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八年级(下)学期3月份月考数学试卷

一、选择题

1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F

是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；

③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ，其中正确的结论是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

3．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判

断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（）

A ．

254

cm B ．

152

cm C ．7cm

D ．

132

5．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点

C ．AC 的中点

D ．C ∠的平分线与AB 的交点

6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（）

A ．6

B ．42

C ．8

D ．10

7．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（） A ．h≤15cm

B ．h≥8cm

C ．8cm≤h≤17cm

D ．7cm≤h≤16cm

8．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ?∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，

C 为圆心，大于

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）

A ．22

B ．4

C ．3

D ．10

9．在ABC ?中，::1:1:2BC AC AB =,则△ABC 是（） A ．等腰三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（）

A ．7

B ．

254

C ．6

D ．

112

二、填空题

11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．

12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．

13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =

，则AC 的长为_________

14．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．

15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.

16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．

17．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．

18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．

19．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．

20．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点

A ，

B 重合），DE ⊥A

C ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．

三、解答题

21．如图，△ABC 和EDC ?都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE

长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．

22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；

（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；

（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．

23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；

（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；

（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．

24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ?；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．

26．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-

（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．

（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．

（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，

64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．

27．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．

（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；

②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．

28．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，

①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.

（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积. 29．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

30．在ABC ?中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.

（1）求CD 的长.

（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.

①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

结合等边三角形得性质易证△ABE ≌△CAD ，可得∠FBG ＝30°，BF ＝2FG ＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】

∵△ABC 为等边三角形

∴∠BAE ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，CD ＝AE ∴△ABE ≌△CAD （SAS ）

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD ＝∠ABE+∠BAD ＝∠CAD+∠BAF ＝∠BAC ＝60°， ∵BG ⊥AD ， ∴∠BGF ＝90°， ∴∠FBG ＝30°， ∵FG ＝1， ∴BF ＝2FG ＝2，

∵∠BEC ＝75°，∠BAE ＝60°， ∴∠ABE ＝∠BEC ﹣∠BAE ＝15°， ∴∠ABG ＝45°， ∵BG ⊥AD ， ∴∠AGB ＝90°，

∴

AB 2=AG 2+BG 2

)2=6．故选C ．【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG 为等腰直角三角形是解题关键．

2．A

解析：A 【分析】

先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出

BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项. 【详解】

解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ， ∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ， ∴

BE ，故①正确；

∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角， ∴∠BHE=∠C ，

又∵在?ABCD 中，∠A=∠C ， ∴∠A=∠BHE ，故②正确；在△BEH 和△DEC 中，

BHE C HEB CED BE DE ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△BEH ≌△DEC ，

∴BH=CD ，

∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD ，

∴AB=BH ，故③正确；

利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.

3．C

解析：C 【分析】

根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；

倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误．【详解】

解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴CD=

AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE ，

∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°， ∴∠BAE=∠CDE ，在△ABE 和△DCE 中，

AB CD BAE CDE AE DE =??

∠=∠??=?

， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确； ∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确； ∵∠AEB+∠BED=90°， ∴∠DEC+∠BED=90°， ∴BE ⊥EC ，故③小题正确； ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴

DE ，

∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，

∴DE ，DE ，

在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=DE ）2+（DE ）2=10DE 2， ∵BE=EC ，BE ⊥EC ， ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2， ∴2EC 2=10DE 2，

解得，故④小题错误，综上所述，判断正确的有①②③共3个．故选：C ．【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．

4．A

解析：A 【分析】

由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值. 【详解】

∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠B=∠D=900，BC=AD,

由翻折得AE=AB=8m ，∠E=∠B=900

,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD ∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF

设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm 在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，

222(8)6x x =-+

254

x cm =

故选择A. 【点睛】

此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.

5．A

解析：A 【分析】

先计算AB 2=2890000，BC 2=640000，AC 2=2250000，可得BC 2+AC 2=AB 2，那么△ABC 是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P 点的位置．【详解】解：如图

∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴活动中心P应在斜边AB的中点．

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．

6．A

解析：A

【分析】

设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+

（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．

【详解】

设CF=x，则AC=x+2，

∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，

∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，

∴AB=6，BC=6+x，

∵∠A=90°，

∴AB2+AC2=BC2，

∴62+（x+2）2=（x+4）2，

解得：x=6，

即CF=6，

故选：A．

【点睛】

考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．

7．C

解析：C

【分析】

筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.

【详解】

当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm

AD 是筷子，AB 长是杯子直径，BC 是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形 ∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm ∴8cm≤h≤17cm 故选：C 【点睛】

本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.

8．A

解析：A 【分析】

连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ???，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ?中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】

解：如图，连接FC ，则=AF FC ．

AD BC ∵∥，

FAO BCO ∴∠=∠．在FOA ?与BOC ?中， FAO BCO OA OC

AOF COB ∠=∠??

=??∠=∠?

，

()FOA BOC ASA ∴???，

3AF BC ∴==，

3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．

在FDC ?中，

90D ?∠=，

222CD DF FC ∴+=， 22213CD ∴+=，

CD ∴=．

故选A ．【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．

9．D

解析：D 【分析】

根据题意设出三边分别为k 、k k ，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC 、AC 边相等，所以三角形为等腰直角三角形．【详解】

设BC 、AC 、AB 分别为k ，k k ，

∵k 2+k 2=k ）2， ∴BC 2+AC 2=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，又BC=AC ，

∴△ABC 是等腰直角三角形．故选D ．【点睛】

本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k 法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．

10．B

解析：B 【分析】

由折叠的性质得出AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】

解：∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ， ∴AD=BD ，

设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中，

∵AC 2+CD 2=AD 2， ∴62+（8-x ）2=x 2，解得x= 254

∴BD=

254．故选：B ．【点睛】

本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．

二、填空题

11．5 【详解】

解：如图，延长AE 交BC 于点F ，

∵点E 是CD 的中点, ∴DE=CE ，, ∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD, ∴AD ∥BC,

∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF, ∴△AED ≌△FEC （ASA ）, ∴AD=FC=5，AE=EF, ∴BF=BC-FC=5, ∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =

+=,

6.52

AE =

= 故答案为：6.5． 12．45 【分析】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可【详解】

如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD

设正方形网络每一小格的长度为1

则根据网络，AB=5，

AD=5，CD=5，BC=5，∴BD=25 其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理 ∴∠CDA=90° ∵AD=DC

∴△ADC 是等腰直角三角形 ∴∠DAC=45° 故答案为：45° 【点睛】

本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD

13．5

【分析】

由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】

解：如图所示，连接BD ，

∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，

∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，

AC=BC ACE=BCD CE=CD ??

∠∠???

∴△ACE ≌△BCD （SAS ），

∴AE ＝BD E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，

∴AB ，

∵，

∴BC ＝

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．

14．【分析】

延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=?，在Rt ABE ?中，利用含30角的直

角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ?中

求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ??=-四边形，计算即可求解．【详解】

解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，

∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=?，AB AC ⊥，BD CD ⊥， ∴60C ∠=°， ∴30E ∠=?，在Rt ABE ?中，

4AB =，30E ∠=?，

∴28BE AB ==，

AE ∴=．

在Rt DEC ?中，

30E ∠=?，CD =

2CE CD ∴==

12DE ∴=，

∴1

ABE S ?=??=

122

CDE S ?=?=

CDE ABE ABDC S S S ??∴=-=四边形．

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15．5 【分析】

设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】

如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x 尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4

在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2 ∴2

(4)10x x =-+ 得x=14.5（尺）故填14.5

【点睛】

此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 16．10 【分析】

先根据勾股定理得出a 2+b 2＝c 2，利用完全平方公式得到（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，再将a +b ＝5c ＝5代入即可求出ab 的值．【详解】

解：∵在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，

∴a2+b2＝c2，

∴（a+b）2﹣2ab＝c2，

∵a+b＝35，c＝5，

∴（35）2﹣2ab＝52，

∴ab＝10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.

17．3

5 5

【详解】

四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．

△BCE的面积是：1

×1×1=

．

则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣1

．

在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=22

2+1=5．

设AC边上的高线长是x．则1

AC?x=

5x=3

，

解得：x=3

．

5 5

18．120 13

【解析】

∵AB=AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴B点，C点关于AD对称，

如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，

则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ?CF=BC ?AD ， ∴CF=

BC AD AB ?=101213?=120

13 故答案为

120

. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.

19．

78．【解析】

∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC 2254-． ∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．

设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，222

3(4)x x +=- ，解得：7

x =

．故答案为：78

． 2025

【解析】

试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即EF=CD=

. 故答案为

. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

三、解答题

21．（132）150°；（313 【分析】

（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即