2019年北京卷文科数学高考真题
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。
(1)已知集合A={x|-1
(2)已知复数z=2+i ，则=
(A)
(B)
(C) 3 (D) 5
(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是 (A)
y =x
12
(B) y =2-x
(C) 12
log y x
(D) y =
1x
(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
(5)已知双曲线x 2
a
2-y 2=1(a >) ，则a=
(A)
(B) 4 (C) 2 (D)
12
(6) 设函数f (x )=cos x +b sin x （b 为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）即不充分也不必要条件
(7) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足
m 2-m 1=5
2lg E 1E 2
，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k = 。已知太阳的星等是
-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）10.1
10
（B ）10.1 （C ）lg10.1
（D ）10.1
10
-
(8) 如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，
图中阴影区域的面积的最大值为
（A ）4β+4cosβ （B ）4β+4sinβ （C ）2β+2cosβ
（D ）2β+2sinβ
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
（9）已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m = _____。
（10）若 x,y 满足
则y-x 的最小值为______,最大值为_____。
（11）设抛物线的焦点为F ，准线为l 。则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程_____。
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为_____。
（13）已知ι,m 是平面α外的两条不同直线。给出下列三个论断：
ι⊥m
m//α
●ι⊥α
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写
A
B
P
出一个正确的命题: _____。
（14）李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,
价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%。
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元；
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_____。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=3，b-c=2，cos B=-1
2
．
（Ⅰ）求b,c的值；
（Ⅱ）求sin(B+C)的值；
（16）（本小题13分）
设a
n
{}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.
（Ⅰ）求a
n
{}的通项公式；
（Ⅱ）记a
n
{}的前n项和为S n，求S n的最小值.
（17）（本小题12分）
改革开放以来，人们的支付方式发生巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅱ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元。结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
(18)（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，地面ABCD为了菱形，E为CD的中点。
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（II）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（III）棱PB上是否存在点F，似的CF//平面PAE？说明理由。
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=的右焦点为（1,0），且经过点A（0,1）。
（I）求椭圆C的方程：
（II）设O为原点，直线l：y=kx+t(t ≠ ±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证直线l经过定点。
（20）（本小题14分） 已知函数f x ()
=
14
x 3-x 2
+x . （I ）求曲线()y f x = 的斜率为1的切线方程； （II ）当[2,4]x ∈- 时，求证6()x f x x -≤≤ ；
（III ）设()|()()|(R)F x f x x a a =-+∈ ，记()F x 在区间[-2,4]上的最大值为()M a . 当()M a 最小时，求a 的值