数学试卷 第1页(共16页) 数学试卷 第2页(共16页)
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
参考公式:
● 如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B ?=+. ● 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =.
● 棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高. ● 棱锥的体积公式13
V Sh =,其中S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.设全集为R ,集合{}|02A x x =<<,{}|1B x x =≥,则()R A C B ?= ( )
A .{}|01x x <≤
B .{}|01x x <<
C .{}|12x x ≤<
D .{}|02x x <<
2.设变量x ,y 满足约束条件5,
24,1,0,
x y x y x y y +≤??
-≤??
-+≤??≥?则目标函数35z x y =+的最大值为 ( )
A .6
B .19
C .21
D .45
3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为
( )
A .1
B .2
C .3
D .4 4.设x R ∈,则“11
22x -<”是“31x <”的
( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.已知2log a e =,ln2b =,1
2
1
log 3
c =,则a ,b ,c 的大小关系为
( )
A .a b c >>
B .b a c >>
C .c b a >>
D .c a b >>
6.将函数sin 25y x π?
?=+ ??
?的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数( )
A .在区间35,44ππ??????上单调递增
B .在区间3,4ππ??
????
上单调递减
C .在区间53,42ππ??????上单调递增
D .在区间3,22ππ??
????上单调递减
7.已知双曲线()222210,0x y
a b a b
-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双
曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且
126d d +=,则双曲线的方程为
( ) A .22
1412x y -=
B .22
1124x y -= C .22139
x y -=
D . 22
193
x y -=
8.如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ?的最小值为
(
)
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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A .
2116
B .
32
C .
2516
D .3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填写在题中横线上) 9.i 是虚数单位,复数
6+712i
i
=+ . 10.
在5
x ? ?
的展开式中,2
x 的系数为 .
11.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心
分别为点E ,F ,G ,H ,M (如图),则四棱锥M EFGH -的体积为 .
12.已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ,
直线1,3x y ?=-+
????=-??
(t 为参数)与该圆相交于A ,
B 两点,则AB
C △的面积为 .
13.已知,a b R ∈,且360a b -+=,则1
28
a b +的最小值为 .
14.已知0a >,函数()222,0,
22,0.
x ax a x f x x ax a x ?++≤?=?-+->??若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互
异的实数解,则a 的取值范围是 .
三、解答题:共80分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知
sin cos 6b A a B π?
?=- ??
?.
(1)求角B 的大小;
(2)设2a =,3c =,求b 和()sin 2A B -的值.
16.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望; ②设A 为事件“抽取的3人,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.
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17.(本小题满分13分)如图,AD BC ∥且2AD BC =,AD CD ⊥,
EG AD ∥且EG AD =,CD FG ∥且2CD FG =,DG ⊥平面ABCD ,2DA DC DG ===. (1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证:MN ∥平面CDE ; (2)求二面角E BC F --的正弦值;
(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60?,求线段DP 的长.
18.(本小题满分13分)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为()
n S n N *∈,{}n b 是等差数列.已知11a =,322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式.
(2)设数列{}n S 的前n 项和为()
n T n N *∈, ①求n T ; ②证明()()()
()2
212
2122n n
k k k k T b b n N k k n ++*=+=-∈+++∑.
19.(本小题满分14分)设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭
,点A 的坐标为(),0b
,且FB AB ?=(1)求椭圆的方程. (2)设直线l :()0y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .
若
4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点),求k 的值.
20.(本小题满分14分)已知函数()x f x a =,()log a g x x =,其中1a >. (1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间;
(2)若曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()
22,x g x 处的
切线平行,证明()122lnln ln a
x g x a
+=-
; (3)证明当1e
a e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学答案解析
一、选择题 1.【答案】B
【解析】由于{}|1R C B x x =<,所以(){}|01R A C B x x ?=<<. 【考点】集合的运算. 2.【答案】C
【解析】作出不等式组5,
24,1,0
x y x y x y y +≤??-≤?
?-+≤??≥?所表示的可行域,其是由
()()()()()0,0,
2,0,3,2,2,3,0,1O A B C D 围成的五边形区域(包括边界)
,对于目标函数35z x y =+,结合图象可知过点C 时取得最大值,最大值为32+53=21??. 【考点】简单的线性规划. 3.【答案】B
【解析】模拟程序框图的运行,输入20,2,0N i T ===,此时
10N
i =是整数,则有011,213T i =+==+=,此时不满足条件5i ≥;接下来有20
3N i =不是整数,则有
314i =+=,此时不满足条件5i ≥;接下来有5N
i
=是整数,则有112,41T i =+==+=,此时满足条件5i ≥,结束循环,输出2T =.
【考点】算法的程序框图. 4.【答案】A 【解析】由1122x -
<解得01x <<,由31x <解得1x <,则知“11
22
x -<”是“31x <”的充分不必要条件.
【考点】不等式的求解、充分必要条件的判定.
5.【答案】D
【解析】根据函数的图象与性质可知1
2222
1
log log 3log log 21ln ln 23
e e =>>==>,故有c a b >>.
【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质. 6.【答案】A
【解析】将函数sin 25y x π?
?=+ ???
的图象向右平移10π个单位长度得到
sin 2sin 2105y x x ππ??
??=-+= ????
???,由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,解得
,4
4k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤+
∈,当1k =
时,则知函数在区间35,44ππ??
????
上单调递增. 【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质. 7.【答案】C
【解析】由双曲线的离心率2c
e a
=
=,可得2c a =,则知b =,将2x a =代入双曲线2
2
2213x y a a
-=,可得3y a =
±,设点()()2
,3,2,3A a a B a a -,双曲线的一条渐近线0y +=
,
可得1d =
=
,2d ==,
所以126d d +=
==,解得a =,故双曲线的方程为22
139
x y -=.
【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式. 8.【答案】A
【解析】如图,连接AC ,以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴
建立平面直角坐标系,则有点()31,0,2A B ? ??
,由于
,,
1A B B
C A
D C D A B A D ⊥⊥==
,则有Rt CDA
Rt CBA ?,由120BAD ∠=?,可得60CAD ∠=?,则
有CD ,
设点(
)0,,,3E y y ?∈?,则有
()2
3
3
33
211,,
2
2
24
16A E B E y y y y ??
??
??
=-?--=-=- ? ?? ? ???
?
?
??
?
,则知当y =
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时,AE BE ?的最小值为
2116
.
【考点】平面直角坐标系的建立、平面几何图形的性质、平面向量的坐标运算与数量积、
函数的图象与性质. 二.填空题 9.【答案】4i - 【解析】由题可得
()()()()67126+720541212125
i i i i
i i i i +--===-++-. 【考点】复数的四则运算. 10.【答案】
5
2
【解析】由题知展开式中2
x
的项为2
23
2
215
52
T C x x +=??=,则其系数为52.
【考点】二项式定理. 11.【答案】
1
12
【解析】结合空间几何体的性质知四棱锥M EFGH -
,高为
1
2,则四棱锥M EFGH -
的体积为2
111=3212V =????
. 【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积. 12.【答案】
1
2
【解析】将圆的方程配方可得()2
211x y -+=,则其圆心()1,0C ,半径1r =
,由直线
1,3x y ?=-???
?=??
(t 为参数)可得其直角坐标方程为2x y +=,则圆心C 到直线的距离
为d =
,
则AB =,则ABC 的面积为1122
S AB d =??=.
【考点】直线的参数方程、直线与圆的位置关系、弦长公式、三角形的面积公式. 13.【答案】
1
4
【解析】由于360
a b -+=,可得36a b -=-,结合基本不等式可
得33
112222284
a a
b b
--+
=+≥===?=,当且仅当322a b -=,即33a b =-=-时等号成立. 【考点】基本不等式.
14.【答案】()4,8
【解析】由题可设函数()()()()2
20,20,
x ax a x g x f x ax x ax a x ?++≤?=-=?-+->??当0x ≤时,2
1=4a a ?-;
当0x >时,2
2=8a a ?-;根据题目条件可知函数()g x 恰有2个不同的零点(前提
条件是0a >),可以分为以下三种情况:①当12
=0=0?????,
时,解得0a =,不满足条件
0a >,此时无解;②当12
00?>???,
时,解得48a <<,此时函数()g x 的两个零点均为负数;③当12
00???>?,
时,此时无解;综上分析可得48a <<.
【考点】分段函数、函数的图象与性质、函数与方程. 15.【答案】(1)在ABC 中,由正弦定理
sin sin a b A B
=,可得sin sin b A a B =,又由sin cos 6b A a B π??=- ???,得sin cos 6a B a B π??=- ???,即sin cos 6B B π?
?=- ??
?
,可得
tan B =()0,B π∈,可得3
B π
=.
(2)在ABC 中,由余弦定理及2,3,3
a c B π
===
,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故
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b .
由sin cos 6b A a B π?
?=- ??
?,可
得sin A =.因为a c <,
故cos A =.因
此
sin 22sin cos A A A ==,21cos22cos 17
A A =-=. 所以(
)11sin 2sin 2cos cos2sin 27A B A B A B -=-=-=
. 【考点】同角三角函数的基本关系、两角差的正弦与余弦公式、二倍角的正弦与余弦公
式、正弦定理、余弦定理等基础知识.
16.【答案】(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2,由于采用分
层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(1)(i )随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
()()343
3
70,1,2,3k k C C P X k k C -?===. 所以随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望11218412
0123353535357
EX =?
+?+?+?=. (ii )设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;
事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则
A B C =?,且B 与C 互斥.由(i )知()()()()2,1P B P X P C P X ====,故
()()()()6
217
P A P B C P X P X =?==+==
. 【考点】随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等
基础知识.
17.【答案】依题意,可以建立以D 为原点,分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴,y 轴,
z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得
()()()()()()()()
30,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2,0,1,2,0,0,2,0,,1,1,0,22D A B C E F G M N ??
???.
(1)依题意()()0,2,0,2,0,2DC DE ==.
设()0,,n x y z =为平面CDE 的法向量,则000,0,n DC n DE ??=???=??即20,
220,y x z =??+=?
不妨令1z =-,可
得()01,0,1n =-.又3=1,,12MN ??- ???
,
可得00MN n ?=,又因为直线MN ?平面CDE ,所以MN 平面CDE .
(2)依题意,可得()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=-.
设(),,n x y z =为平面BCE 的法向量,则0,=0n BC n BE ??=?????,即0,
220,x x y z -=??-+=?
不妨令1z =,可
得()0,1,1n =.
设(),,m x y z =为平面BCF 的法向量,则0,0,m BC m CF ??=???=??即0,
20,x y z -=??-+=?
,不妨令1z =,可
得()0,2,1m =.
因此有cos ,m n m n m n ?=
=
,于是sin ,m n =. 所以二面角E BC F --
.
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(3)设线段DP 的长为[]()
0,2h h ∈,则点P 的坐标为()0,0,h ,可得()1,2,BP h =--.易
知,
()
=0,2,0DC 为平面ADGE 的一个法向量,
故
cos ,
BP DC BP DC BP DC
h ?=
=
sin 60=?=,解得[]0,2h =. 所以线段DP . 【考点】直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.
18.【答案】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,由1321,2a a a ==+,可得220q q --=.因
为0q >,可得2q =,故1
2
n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d .由435a b b =+,可得134b d +=.由5462a b b =+,可得
131316b d +=,从而11,1b d ==,故n b n =.
(2)(i )由(1),有122112
n
n n S -==--,故
()
()
111
2122122212n
n n k k
n n k k T n n n +==?-=-=-=-=---∑∑.
(ii )因为()()()()()()()()1
1
2
1
222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++?===-++++++++,
所以()()()32432122122222222123243212n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+????
??=-+-++-=
- ? ? ?
+++++??????
∑. 【考点】等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及前n
项和公式等基础知识.
19.【答案】(1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有225
9
c a =,又由222a b c =+,可得23a b =.由
已知可得,FB a AB ==,由FB AB ?=,可得6ab =,从而3,2a b ==.
所以椭圆的方程为22
194
x y +=.
(2
)设点P 的坐标为()11,x y ,点Q 的坐标为()22,
x y .由已知有120y y >>,故
12sin PQ AOQ y y ∠=-,又因为2
sin y
AQ OAB =∠,而4
OAB π∠=,
故2AQ =,
由AQ
AOQ PQ =∠,可得1259y y =. 由方程组22,
1,9
4y kx x y =??
?+=??消去x ,可得1y
=,易知直线AB 的方程为20x y +-=,
由方程组,20,
y k x
x y =??+-=?消去x ,可得221k y k =+,由1259y y =,可得
()514k +=两边平方,整理得25650110k k -+=,解得1
2
k =或1128k =.
所以k 的值为
12或1128
. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. 20.【答案】(1)由已知,()ln x h x a x a =-,有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=,解得0x =.
由1a >,可知当x 变化时,()h x ',()h x 的变化情况如下表:
所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞,单调递增区间为()0,+∞.
(2)由()ln x f x a a '=,可得曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由
()1ln g x x a
'=
,可得曲线()y g x =在点()()22,g x x 处的切线斜率为21
ln x a .因为这
两条切线平行,所以有121ln ln x a a x a
=,即()12
2ln 1x x a a =,两边取以a 为底的对数,
得21log 2log ln 0a a x x a ++=,所以()122lnln ln a
x g x a
+=-.
(3)曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线为1l :
()111ln x x y a a a x x -=?-.曲线()y g x =在点()22,log a x x 处的切线为2l :()2221
log ln a y x x x x a
-=
-. 要证明当
1
e
a e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线,
只需证明当1e
a e ≥时,存在()()12,,0,x x ∈-∞+∞∈+∞,使得1l 与2l 重合. 即只需证明当1
e
a e ≥时,
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方程组1
11212
1ln ,ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ?=??
??-=-??
①②有解.
由①得()
1
22
1
ln x x a a =,代入②,得 111112lnln ln 0.ln ln x x a a x a a x a a
-++
+=③ 因此,只需证明当1
e
a e ≥时,关于1x 的方程③存在实数解. 设函数()12lnln ln ln ln x x a
u x a xa a x a a
=-++
+
, 即要证明1e
a e ≥时,函数()y u x =存在零点.
()()2
1ln x u x a xa '=-,可知(),0x ∈-∞时,()0u x '>;()0,x ∈+∞时,()u x '单调递增,
又()()()21
ln 21010,10ln a u u a a ??''?
?=>=-< ???,故存在唯一的0x ,且00x >,使得()00u x '=,
即()02
01ln =0x a x a -.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增,在()0,x +∞上单调递减,
()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .
因为1
e
a e ≥,所以lnln 1a ≥-, 所
以
()()
0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ln 0.
ln ln ln ln ln x x a a a a u x a x a a x x a a a a
x a +=-++
+=++≥≥
下面证明存在实数t ,使得()0u t <. 由(1)可得1ln x a x a ≥+, 当
1
ln x a
>
时,有
()()()()2
212lnln 12lnln 1ln 1ln ln 1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a
≤+-++
+=-++++, 所以存在实数t ,使得()0u t <.
因此,当1
e
a e ≥时,存在()1,x ∈-∞+∞,使得()10.u x =
所以当1e
a e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线. 【考点】导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基
础知识和方法.