1. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满
足2
1
,0==?
（1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。 6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则),(),,3(t s PQ t CP -==
由0=?PQ CP 得3s —t 2
=0……………………………………………………①
又由MQ PM 21=
得),(2
1
),(y x s t y x --=- ???
????
-=--=∴)(21)(21y t y x s x ， ?????==∴y t x s 233……………………………………②
把②代入①得2)23
(9y x -=0，即y 2=4x ，又x ≠0
∴点M 的轨迹方程为：y 2=4x （x ≠0） （2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则
设),4
(),,4(22
2121y y
B y y A ，则由0=?OB OA 可得
016
212
2
2
1=+y y y y 解得1621-=y y 又2
1212
2124
4
4y y y y y y k AB +=--=
则直线AB 的方程为：)4
(42
1211y
x y y y y -+=-
即2
1212
1214)(y x y y y y y y -=--+把1621-=y y 代入，化简得 令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0） 答，存在点H （4，0），满足题意。
2. 设j i R y x
,,,∈为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量，若向量
8,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y i x a
且.
(1)求点M （x,y ）的轨迹C 的方程；
(2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点，设+=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
2. (1)8),2,(),2,(=+-=+=b a y x b y x a
且
即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8,
∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为
112
162
2=+x y . (2)由题意可设直线l 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=，
由???
??==
+=112
16322x y kx y 消去y 得：(4+3k)x 2 +18kx-21=0.
此时，△=(18k)2-4(4+3k 2
(-21)>0恒成立，且???
????
+-
=+-=+22122134213418k x x k k x x
由+=知：四边形OAPB 为平行四边形.
假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则00,=?⊥即 .
因为),(),,(2221y x y x ==，所以02121=+y y x x ， 而9)(3)3()3(212122121+++=+?+=x x k x x k kx kx y y ，
故0
9)3418(3)3421)(1(2
22=++-++-
+k k k k k ，即45,1852
±==k k 得. 所以，存在直线l ：34
5
+±
=x y ，使得四边形OAPB 为矩形. 3. 一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点
)0,1(2F ．
（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点
Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．
12. （Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则
211-=+m n 且032
212=+--?n
m ． 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52
,59(-．
（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义，
得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05
2
()159(22=-+--=，
2=∴a ，112=-=b ．
∴所求椭圆方程为12
22
=+y x ． （Ⅲ）22
=c
a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．
则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．
22221)
2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， 令2
2)2(2
2)(-++=
t t t t f )22(<<-t ，则3
422)
2()
86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--?++--?+='t t t t t t t t t f ， 当0)(,
3
4
2<'-<<-t f t ，0)(,23
4
>'<<-
t f t ， 3
4
-=t ，0)(='t f ．
∴ )(t f 在3
4
-=t 时取得最小值．
因此，
21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3
1,34(-．
注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点Q )3
1
,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心
4. 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249
-
=y ，且离心率e 满足3
2，e ，3
4
成等比数列. (1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2
1
-=x 平分若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
4. （1）∵34,,32e 成等比数列 ∴34322?=e 23
2
=e
设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
99,3222
4
9)22(2222=+=+++y x y y x 化简得 即1922
=+y x 为所求的椭圆方程.
（2）假设l 存在，因l 与直线2
1
-=x 相交，不可能垂直x 轴
因此可设l 的方程为：m kx y +=由
0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①
方程①有两个不等的实数根
∴090)9)(9(44222222<-->-+-=?k m m k m k 即 ②
设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9
22
21+-=
+k km
x x
∵线段MN 恰被直线21
-=x 平分 ∴19
2221221
-=+-+=-k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29(
22
2<+-+k k
k ∵092
>+k ∴22
9104k k
+-< ∴32
>k 解得3>k 或3-2,2()2,3(π
πππ
5. 已知向量(,3),(1,0),(3)(3)a x y b a b a b ==+⊥-且.
（Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当AM AN =时，求实数m 的取值范围。 5. 由题意得：
（II ）由22
13
y kx m
x y =+???+=??得222
(31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴?>，即2231m k <+ ①
（1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则
又22311
,,2313m k AM AN AP MN m k mk k
++=∴⊥-
=-=+则即 ②. 将②代入①得22m m >，解得02m <<, 由②得2211
0,32
m k m -=
>>解得 ,
故所求的m 取值范围是1
(,2)2
（2）当0k =时，22,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得
6. 设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)
0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.
（I ）证明：2
2
2
313k k a +>；
（II ）若OAB ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.
6. 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11
)1(-=
+=y k
x x k y 可化为 将x a y x y k
x 消去代入,311
222=+-=
，得 .012)31(
2
22
=-+-+a y k y k
① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得
3)31
(
,0)1)(31(4422222>+>---=
?a k
a k
k 整理得， 即.3132
2
2
k
k a +> （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得2
21312k k
y y +=
+ 因为212,
2y y -==得，代入上式，得.3122
2k k
y +-=
于是，△OAB 的面积 ||2
3
||||21221y y y OC S =-?=
其中，上式取等号的条件是.3
3,132±
==k k 即 由.33
,31222
2±=+-=
y k
k y 可得 将3
3
,3333,3322=-=-==
y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x
7. 如图，已知⊙O '：()2
228x y ++=及点A ()2,0，在 ⊙O '上任取一点A ′，连AA ′并作AA ′的中垂线l ，设l 与直线O 'A ′交于点P ，若点A ′取遍⊙O '上的点. （1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点,且O N O M λ''=,则当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围.
7. (1) ∵l 是线段A A '的中垂线，∴PA PA '=,
∴||PA|－|P O '||=||P A '|－|P O '||=|O 'A '|=即点P 在以O '、A 为焦点，以4为
焦距，以C 的方程为22
122
x y -=.
(2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则直线m 的方程为(2)y k x =+,则由O N O M λ''=,得
21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由22
(2)
2
y k x x y =+??
-=?,得222(1)420k y ky k --+=.∴
2
1241k k
y y -+=
,22
1221k
k
y y -=
,22222168(1)8(1)0k k k k k ?=--=+>.
由21y y λ=,2
1241k k
y y -+=
,22
1221k
k
y y -=
,
消去12,y y ,得2
2
8(1)
1
12k
λλ
λ
λ+-=
=+
+.∵6λ≥,函数1
()2g λ
λλ=+
+在[6,)+∞上单调递增.
∴
2
814916
6
62k
-≥++=
,2
149
1k
≤<，所以 17
1k -<≤-或17
1k ≤<.
故斜率k 的取值范围为11
7
7
(1,][,1)--.
8. 如图，已知⊙O '：()2
22
640x y m m m ??++=> ? ???
及点M 60,
m ?
?
? ??
?
，在 ⊙O '上任取一点M ′，连M M ′，并作M M ′的中垂线l ，设l 与O 'M ′交于点P ， 若点M ′取遍⊙O '
上的点.
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点
D .若2,AD DB OAB =?求的面积取得最大值时的椭圆方程．
8. (1) ∵l 是线段MM '的中垂线，∴
PM PM '=,
∴
|PM|+|P O '|=|P M '|+|P O '|=|O 'M '|=2m ()0m >.
即点P 在以O '、M 为焦点，以
26
m 为焦距，以2m 为长轴长的椭圆上，故轨迹C 的方程为22
2213
y x m m
+=，
即2223x y m +=.
（2）由 (1)y k x =+(0)k ≠得1
1.x y k
=
- 将11x y k =
-代入2223x y m +=消去x ，得 22236
(1)30.y y a k k
+-+-= ①
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得
222363
4(1)(3)0,
m k k
?=-+->整理得2
23(1)3m k
+>，即222
3.3k m k >+ 设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122
63k
y y k +=
+. ∵2,AD DB =而点(1,0)D -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+，所以122y y =-，
代入上式，得22
6.3k
y k -=
+ 于是，△OAB 的面积 12213||||||2
2
S OD y y y =?-
=29||3k k =
≤=+ 其中，上式取等号的条件是23,k =
即k =
由22
6.3k
y k -=
+
可得2y =.
将2k y =
2k y ==215.a = ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y += 第三组：数列不等式
一．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式；
（2）设11+=
n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2
1
解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：
12
12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所
以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n
（2）)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ，所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n
n n a a S +=. (1) 求证：22
14
n n n a a S ++<；
(2)
a a ，又由条件n n n S a a 22
=+有112
12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得
0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=
所以， n n a n =-?+=)1(11，(1)
2
n n n S +=
所以4
2)1(212)1(2
1
2
22++=++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+2
1
2)1(2
+<
+<
n n n n ，所以 2
12
2312-=
+=
+n S n n ；2
2
2)1(2
2
22
121n n S n n n S S S =+=+++>
++
2．放缩后成等比数列，再求和
例．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ?+≥--)1()(2；
（2）等比数列{a n }中，11
2
a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成
等差数列．设n
n n a a b -=12
，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1
3．
解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2．
当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是
n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．
（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981
2
a q a =
=-． ∴n n a )2
1
(-=． n
n n n
n n b 2
31
)2(41)2
1(141?≤--=
--=
．
∴n n b b b B ++=2131)211(31211)
211(213123123123122<-=--?
=?++?+?≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2
1(1 =+
=+n a n
a n n n ．求证： 证明：因为n n n a n
a )2
1(1+
=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即02
1>=
-+n n n n a n
a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=
-+，累加得：1
212
1
2221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=
n n n S ，所以n n n S 2
1
22212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以12
13-+-≥n n n a ， 故得1
12
1
3-++-
≥>n n n n a a ． 4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数
63=a ．
（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；
