电路第四版答案 邱关源 第五章
第五章 含有运算放大器的电阻电路
运算放大器是电路理论中一个重要的多端器件。在电路分析中常把实际运算放大器理想化，认为其（1）输入电阻∞→in R ；（2）输出电阻00=R ；（3）电压放大倍数∞→A 。在分析时用理想运算放大器代替实际运算放大器所引起的误差并不严重，但使分析过程大大简化。
由理想化的条件，可以得出理想运放的两条规则：
（1）侧向端和非倒向端的输入电流均为零，即，0==+?i i （称为“虚断路”）； （2）对于公共端（地），倒向输入端电压u ?与非倒向输入端的电压+u 相等，即+?=u u （成为“虚短路”）。
以上两条规则是分析含有理想运放电路依据，合理的应用这两条规则，并与结点电压法结合起来加以运用，是分析含有理想运放电路的有效方法。
5－1 设要求图示电路的输出o u 为 212.03u u u o +=?
已知?=k R 103，求1R 和2R 。
解：题5－1图所示电路中的运放为理想运放，应用其两条规则，有
解法一：由规则1，0=?i ，得21i i i +=，故 2
2113R u u R u u R u u o ?
???+
?=?? 根据规则2，得0==+?u u ，代入上式中，可得 ）（2
2
113
2
2113R u R u R u R u R u R u o o +=?+=?
代入已知条件，得21311
3
212.03u R R u R R u u +=+
故，?==?==k R
R k R R 502
.0 ; 33.333231
解法二：对结点○1列出结点电压方程，并注意到规则1，0=?i ，可得 2
21133211)111(
R u R u u R u R R R o +=?++? 应用规则2，得0=?u ，所以
)(2
21133
2
113R u
R u R u R u R u R u o o +=?+=?
后面求解过程和结果同解法一。
注：对含有理想运放电路的分析，需要紧紧抓住理想运放的两条规则：○
1“虚断”——倒向端和非倒向端的输入电流均为零；○2“虚短”——对于公共端（地），倒向端的电压与非倒向输入端的电压相等。
5－2 图示电路起减法作用，求输出电压o u 和输入电压1u ，2u 之间的关系。 解：图示电路可用下述两种方法求解。 解法一：由规则1，0==+?i i ，得2413,i i i i == 故
(2) (1) 22
12
112u R R R u R u u R u u o +=
?=
??+?
?
应用规则2且注意到式（2），得 22
12
u R R R u u +=
=+?
代入到式（1）中，有 )()(121
2112u u R R
u u u R R u o ?=+??=??
解法二：用结点电压法，对结点○1和○2列出结点电压方程，并注意到规则1，0==+?i i ，得 (1) 1
)11(
112121R u u R u R R o n =?+ (2) )11(
1222
1R u
u R R n =+
应用规则2，得21n n u u =，且由式（2）知，22
12
2u R R R u n +=
，代入方程式（1）中，有 )()11(121
22212212112u u R R u R R R R R R u R R u o ?=+++?
= 注：简单电路可根据理想运放的两条规则结合KCL 和欧姆定律直接分析（见本题解法一），复杂一些
的电路用结点电压法分析较方便（见本题解法二）。结点电压法分析含有理想运放电路时需注意：独立结点取在理想运放的输入端侧，输出端最好不列结点电压方程，因为理想运放的输出端电流是未知变量。
5－3 求图示电路的输出电压与输入电压之比
1
2
u u 。 解：图示电路较复杂，故采用结点电压法分析。独立结点○1和○2的选取如图所示，列出
结点电压方程，并注意到规则1，0=?i ，可得
)()(232431411252415421=?++?=??+++u G u G G u G u G u G u G u G G G G n n n n
应用规则2，得02=n u ，所以，以上两式变为
24
3
1112515421)(u G G u u G u G u G G G G n n ?
==?+++
把第二式代入第一式中，可得 5
4354214
112)(G G G G G G G G G u u ++++?= 注：本题求解的关键是正确列出结点电压方程。注意列方程时，勿将各结点与输出电压U2之间的
互导项遗漏。
5－4 求图示电路得电压比值
1
u u o
。
解：采用结点电压法分析。独立结点○1和○2的选取如图所示，列出结点电压方程，并注意到规则1，可得 (2) 01
11(
(1) 11)111(5
254113121321=?+=??++o n o o n u R u R R R u
u R u R u R R R
应用规则2，得01=n u ，21n o u u =，又由方程式（2）得 o n u R R R u 5
44
2+=
将以上关系式均代入到方程式（1）中，有
1)(1135424R u
u R u R R R R o o =?+?
故
)
()
(435242154321R R R R R R R R R R R u u o +++?= 注：本题求解中，Uo1只是一个中间变量，由于它在第一个运放的输出端，故无需对它列出结点电
压方程。``
5－5 求图示电路的电压比
s
o
u u 。
解法一：采用结点电压法分析。独立结点○
1和○2的选取如图所示，列出结点电压方程，并注意到规则1，可得 01
)11(1
)111(
4
243311
231321=?++?=?++o n n s n n u R u R R R u R u u R u R R R
应用规则2，得02=n u ，代入上述方程中得，o n u R R u 4
3
1?
=，故有 1
43321))(111(
R u u R R R R R s o =?++ 整理后得
1
332214
2R R R R R R R R u u s o ++?=
解法二：将题5－5图中得结点○2左边的有源一端口电路等效为理想电压源和电阻的串联电路，如题解5－5图所示，其中 3212
12
)//(,R R R R u R R R u eq s oc +=+=
此电路为一个倒向比例器，故有 313221422
12
32144)//(R R R R R R R R u u u R R R R R R R u R R u s o s
oc eq o ++?=+×+?=?
=
5－6 试证明图示电路若满足3241R R R R =，则电流L i 仅决定于1u 而与负载电阻L R 无关。
证明：采用结点电压法分析。独立结点○1和○2的选取如图所示，列出结点电压方程，并注意到规则1，可得
01
111(1)11(
4
2211
12121=?++
=?+o n L o n u R u R R R R u u R u R R
应用规则2，有21n n u u =，代入以上方程中，整理得 2434)1
11(
n L
o u R R R R u ++= 1122432411(
R u u R R R
R R R R n L
=??
故14
314132322)(u R R R R R R R R R R R u L L
n ??=
又因为14
3141323
22)(u R R R R R R R R R R R u i L L n L ??==
当3241R R R R =时，
即电流L i 与负载电阻L R 无关，而知与电压1u 有关。
5－7 求图示电路的o u 与1s u ，2s u 之间的关系。
解：采用结点电压法分析。独立结点○
1和○2的选取如图所示，列出结点电压方程，并注意到规则1，得（为分析方便，用电导表示电阻元件参数） 2
34243112121)()(s o n s o n u G u G u G G u G u G u G G ?=?+=?+
应用规则2 ，有21n n u u =，代入上式，解得o u 为 3
2412
2131431)()(G G G G u G G G u G G G u s s o ?+++=
或为4
1322
2141432)()(R R R R u R R R u R R R u s s o ?+++=
5－8 用运放可实现受控源，试将图示电路以一个受控源形式表示，并求其控制系数。
解： 采用结点电压法分析。独立结点○1和○2的选取如图所示，列出结点电压方程，并注意到规则1，可得 (2) 01
)11(
(1) 1)111(211=?+=?++o N o n L u R
u R R R u
u R u R R R
应用规则2，有L n n u u u ==21，又由方程式（2）得22n o u u =，代入到方程式（1）中，得 1u R
R u L
L =
又因为111111u R
R R i u R i u L
L +=+= 故112
1i R i R R R u in L
=?=
其中，L
in R R R R ?=2，为受控源的输入电阻；而11u u R R
u L L μ==为输出电路端电压，
所以，
题5－8图所示电路可以用一个电压控制的受控电压源（VCVS ）表示，其控制系数R
R L
=μ，等效电路如题解5－8图所示。
5－9 电路如图所示，设R R f 16=，验证该电路的输出o u 与输入41~u u 之间的关系为)248(4321u u u u u o +++?=。[注：该电路为4位数模转换器，常用在信息处理、自动控制领域。该电路可将一4位二进制数字信号转换成模拟信号，例如当数字信号为1101时，令1421===u u u ，03=u ，则由关系式)248(4321u u u u u o +++?=得模拟信号13)1048(?=+++?=o u 。]
解：应用电源等效变换把题5－9图示电路等效为题解5－9所示，得其等效参数：R R eq =