初二年级数学动点问题归类复习[含例题、练习及答案解析].doc

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优质.参考.资料初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想数形结合思想转化思想

本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题

例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的

长．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

解答：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544EDCDC?????? ，254EC?．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以43PMDMQNDN??．所以34QNPM?，

43PMQN?．

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时3344QNPM?? ．所以319444CQCNQN?????．

②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QNPM??

．所以1531444CQCNQN?????．

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QDDNQPDPDDM????．

在Rt△ABC中，3tan4BACCA???．所以∠QPD＝∠C．

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．

因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时4433PMQN??．所以45333BPBMPM?????．

②如图6，当QC＝QD时，由cos CHCCQ? ，可得5425258CQ???．

所以QN＝CN－CQ＝257488??（如图2所示）．

此时4736PMQN?? ．所以725366BPBMPM?????．

③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP?．

二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题

例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434???xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；

若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

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图1

思路点拨：

1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

解答：

（1）直线434???xy与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．

Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．

在Rt△BNH中，BN＝t，4sin5B?，所以45NHt?．

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

211424(2)22555SOMNHtttt?????????．定义域为0＜t≤2．

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

211424(2)22555SOMNHtttt????????．定义域为2＜t≤5．

图2 图3

②把S＝4代入22455Stt?? ，得224455tt??．

解得1211t?? ，2211t??（舍去负值）．

因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时211t??．

③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5t??，3cos5B?，

所以535tt?? ．解得258t?．

如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5t?．

不存在∠ONM＝90°的可能．

所以，当258t?或者5t?时，△MON为直角三角形．

图4 图5

考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7

三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题

例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1

所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由．

图1 图2

思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．

2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．