16年高考数学真题高考题(8套)

2016年高考题全国Ⅰ卷文数题干+解析

1.(2016·全国Ⅰ卷,文1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( B )

(A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}

解析:集合A与集合B公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.

2.(2016·全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( A )

(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3

解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.

3.(2016·全国Ⅰ卷,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一

个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) (A)错误!未找到引用源。(B)错误!未找到引用源。(C)错误!未找到引用

源。(D)错误!未找到引用源。

解析:将4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛,有6种种法,其

中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种,故概率为错误!未找到引用源。,选C.

4.(2016·全国Ⅰ卷,文4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=错误!未找到引用源。,c=2,cos A=错误!未找到引用源。,则b等于( D )

(A)错误!未找到引用源。(B)错误!未找到引用源。(C)2 (D)3

解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×错误!未找到引用源。,解得b=3(b=-错误!未找到引用源。舍去),选D.

5.(2016·全国Ⅰ卷,文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为

其短轴长的错误!未找到引用源。,则该椭圆的离心率为( B )

(A)错误!未找到引用源。(B)错误!未找到引用源。(C)错误!未找到引用源。(D)错误!

未找到引用源。

解析:设椭圆方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)

(-c,0),B(0,b)

F

1

点O到直线l的距离为OM,则OM=错误!未找到引用源。.

所以∠OBM=30°,在△BF

1

O中,错误!未找到引用源。=sin 30°,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

所以e=错误!未找到引用源。.故选B.

6.(2016·全国Ⅰ卷,文6)若将函数y=2sin(2x+错误!未找到引用源。)的图象向右平移错误!未找到引用源。个周期后,所得图象对应的函数为( D )

(A)y=2sin(2x+错误!未找到引用源。) (B)y=2sin(2x+错误!未找到引用源。)

(C)y=2sin(2x-错误!未找到引用源。) (D)y=2sin(2x-错误!未找到引用源。)

解析:因为T=错误!未找到引用源。=π,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

所以y=2sin(2x+错误!未找到引用源。)y=2sin[2(x-错误!未找到引用源。)+错误!未找到引用源。],

所以y=2sin(2x-错误!未找到引用源。).故选D.

7.(2016·全国Ⅰ卷,文7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是错误!未找到引用源。,则它的表面积是( A )

(A)17π(B)18π

(C)20π(D)28π

解析:因为错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。πR3=错误!未找到引用源。π,

所以R=2.

S=错误!未找到引用源。·4π·R2+3·错误!未找到引用源。πR2=17π,故选A.

8.(2016·全国Ⅰ卷,文8)若a>b>0,0

(A)log

a c

b

c (B)log

c

a

c

b

(C)a cc b

解析:由题意令a=4,b=2,c=错误!未找到引用源。.

A选项:log

a c=-错误!未找到引用源。,log

b

c=-1,log

a

c>log

b

c,A错误.

B选项:log

c a=-2,log

c

b=-1,log

c

a

c

b,B正确.

同理C,D选项错误,故选B.

9.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D )

解析:结合图象f(-x)=f(x),函数为偶数,在[0,2]区间内,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x.当00.得出f(x)在(0,错误!未找到引用源。)上为减函数,在(错误!未找到引用源。,2)上为增函数. 故选D.

10.(2016·全国Ⅰ卷,文10)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( C )

(A)y=2x (B)y=3x (C)y=4x (D)y=5x

解析:当x=0,y=1,n=1,

x=0,y=1,x2+y2=1<36,

当n=2时,

x=错误!未找到引用源。,y=2,x2+y2<36,

当n=3时,

x=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,y=2×3=6,x2+y2>36, 输出x=错误!未找到引用源。,y=6,令y=kx,得k=4,

所以y=4x.故选C.

11.(2016·全国Ⅰ卷,文11)平面α过正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

的顶点A,α∥平面CB

1

D

1

,α∩平面

ABCD=m,α∩平面ABB

1A

1

=n,则m,n所成角的正弦值为( A )

(A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:在正方体ABCD A

1B

1

C

1

D

1

中,由题意,直线m∥BD,直线n∥A

1

B,

则△A

1DB为等边三角形,∠DBA

1

=60°,sin 60°=错误!未找到引用源。,

所以m,n所成角的正弦值为错误!未找到引用源。,故选A.

12.(2016·全国Ⅰ卷,文12)若函数f(x)=x-错误!未找到引用源。sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )

(A)[-1,1] (B)[-1,错误!未找到引用源。]

(C)[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。] (D)[-1,-错误!未找到引用源。]

解析:排除法:令a=-1,f(x)=x-错误!未找到引用源。sin 2x-sin x=x-错误!未找到引用源。sin xcos x-sin x,

f′(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。cos 2x-cos x=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(cos x+错误!未找到引用源。)2,

当cos x=1时,f′(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。<0,

因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,

所以f′(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立,

所以a=-1不正确,排除A,B,D.故选C.

13.(2016·全国Ⅰ卷,文13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .

解析:因为a⊥b,

所以a·b=(x,x+1)·(1,2)=x+2x+2=0,x=-错误!未找到引用源。.

答案:-错误!未找到引用源。

14.(2016·全国Ⅰ卷,文14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。,则tan(θ-错误!未找到引用源。)= .

解析:因为θ+错误!未找到引用源。-(θ-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。, 所以(θ-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。.

因为θ在第四象限,

所以sin(θ-错误!未找到引用源。)=-错误!未找到引用源。,

tan(θ-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。.

答案:-错误!未找到引用源。

15.(2016·全国Ⅰ卷,文15)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2错误!未找到引用源。,则圆C的面积为.

解析:因为x2+y2-2ay-2=0,

所以x2+(y-a)2=2+a2,

点(0,a)到直线y=x+2a的距离h=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

2+a2-错误!未找到引用源。=3,

所以a2=2,所以r2=2+a2=4,

圆面积S=πr2=4π.

答案:4π

16.(2016·全国Ⅰ卷,文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则

z=2 100x+900y.

画出可行域.

解得错误!未找到引用源。

所以z=2 100×60+900×100=216 000,

所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元. 答案:216 000

17.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅰ卷,文17)已知{a

n }是公差为3的等差数列,数列{b

n

}满足b

1

=1,b

2

=错误!未找到

引用源。,a

n b

n+1

+b

n+1

=nb

n

.

(1)求{a

n

}的通项公式;

(2)求{b

n

}的前n项和.

解:(1)由已知a

1b

2

+b

2

=b

1

,b

1

=1,b

2

=错误!未找到引用源。,得a

1

=2.

所以数列{a

n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a

n

=3n-1.

(2)由(1)和a

n b

n+1

+b

n+1

=nb

n

得b

n+1

=错误!未找到引用源。,因此{b

n

}是首项为1,公比为错误!未

找到引用源。的等比数列.记{b

n }的前n项和为S

n

,则

S

n

=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。.

18.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅰ卷,文18)如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.

(1)证明G是AB的中点;

(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

解:(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.

因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.

所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.

又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.

(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,

因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.

由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=错误!未找到引用源。CG.

由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=错误!未找到引用源。PG,DE=错误!未找到引用源。PC.

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2错误!未找到引用源。.

在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.

所以四面体PDEF的体积V=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×2×2×2=错误!未找到引用源。.

19.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅰ卷,文19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件,得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n=19,求y与x的函数解析式;

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

解:(1)当x≤19时,y=3 800;

当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.

所以y与x的函数解析式为

y=错误!未找到引用源。(x∈N).

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

错误!未找到引用源。(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000元.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上

的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用

的平均数为错误!未找到引用源。(4 000×90+4 500×10)=4 050元.

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

20.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅰ卷,文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线

C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求错误!未找到引用源。;

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

解:(1)由已知得M(0,t),P(错误!未找到引用源。,t).

又N为M关于点P的对称点,故N(错误!未找到引用源。,t),ON的方程为y=错误!未找到引

用源。x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x

1=0,x

2

=错误!未找到引用源。,因此H(错误!未

找到引用源。,2t),

所以N为OH的中心,即错误!未找到引用源。=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:

直线MH的方程为y-t=错误!未找到引用源。x,即x=错误!未找到引用源。(y-t).

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y

1=y

2

=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直

线MH与C没有其他公共点.

21.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

解:(1)f′(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).

①设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.

所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

②设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

③若a>-错误!未找到引用源。,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;

当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,

所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.

④若a<-错误!未找到引用源。,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递增.

(2)①设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且错误!未找到引用源。

f(b)>错误!未找到引用源。(b-2)+a(b-1)2=a(b2-错误!未找到引用源。b)>0,

所以f(x)有两个零点.

②设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.

③设a<0,若a≥-错误!未找到引用源。,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时

f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-错误!未找到引用源。,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.

综上,a的取值范围为(0,+∞).

22.(本小题满分10分)

(2016·全国Ⅰ卷,文22)(选修4-1:几何证明选讲)

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以☉O为圆心,错误!未找到引用源。OA为半径作圆.

(1)证明:直线AB与☉O相切;

(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.

解:

(1)设E是AB的中点,连接OE.

因为OA=OB,∠AOB=120°,

所以OE⊥AB,∠AOE=60°.

在Rt△AOE中,OE=错误!未找到引用源。AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB 与☉O相切.

(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.

设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.

由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB. 同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.

23.(本小题满分10分)

(2016·全国Ⅰ卷,文23)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,曲线C

1

的参数方程为错误!未找到引用源。(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐

标系中,曲线C

2

: =4cos .

(1)说明C

1是哪种曲线,并将C

1

的方程化为极坐标方程;

(2)直线C

3的极坐标方程为=a

,其中a

满足tan a

=2,若曲线C

1

与C

2

的公共点都在C

3

上,

求a.

解:(1)消去参数t得到C

1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C

1

是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C

1的普通方程中,得到C

1

的极坐标方程为

ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.

(2)曲线C

1,C

2

的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=1,a=1(舍去).

a=1时,极点也为C

1,C

2

的公共点,在C

2

上,

所以a=1.

24.(本小题满分10分)

(2016·全国Ⅰ卷,文24)(选修45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

解:(1)f(x)=错误!未找到引用源。

y=f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=错误!未找到引用源。或x=5,

故f(x)>1的解集为{x|15}.

所以|f(x)|>1的解集为{x x<错误!未找到引用源。或15}.

2016年普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2016·全国Ⅱ卷,文1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B等于( D )

(A){-2,-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2}

(C){1,2,3} (D){1,2}

解析:B={x|-3

2.(2016·全国Ⅱ卷,文2)设复数z满足z+i=3-i,则错误!未找到引用源。等于( C )

(A)-1+2i (B)1-2i

(C)3+2i (D)3-2i

解析:z=3-2i,错误!未找到引用源。=3+2i.故选C.

3.(2016·全国Ⅱ卷,文3)

函数y=Asin(ωx+?)的部分图像如图所示,则( A )

(A)y=2sin(2x-错误!未找到引用源。)

(B)y=2sin(2x-错误!未找到引用源。)

(C)y=2sin(x+错误!未找到引用源。)

(D)y=2sin(x+错误!未找到引用源。)

解析:T=2(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)=π=错误!未找到引用源。得ω

=2,A=2.

当x=错误!未找到引用源。时,y=2sin(2x+?)=2,

错误!未找到引用源。+?=错误!未找到引用源。+2kπ,k∈Z,?=-错误!未找到引用源。+2k π,k∈Z.故选A.

4.(2016·全国Ⅱ卷,文4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )

(A)12π(B)错误!未找到引用源。π(C)8π(D)4π

解析:由题知正方体棱长为2,球的直径为2错误!未找到引用源。,半径R=错误!未找到引用源。,则球的表面积S=4πR2=12π.故选A.

5.(2016·全国Ⅱ卷,文5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=错误!未找到引用源。(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )

(A)错误!未找到引用源。(B)1 (C)错误!未找到引用源。(D)2

解析:由题P(1,2),2=k.故选D.

6.(2016·全国Ⅱ卷,文6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a等于( A )

(A)-错误!未找到引用源。(B)-错误!未找到引用源。(C)错误!未找到引用源。(D)2

解析:同全国Ⅱ理4解析.

7.(2016·全国Ⅱ卷,文7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )

(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π

解析:几何体的表面积为

S=π·2×错误!未找到引用源。+2π·2×4+π22

=8π+16π+4π

=28π.故选C.

8.(2016·全国Ⅱ卷,文8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B ) (A)错误!未找到引用源。(B)错误!未找到引用源。(C)错误!未找到引用源。(D)错误!未找到引用源。

解析:由题至少等15秒遇绿灯的概率为

P=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.故选B.

9.(2016·全国Ⅱ卷,文9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s等于( C )

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34

解析:由输入x=2,n=2.k=0,S=0,a=2,

则S=2,k=1

再输入a=5,得S=17,k=3>n,输出S=17.故选C.

10.(2016·全国Ⅱ卷,文10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( D )

(A)y=x (B)y=lg x

(C)y=2x(D)y=错误!未找到引用源。

解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.

11.(2016·全国Ⅱ卷,文11)函数f(x)=cos 2x+6cos(错误!未找到引用源。-x)的最大值为( B )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

解析:f(x)=1-2sin2x+6sin x

=-2(sin2x-3sin x)+1

=-2[(sin x-错误!未找到引用源。)2-错误!未找到引用源。]+1

=-2(sin x-错误!未找到引用源。)2+错误!未找到引用源。.

当sin x=1时,f(x)

max

=5.故选B.

12.(2016·全国Ⅱ卷,文12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与

y=f(x)图像的交点为(x

1,y

1

),(x

2

,y

2

),…,(x

m

,y

m

),则错误!未找到引用源。x

i

等于( B )

(A)0 (B)m (C)2m (D)4m

解析:由题y=f(x)与y=|x2-2x-3|均关于x=1对称.则两函数交点个数m为偶数.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。×2=m.故选B.

第Ⅱ卷

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.

13.(2016·全国Ⅱ卷,文13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .

解析:由题-2m+12=0,m=6.

答案:6

14.(2016·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件错误!未找到引用源。则z=x-2y的最小值为.

解析:由线性约束条件得可行域如图

则z=x-2y在B(3,4)处取得最小值为3-2×4=-5.

答案:-5

15.(2016·全国Ⅱ卷,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=错误!未找到引用源。, cos C=错误!未找到引用源。,a=1,则b= .

解析:解析:由题sin A=错误!未找到引用源。,sin C=错误!未找到引用源。,

sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C

=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。.

则由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得b=错误!未找到引用源。=错误!未找到

引用源。=错误!未找到引用源。.

答案:错误!未找到引用源。

16.(2016·全国Ⅱ卷,文16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.

解析:设三张卡片分别为A(1,2),B(1,3),C(2,3),由丙得数字和不是5,则丙的卡片可能为A

或B.若丙为A(1,2),则乙为C(2,3),甲为B(1,3)合题,若丙为B(1,3),则甲、乙为相同数字2,不合题.

答案:1,3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅱ卷,文17)等差数列{a

n }中,a

3

+a

4

=4,a

5

+a

7

=6.

(1)求{a

n

}的通项公式;

(2)设b

n =[a

n

],求数列{b

n

}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如

[0.9]=0,[2.6]=2.

解:(1)设数列{a

n }的公差为d,由题意有2a

1

+5d=4,a

1

+5d=3.

解得a

1

=1,d=错误!未找到引用源。.

所以{a

n }的通项公式为a

n

=错误!未找到引用源。.

(2)由(1)知,b

n

=[错误!未找到引用源。].

当n=1,2,3时,1≤错误!未找到引用源。<2,b

n

=1;

当n=4,5时,2≤错误!未找到引用源。<3,b

n

=2;

当n=6,7,8时,3≤错误!未找到引用源。<4,b

n

=3;

当n=9,10时,4≤错误!未找到引用源。<5,b

n

=4.

所以数列{b

n

}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.

18.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅱ卷,文18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;

(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为错误!未找到引用源。=0.55,故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

错误!未找到引用源。=0.3,故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

19.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅱ卷,文19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

(1)证明:AC⊥HD′;

(2)若AB=5,AC=6,AE=错误!未找到引用源。,OD′=2错误!未找到引用源。,求五棱锥D′-ABCFE的体积.

(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,故AC∥EF.

由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,

所以AC⊥HD′.

(2)解:由EF∥AC得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由AB=5,AC=6得DO=BO=错误!未找到引用源。=4.

所以OH=1,D′H=DH=3.

于是OD′2+OH2=(2错误!未找到引用源。)2+12=9=D′H2,

故OD′⊥OH.

由(1)知AC⊥HD′,

又AC⊥BD,BD∩HD′=H,

所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,

所以OD′⊥平面ABC.

又由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得EF=错误!未找到引用源。.

五边形ABCFE的面积S=错误!未找到引用源。×6×8-错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×3=错误!未找到引用源。.

所以五棱锥D′-ABCFE的体积V=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×2错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

20.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅱ卷,文20)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).

(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.

解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

当a=4时,

f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+错误!未找到引用源。-3,

f′(1)=-2,f(1)=0.

曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.

(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x-错误!未找到引用源。>0.

设g(x)=ln x-错误!未找到引用源。,则

g′(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,g(1)=0. (ⅰ)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,

故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0。

(ⅱ)当a>2时,令g′(x)=0得

x 1=a-1-错误!未找到引用源。,x

2

=a-1+错误!未找到引用源。.

由x

2>1和x

1

x

2

=1得x

1

<1,

故当x∈(1,x

2

)时,

g′(x)<0,g(x)在(1,x

2

)上单调递减,因此g(x)<0. 综上,a的取值范围是(-∞,2].

21.(本小题满分12分)

(2016·全国Ⅱ卷,文21)已知A是椭圆E:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2)当2|AM|=|AN|时,证明:错误!未找到引用源。

(1)解:设M(x

1,y

1

),则由题意知y

1

>0.

由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为错误!未找到引用源。.

又A(-2,0),

因此直线AM的方程为y=x+2.

将x=y-2代入错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1得7y2-12y=0.

解得y=0或y=错误!未找到引用源。,

所以y

1

=错误!未找到引用源。.

因此△AMN的面积S

△AMN

=2×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

(2)证明:将直线AM的方程y=k(x-2)(k>0)代入错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1得

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.

由x

1·(-2)=错误!未找到引用源。得x

1

=错误!未找到引用源。,

故|AM|=|x

1

+2|错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

由题设,直线AN的方程为y=-错误!未找到引用源。(x+2),

故同理可得|AN|=错误!未找到引用源。.

由2|AM|=|AN|得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

即4k3-6k2+3k-8=0.

设f(t)=4t3-6t2+3t-8,

则k是f(t)的零点,f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,

所以f(t)在(0,+∞)上单调递增.

又f(错误!未找到引用源。)=15错误!未找到引用源。-26<0,f(2)=6>0,

因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(错误!未找到引用源。,2)内, 所以错误!未找到引用源。

22.(本小题满分10分)

(2016·全国Ⅱ卷,文22)选修41:几何证明选讲

如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.

(1)证明:B,C,G,F四点共圆;

(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.

(1)证明:

因为DF⊥EC,

所以△DEF∽△CDF,

则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

所以△DGF∽△CBF,

由此可得∠DGF=∠CBF.

因此∠CGF+∠CBF=180°,

所以B,C,G,F四点共圆.

(2)解:由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB.

连接GB.

由G为Rt△DFC斜边CD的中点,

知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,

的2倍,即

因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S

△GCB

=2×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×1=错误!未找到引用源。.

S=2S

△GCB

23.(本小题满分10分)

(2016·全国Ⅱ卷,文23)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(1)以坐标原点为极点,x轴为正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

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5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）?A C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A D．当且仅当a≤时，（2，1）?A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=． 11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为． 12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是． 13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在

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A. 等于12- B. 等于0 C. 等于12 D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项 2n x an bn c =++，* n ∈N ，则“存在* k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件 是（ ） A. 0 a ≥ B. 0 b ≤ C. c = D. 20 a b c -+= 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1 364 x y C +=和 22 2:1 9 y C x +=. P 为1 C 上的动 点，Q 为2 C 上的动点，w 是OP OQ ?的最大值. 记 {(,)|P Q P Ω=在1 C 上，Q 在2 C 上，且}OP OQ w ?=，则Ω中元 素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 三. 解答题（本大题共 5题，共

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

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北京市高考数学试卷理科真题详细解析

2017年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题.（每小题5分） 1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数 6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“?＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（每小题5分）

9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 10．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1 =b 1 =﹣1，a 4 =b 4 =8，则= ． 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标 为（1，0），则|AP|的最小值为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为． 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记Q i 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1 ，Q 2 ，Q 3 中最大的是． （2）记p i 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1 ，p 2 ，p 3 中最大 的是． 三、解答题 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

2016年上海市高考理科数学试题及答案

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：

上海高考数学真题及答案

2018年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18 ． 【考点】OM：二阶行列式的定义． 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11 ：计算题． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为：y=± 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）． 【考点】DA：二项式定理． 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 =?x r， T r+1 令r=2，得展开式中x2的系数为=21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． （x+a）．若f（x）的反函数的图4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og 2 象经过点（3，1），则a= 7 ． 【考点】4R：反函数． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． （x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og 2 【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og （x+a）． 2 f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3）， 2 ∴log （1+a）=3， 2 解得a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模． 【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得， 则|z|=． 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D

∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π

2018上海数学高考真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.行列式4125 的值为。 2.双曲线2214 x y -=的渐近线方程为。 3.在（1+x ）7 的二项展开式中，x 2项的系数为。（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒?（），若f x （） 的反函数的图像经过点31（，），则a=。 5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣=。 6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7=。 7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在 0+∞（，）上速减，则α=_____ 8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0）， E ， F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE · BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）

10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ?+1（n ∈N *），前n 项和为S n 。若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数 222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ?? ???，、15Q q ??- ???，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足：221x y +=??，221x y +=??，212x x y y +=??? ，则 的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） （A ）2 2 （B ）2 3 （C ）2 5 （D ）4 2 14.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a 1﹤”的（） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

1992年全国统一高考数学试卷(理科)

1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）

A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2）

2014上海市高考文科数学(理)试题真题含答案(经典打印版)

1 A 1 P C B 2P 3 P A 1 P B 2 P 3 P 4P 5 P 6 P 7P 8 P 2014年上海市高考数学（理科）试题及答案 本试卷共23道试题;满分150分;考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________． 2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ? ?+?= ?? ?___________． 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22195 x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____． 4、设2, (,), (), [,).x x a f x x x a ∈-∞?=?∈+∞? 若(2)4f =, 则a 的取值范围为____________． 5、若实数x ， y 满足1xy =, 则2 2 2x y +的最小值为___________． 6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）． 7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是___． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞ =++ +, 则q =___________． 9、若2 13 2 ()f x x x - =-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是___________． 10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续 3天的概率是________________（结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合2 2 {, }{, }a b a b =, 则a b +=___________． 12、设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0, 2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= ___ 13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为___________． 14、已知曲线:C x =直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得 0AP AQ +=, 则m 的取值范围为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）． 15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）． (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, (1, 2, , 8)i P i =是上底 面上其余的八个点, 则(1 , 2, , 8)i AB AP i ?=的不同值的个数为 （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 17、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组1122 1, 1a x b y a x b y +=??+=?的解的情况是 （ ）． (A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1 , 0. x a x f x x a x x ?-≤? =?++>?? 若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 （ ）． (A) [1,2]- (B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2] 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤． 19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x