

(),()y y x a x b =±≤≤。记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分，12,L L 分别在上的投影方

向相反，函数(,)P x y 在L 上连续，那么

1）当(,)P x y 关于y 为偶函数时，则 2）当(,)P x y 关于为奇函数时，则 证明：依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点a 变到点b 2:()L y y x =-从点b 变到点a

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

1

2

(,)(,)(,)L

L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=

???

故1）当(,)P x y 关于为偶函数时，有 2）当(,)P x y 位于为奇函数时，有

注1 对于

(,)L

Q x y dy ?有定理1的结论

注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反g 对g 偶g 零”“与反g 对g 奇g 倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反g 对g 奇g 倍”涵义类似解释。

关于曲线积

(,)L

P x y dx

?

分还有另一个对称性的结论是

定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为(),()y y x a x a =-≤≤，记12,L L 分别L 为位于y 轴的右半部分，12,L L 分别在x 轴上的投影方向相同，函数(,)P x y 在L 上连续，那么 1）当(,)P x y 关于x 为奇函数时，则 2）当(,)P x y 关于x 为偶函数时，则 证明： 依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点0变到a

2:()L y y x =从点a -变到0(0)a >.

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 对右端第2个积分，令x t =-，有 因此有

故1）当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时，有 2）当(,)P x y 在L 上关于x 为偶函数时，有

注1 对于(,)L

Q x y dy ?有类似2的结论。

注2 定理1与定理2虽然都是对坐标x 的曲线积分，但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x 轴而言的，而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对

y 轴和x 轴而言的。另外，被积函数

(,)P x y 的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理2的结论恰好与定理1相反，定理2用口诀

简言之是：“同g 对g 奇g 零g 倍”。其中“同”指

12,L L 分别在x 轴的投影方向相同，“对”指L 关于y

轴对称“奇”指被积函数(,)P x y 关于x 为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同g 对g 偶g 倍”的涵义类似解释。

例4 计算

L

I xydx

=?.其中L 为抛物线

2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一段弧。

解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反g 对g 奇g 倍”的结论，故有

1

4

225L

I xydx ===

??，

其中，

1:L y =，x 从点0变到1.

例 5 计算

222()(sin )L

I x y dx x y y dy

=+-+?其L 为

222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周。

解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即

2222()2(sin )L

L

L

I x y dx xydx x y y dy

=+--+???，

依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同g 对g 偶g 倍”、“同g 对g 奇g 零”及及定理1的注1中“反g 对g 偶g 乘g 零“的结论，故有

其中，

1:L y =，x 从点a 变到0.

利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分

斯托克斯（Stokes ）公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧，若沿L 行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L 正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L 的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示。 定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R 在S （连同L ）上连续， 且有一阶连续偏导数，则

L

Pdx Qdy Rdz

=++?? （2）

其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定。 公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。

证明： 先证

,L S

P P

dzdx dxdy Pdx z y ??-=?????? （3）

其中曲面S 由方程(,)z z x y =确定，它的正侧法线方向数为{}

,,1x y z z ''--，方向余弦为{}cos ,cos ,cos αβγ，所以cos cos ,,

cos cos Z Z x y αβ

γγ??==-??

若S 在xy 平面上投影区为xy

D ，L 在xy 平面上的投影曲线记为Γ，现由第二类曲线积分定义及格

林公式有

因为(,,(,)),

P P z

P x y z x y y

y z y ????=???? 所以

(,,(,))()xy xy

D D P P z

P x y z x y dxdy dxdy y y z y ????-=-+??????

??

由于cos ,

cos z y

βγ?=-?从而 综合上述结果，便得所要证明的（3）式。

同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时，可得

L S

Q Q dxdy dydz Qdy x z ??-=?????? （4）

和

L S

Q R dydz dydz Rds x z ??-=?????? （5）

将（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。

如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出，则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。 为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：

例1，

()()(),

C

y z dx z x dy x y dz -+-+-?

其中C 为椭圆

若从轴ox 正向看去，此椭圆是依次反时针方向进行的。

解：椭圆如图所示，把平面1x z

a h +=上C 所包围的区域记为S ，则S 的法线方向为

{},,h o a ，

注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的，可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角，因此， 于是由斯托克斯公式知

例2

222222()()()C

y z dx x z dy x y dz

+++++?

，式中C 是曲线

此曲线是如下进行的：由它所包围在球

222

2x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示。 解： 注意到球面的法线的方向余弦为 由斯托克斯公式有

由于曲面S 关于oxz 平面对称，y 关于y 是奇函数，有 于是

结束语

第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法，是多元函数积分重要分支。本文

不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算，而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分

之间的联系，对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。