导数与不等式证明

二轮专题(^一) 导数与不等式证明

【学习目标】

1.会利用导数证明不等式?

2.掌握常用的证明方法.

【知识回顾】

一级排查：应知应会

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明

问题.比如要证明对任意x ［a,b］都有f(x)_g(x)，可设h(x) = f (x) — g(x)，只要利用导数说明h(x)在［a,b］上的最小值为0即可.

二级排查：知识积累

利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：

(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式?

(2)多用分析法思考.

(3)对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明?例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等?要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式?

(4)常用方法还有隔离函数法，f(X)min -g(X)max，放缩法(常与数列和基本不等式一起考查)，换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.

(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来?

三极排查：易错易混

用导数证明数列时注意定义域.

【课堂探究】

一、作差(商)法

例1、证明下列不等式:

①e x_x 1

④ Inx _ 2(x-1) (x _1)

⑤ sin x 2x,x (0,

x +1

二、利用f (X)min - g(X)max证明不等式

1 2 e 例2、已知函数 f(x)二 ax b-(a 1)Inx,(a,b R), g(x) x .

x e 2

(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值；

(2)在(1)的条件下，求证：对任意的x1,x^ [e,e2]，总有f(xj .g(x2).

— 1 2 变式：证明：对一切x ? (0, ?：：)，都有ln x x 「成立.

e ex

三、构造辅助函数或利用主元法

例3、已知m,n为正整数，且1 ：：： m ：：： n,求证：(1 m)n (1 n)m .

变式：设函数 f(x)=l nx， g(x)=2x-2 ( x_1).

(1)试判断F(x) =(x2 1)f(x) -g(x)在定义域上的单调性;

(2)当 0 ：：a ::: b 时，求证 f(b)-f(a) 警一?.

a +b

四、分析法证明不等式

例4、设a 1，函数f (x) ^(1 x 2)e x - a.若曲线y= f (x)在点P 处的切线与x 轴平行,

且在点M (m, n)处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明:

变式：已知函数 f(x) =x 2l nx .

(I)求函数f (x)的单调区间；

(n)证明：对任意的t ■ 0，存在唯一的s ，使t =f(s).

(川)设(n)中所确定的 s 关于t 的函数为s =g(t)，证明：当t e 2时，有2 ：：：旦也：：：丄.

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