基本不等式经典例题精讲.
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲
例1（1）已知0＜x ＜3
1
，求函数(1-3x)的最大值; （2）求函数x
1的值域.
思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜3
1
,∴1-3x ＞0.
∴(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤3
1［
2)31(3x x -+］2=12
1
，当且仅当31-3x ，即61时，等号成立.∴61时，函数取得最大值12
1
.解法二：∵0＜x ＜31
,∴3
1＞0.
∴(1-3x)=3x(31)≤3［2
31x
x -+］2=121，当且仅当31,即
61
时，等号成立.
∴61时，函数取得最大值12
1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得x
1≥2x
x 1?
=2，当且仅当1
时，等号成立. 当x ＜0时，x
1［()+
)
(1
x -］.
∵＞0,∴()+)(1
x -≥2,当且仅当x
-1,即1时，等号成立.
∴x
1≤-2.
综上,可知函数x
1的值域为(-∞2］∪［2∞).
绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.
变式训练1当x ＞-1时，求f(x)1
1
+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?1＞0,变1-1时1与1
1
+x 的积为常数.
解：∵x＞-1,∴1＞0. ∴f(x)
11+x 111+x 1≥2)
1(1)1(+?+x x -1=1.
当且仅当1=1
1
+x ,即0时,取得等号.
∴f(x)1. 变式训练2
求函数1
3
32
24+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令2+1，则t≥1且x 2
1.
∴1
332
24+++x x x 11
13)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t
1≥2
t t 1
?
=2,当且仅当t
1,即1时，等号成立.
∴当0时，函数取得最小值3. 例2已知x ＞0＞0，且
x 1y
9
1，求的最小值.
思路分析：要求的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵
x 1y
91,
∴()·(x
1+y
9)=10+y
x x y 9+. ∵x＞0＞0,∴y x x y 9+≥2y
x
x y 9?=6.
当且仅当y
x x y 9=，即3x 时，取等号.
又
x 1y
9
1,∴412.
∴当412时，取得最小值16. 解法二：由
x 1y
91，得
9
-y y . ∵x＞0＞0,∴y＞9.
9-y y 999-+-y y 99-y 1=(9)9
9
-y 10.
∵y＞9,∴9＞0. ∴
99
9-+-y y ≥29
9)9(-?-y y =6.
当且仅当9=9
9
-y ，即12时，取得等号，此时4.∴当412时，取得最小值16.解法三：由
x 1y
91，得9,∴(1)(9)=9.
∴10+(1)+(9)≥10+2)9)(1(--y x =16, 当且仅当19时取得等号.又x 1y
9
1,
∴412.
∴当412时，取得最小值16.
绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：
x 1+y
9≥2xy
9①,即xy
6≤1,∴xy ≥6.
∴≥2xy ≥2×6=12②.∴的最小值是12.
产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1
=y
9，不等式②等号成立的条件是.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数满足10
y
b
x a +1，的最小值为18，求的值.
思路分析：本题属于“1”的代换问题. 解：()(
y b x a +)x ay y bx +10+x
ay y bx +. ∵＞0＞0， ∴≥10+2ab =18，即ab =4.
又10， ∴??
?==8,2b a 或???==.
2,8b a 例3求f(x)=3
x
lg 4
的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1, ∴＜0,
x
lg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本
不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.
解：∵0＜x ＜1,∴＜0,x lg 4＜0.∴-x
lg 4＞0.
∴()+(-x lg 4
)≥2)lg 4)(lg (x
x --=4. ∴
x lg 4≤-4.∴f(x)=3x
lg 4≤3-41. 当且仅当
x lg 4,即100
1
时取得等号. 则有f(x)=3
x
lg 4
(0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件. 变式训练1已知x ＜4
5，求函数42+
5
41
-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜4
5，则45＜0.
解：∵x＜4
5,∴45＜0. 45
541-x 3［(5-4x)+x
451
-］+3
≤-2
x
x 451
)45(-?
-+32+3=1.
当且仅当5-4
x
451-,即1时等号成立.
所以当1时，函数的最大值是1. 变式训练2当x ＜2
3时，求函数
3
28
-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·
3
28
-x 并不是定值,
也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为2
1（23）
328-x 23（x x 238223-+
-）+2
3
,再求最值.解：21（23）
328-x 23（x x 238223-+
-）+2
3
， ∵当x ＜2
3时，3-2x ＞0， ∴
x x 238223-+-≥x x 2382232-?-=4，当且仅当x x 238223-=-，即2
1
时取等号.
于是y≤-423
25-，故函数有最大值2
5-.
例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m 2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4636的前提下求的最大值；而(2)则是在24的前提下来求46y 的最小值.
解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4636，即2318. 设每间虎笼的面积为S ，则. 方法一：由于23y≥2y x 32?=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得≤
2
27
，即S≤
2
27. 当且仅当23y 时等号成立.
由???=+=,1832,22y x y x 解得?
??==.3,5.4y x
故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2318，得92
3
. ∵x＞0,∴0＜y ＜6. (923)2
3 (6)y. ∵0＜y ＜6,∴6＞0. ∴S≤2
3［
2)6(y
y +-］2=2
27. 当且仅当6,即3时，等号成立，此时4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知24.
设钢筋网总长为l,则46y.
方法一:∵23y≥2y x 32?=2xy 6=24, ∴462(23y)≥48,当且仅当23y 时,等号成立.
由??
?==,24,32xy y x 解得???==.
4,
6y x
故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小. 方法二:由24，得y
24
.
∴46
y 9666(y 16)≥6×2y y
?16=48,当且仅当y 16
，即
4时，等号成立，此
时6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.
绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意： （1）都是正数； （2）积（或）为定值；
（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
图3-4-2
思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为
x
200米(0＜x≤16,0＜
x
200
≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(22×x 200)+248×2×x
200
+80×200. =800(
x
324
)+16 000≥800×2x x 324?
+16 000=44 800,
当且仅当
x
324
(x ＞0),即18时等号成立,而18?［12.5,16］,∴Q(x)
＞44 800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性. 对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 21＞01x 2＜162
＜324. Q(x 2)(x 1)=800［(x 21)+324(1
211x x -)］
=800×
2
12112)
324)((x x x x x x --＜0,
∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元. 问题探究
问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n
8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知n
8. ∵n
8≥2
248
=?
n
n , 当且仅当n
8,即22时取等号.
但考虑到n∈N *
,
∴n≈2×1.414=2.828≈3, 即此人应选3楼,不满意度最低.
例5解关于x 的不等式2
)1(--x x a ＞1(a ≠1)
解 原不等式可化为2
)2()1(--+-x a x a ＞0，
①当a ＞1时，原不等式与(x －1
2--a a )(x －2)＞0同解
由于
21
11211
a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞，1
2--a a )∪(2，+∞)
②当a ＜1时，原不等式与(x －1
2--a a )(x －2) ＜0同解
由于21
111
a a a -=-
--, 若a ＜0，211211
a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)；
若0时，21
1211
a a a -=-=--，解集为?；
若
0＜a ＜1，211211
a a a -=->--,解集为(2，
12
--a a ) 综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，1
2--a a )∪(2，+∞)；当0＜a
＜1时，解集为(2，1
2--a a )；当0时，解集为?；当a ＜0时，解集为
(1
2--a a ，2）
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