北理工随机信号分析实验报告
北理工随机信号分析实验报告
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
本科实验报告实验名称：随机信号分析实验
课程名称：随机信号分析实验实验时间: 任课教师: 实验地点：
实验教师：
实验类型: □原理验证□综合设计□自主创新
学生姓名：
学号/班级:
组
号: 学
院：
同组搭档：专
业：
成绩：
实验一 随机序列的产生及数字特征估计
一、实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理
１、随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列(样本值序列）。进行随机信号仿真分析时,需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时,通常利用数学方法产生随机数,这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的,这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性,但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的,与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(０，１）均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[０,1］区间上的均匀分布，即 Ｕ(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：
)(m od ,110N ky y y n n -=
N y x n n /=
序列{}n x 为产生的(0,1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数:
1、10
N 10,k 7==，周期7510≈?; 2、（IBM 随机数发生器）3116
N 2,k 23,==+周期8510≈?； 3、(ran ０）315
N 21,k 7,=-=周期9210≈?； 由均匀分布随机数,可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(０，1)均匀分布随机变量,则有
)(1R F X x -=
由这一定理可知，分布函数为Ｆ
Ｘ (ｘ)的随机数可以由(0,１）均匀分布随机数按上式
进行变换得到。 ２、ＭＡＴLAB 中产生随机序列的函数
（1)(0，1)均匀分布的随机序列
函数：r ａnd
用法：x ＝ r ａnd(ｍ,n)
功能:产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2）正态分布的随机序列
函数：r ａndn
用法:x ＝ ｒandn （m,n)
功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从2
N(,)μσ分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
(3）其他分布的随机序列
M ＡTL ＡＢ 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数,下表列出了部分函数。
MATLAB 中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程,可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (ｎ)为遍历过程,样本函数为x （n)，其中ｎ=0,1,2,…，N －1。那么，Ｘ (ｎ）的均值、方差和自相关函数的估计为
利用ＭATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
(1）均值函数
函数：me ａn
用法：ｍ = ｍean(x)
功能：返回按上面第一式估计X (n）的均值,其中ｘ为样本序列ｘ(n)。
(２)方差函数
函数：ｖar
用法:siｇｍa２= vaｒ(x)
功能：返回按上面第二式估计X （n)的方差，其中x为样本序列x(n),这一估计为无偏估计。
(３）互相关函数
函数:xcorr
用法:c ＝xcｏrr(ｘ,y)
c = xcｏｒr(x）
c= xcorｒ(ｘ,y,'oｐｉtiｏn')
c = ｘcorr（x,'opition＇)
功能:xcorr(x,y）计算X(n)与Y(n)的互相关,ｘｃorr(x)计算X (n)的自相关。
option 选项可以设定为:
＇biasｅｄ'有偏估计,即
'ｕｎｂｉａsed' 无偏估计,即按上面第三式估计。
'coefｆ' m＝0 时的相关函数值归一化为1。
'noｎe' 不做归一化处理。
三、实验内容
１、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个,计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。
nuｍ=inｐut(＇ｎum=＇);
n=２^31;
k＝2^1６＋3;
y＝zｅros(１，num);
ｘ＝zeros(1,nｕｍ);
ｙ(1)=１;
for i=2:nuｍ
ｙ(ｉ)＝mod(ｋ＊y(ｉ-1),nｕm);
end
ｘ=y/nｕｍ;
m=mean(x）;
si=var(x）;
plot(x，'ｋ');
xｌabel（'ｎ');
ylaｂel('x(n）＇)；
aｘis tigｈｔ;
已知理论值均值为0.5 方差为０.０83３
Nｕm=100０
m =
0．４900
>> si
ｓi=
0.083４
ＮUM＝5000
m
m ＝
0.4９５0
＞> si
ｓi ＝
０.0834
Ｎum ＝3000
ｍ
m ＝
0.4８33
>＞ si
ｓi ＝
0.0832
Num ＝50０0
m
m =
0.4980
>> si
si ＝
0.0８３3
2、参数为λ的指数分布的分布函数为
x x e F λ--=1
利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数10０0 个,测试其方差和相关函数。
Ｒ＝rand （１,1000);
lambda=0.５;
x=-loｇ(1-R)/lａmbda;
Dx＝vaｒ(x);
［Rｍ，m]＝xcoｒr(x）;
subploｔ(211）;
plot(x，'k');xlaｂel(＇ｎ＇);ｙlabeｌ('x(n)');axis tighｔ;
subplｏt(21２）;plot(m,Rｍ,'k');ｘlabel('m');ylaｂel('R(m)＇);axｉｓｔig ｈt;
Dx
Dx =
４．0７81
理论上方差的值为1/(0.５^2)=4,实际值为4.１２０1,因为取样个数有限,导致存在一
定偏差。但大体相近。
3、产生一组Ｎ(１,4）分布的高斯随机数（１00０个样本）,估计该序列的均值、方差和相关函数。
x＝nｏｒｍｒnd(１,2,[１,1000]);
Mx=mean(x)；
Ｄx=vａｒ(x);
[Rｍ，m]=xcoｒr(ｘ);
subplot（2１１）;
plot(x，'ｋ');ｘlabel（'n');yｌabel（'x(ｎ）');axｉs tigｈt；
sｕbplot（212);ｐloｔ(m,Rｍ,＇ｋ');xlabeｌ(＇ｍ')；yｌａbｅl('Ｒ(ｍ）')；ax ｉs ｔight;
Mｘ
Ｍx=
1．０９3４
>> Dx
Ｄx =
４.1０71
理论上的均值为１,方差为4。而在实验中得到的均值为1.0９３4，方差为 ４.1071。考虑到取样点有限,误差可以接受,理论值和实验值基本相同。 四、实验体会
本次实验内容是随机序列的产生及数字特征估计,通过实验我学习和掌握随机数的产生方法,比如线性同余法，生成已知分布函数的随机数,ra ｎd 函数等，也实现了对随机序列数字特征的估计,初步达到了实验的预期目的。
实验二 随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
１、学习利用MATLA Ｂ 模拟产生随机过程的方法。
2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MAT ＬＡＢ 实现。
二、实验原理
1、正态分布白噪声序列的产生
ＭATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为ra ｎｄn 。
函数:r ａndn
用法:x ＝ rand ｎ(m,n)
功能：产生ｍ×n 的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从),(2
συN 分布的随机序列,则可以由标准正态随机序列产生。如果N （0,１），则2X ~N(,)μ+σμσ。 ２、相关函数估计
MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。
函数：xcｏrr
用法：c = ｘcorｒ(x，y）
ｃ = xcorr(ｘ）
c = xcorr（x,y,'opiｔioｎ')
c = xcorｒ(x，'opｉtｉon'）
功能:xcoｒｒ(x,ｙ）计算X (n)与Ｙ(n)的互相关,xｃorｒ(x)计算X (ｎ)的自相关。opｔiｏｎ选项可以设定为:
'biasｅd' 有偏估计。
'ｕnbｉaseｄ' 无偏估计。
'cｏefｆ＇ m=0 时的相关函数值归一化为１。
'ｎｏne' 不做归一化处理。
３、功率谱估计
MATLAB 函数perｉｏdogram 实现了周期图法的功率谱估计。
函数:ｐeriodoｇrａｍ
用法:[Pxx，ｗ] = perioｄogram(x)
［Pxx,w] ＝ pｅrioｄoｇraｍ(ｘ,wｉndoｗ）
[Pxx,w］＝peｒｉodogram(ｘ，winｄow，nfft）
[Pxx,ｆ] ＝ｐeriｏｄoｇram(ｘ，wiｎdow,nfft，fs)
perioｄｏgｒaｍ(．..)
功能：实现周期图法的功率谱估计。其中:
Pxx 为输出的功率谱估计值；
f 为频率向量；
w 为归一化的频率向量；
wiｎｄow 代表窗函数,这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计
中因为数据截断产生的截断误差,下图列出了产生常用窗函数的ＭＡTLAB函数。
nfft设定FFT算法的长度;
fs表示采样频率;
三、实验内容
1、按如下模型产生一组随机序列
=-+ω
x(n)0.8x(n1)(n)
其中(n)
ω是均值为１,方差为 4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。
ｙ=1+2*raｎdn（1,2000); ％产生均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列
x(1）=ｙ(1）;
n＝20０0;
for i=2:１:n
x(i）＝0.8＊x(i-1)+ｙ(i）; ％按题目要求产生随机序列x(ｎ)＝0.８x(ｎ-1)＋w（n) end
plｏt(x);%画出随机序列x的图形
title('x(n)');
y=1+2*rａnｄn(１,２00０)；%产生均值为1,方差为４的正态分布白噪声序列
x(１)=y(1);
n=20０0;
ｆorｉ=2：1：n
x(i)=0.８*x(i-１)+ｙ(ｉ); %按题目要求产生随机序列x(ｎ)=0．8ｘ（n－１)+w（n) ｅnｄ
subpｌot(211);
ｃ=xｃorr(x); ％画出x的自相关函数
plｏt(ｃ）;
title(＇R（n)')；
p=peｒiｏdoｇrａm(x)；
subplot(21２);
plｏt(p);％画出x的功率谱
title('S(ｗ）'）;
2、设信号为
其中 12.0,05.021==f f ,)(n w 为正态分布白噪声序列，试在N =25６和N=１０24点时，分别产生随机序列x(n)，画出ｘ（ｎ)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。
（1）N=2５6时
N ＝２56；
w=ran ｄｎ(1,Ｎ）; %产生一长度为２56的随机序列
n=１:1:N;
ｘ=sin(2*pi＊0．05*n)＋2＊ｃos（2＊pｉ＊0.1２*n）+ｗ(n）;
R=ｘｃorr(x）；％求x的自相关函数p=ｐｅriodｏgｒaｍ（x); %求x的功率谱
ｓｕbplot(31１);
pｌot(x); titｌe('x(ｎ）');
subplot（3１２）；
pｌot(R）；
title('R(n)＇);
subploｔ(3１3)；
ploｔ(p);
tｉｔlｅ('S（w)＇)；
（2)Ｎ＝102４时
Ｎ=１02４;
ｗ＝raｎdｎ(1，N); ％产生一长度为256的随机序列
n=1:1:N;
x＝sin(2*pi*0.05*n)＋2*cos（2＊pｉ*0.1２*ｎ)+w(n);
R=xｃoｒｒ（x); ％求x的自相关函数
p＝pｅrioｄogｒam(x)；％求x的功率谱
ｓubplot(311)；
ｐｌoｔ(x); ｔitlｅ(＇ｘ(ｎ）＇);
subploｔ(312)；
ｐlot(R）;
ｔitle('Ｒ(n）'）；
subploｔ(31３);
pｌot(p);
title('S（w)');
四、实验体会
此次试验通过随机过程的模拟和数字特征分析,让我对随机过程、自相关函数、功率谱密度等概念有了更加深刻的认识，我学会了如何使用matlab产生随机序列的自相关函数和功率谱密度的波形。