高等数学练习试题库及答案
《高等数学》练习测试题库及答案
一．选择题
1.函数y=
1
1
2+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数
2.设f(sin 2
x
)=cosx+1,则f(x)为（ ）
A 2x 2－2
B 2－2x 2
C 1＋x 2
D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ）
A ． ，，，
B ．23
，32，45，54
C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n
n n n n
1,1 D. {n n 21
2+}
4.数列有界是数列收敛的（ ）
A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ）
A ．发散数列必无界
B ．两无界数列之和必无界
C ．两发散数列之和必发散
D ．两收敛数列之和必收敛
6．=--→1
)
1sin(lim
21x x x （ ） .0 C 2
7．设=+∞→x x x
k
)1(lim e 6 则k=( )
.2 C 6
8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）
2
B. x 3-1
C.(x-1)2 (x-1)
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ）
A、是连续的
B、无界函数
C、有最大值与最小值
D、无最小值
11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）
为（）
A、 B、e C、-e D、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）
A、 xarctan1/x
B、arctan1/x
C、tan1/x
D、cos1/x
13、设f(x)在点x
0连续，g(x)在点x
不连续，则下列结论成立是（）
A、f(x)+g(x)在点x
必不连续
B、f(x)×g(x)在点x
必不连续须有
C、复合函数f[g(x)]在点x
必不连续
D、在点x
必不连续
14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）
A、a＞0,b＞0
B、a＞0,b＜0
C、a＜0,b＞0
D、a＜0,b＜0
15、若函数f(x)在点x
0连续，则下列复合函数在x
也连续的有（）
A、 B、
C、tan[f(x)]
D、f[f(x)]
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）
A、[0,л]
B、（0,л）
C、[-л/4,л/4]
D、（-л/4,л/4）
17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）
A、f(x)=x+1
B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1
D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）
A、k=0
B、k=1
C、k=2
D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=log
a
x相切，则（）
A、e
B、1/e
C、e x
D、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）
A、x-y-1=0
B、x-y+3e-2=0
C、x-y-3e-2=0
D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）
A、±1
B、±л/2
C、±(л/2+1)
D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x
0)=a，则f`(-x
)=（）
A、a
B、-a
C、|a|
D、0
25、设y=㏑，则y’|x=0=（）
A、-1/2
B、1/2
C、-1
D、0
26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）
A、-1
B、0
C、1
D、不存在
27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）
A、0
B、1/ ㏑2
C、1
D、㏑2
28、已知y=sinx，则y(10)=（）
A、sinx
B、cosx
C、-sinx
D、-cosx
29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）
A、-1/x9
B、1/ x9
C、x9
D、 x9
30、若函数f(x)=xsin|x|，则（）
A、f``(0)不存在
B、f``(0)=0
C、f``(0) =∞
D、 f``(0)= л
31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）
A 、-1
B 、0
C 、л/2
D 、 2
32、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 2
33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）
A 、0
B 、-dx
C 、dx
D 、 不存在
36、极限)ln 1
1(lim 1x
x x x --→的未定式类型是（ ）
A 、0/0型
B 、∞/∞型
C 、∞ -∞
D 、∞型
37、极限 0
1
2
)sin lim(→x x x
x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞
型 D 、∞0型
38、极限 x
x x x sin 1
sin
lim
20
→=（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、不存在
39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（ ）
A 、（n+1）阶无穷小
B 、n 阶无穷小
C 、同阶无穷小
D 、高阶无穷小
40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）
A 、唯一的零点
B 、至少存在有一个零点
C 、没有零点
D 、不能确定有无零点
41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）
A、2
B、1/2
C、1
D、0
42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）
A、0
B、1/2
C、1
D、2
43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A、一个
B、两个
C、无穷多个
D、都不对
44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）
A、2e x/2
B、4 e x/2
C、e x/2 +C
D、e x/2
45、∫xe-x dx =（ D ）
A、xe-x -e-x +C
B、-xe-x+e-x +C
C、xe-x +e-x +C
D、-xe-x -e-x +C
46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）
A、不含有对数函数
B、含有反三角函数
C、一定是初等函数
D、一定是有理函数
0|3x+1|dx=（）
47、∫
-1
A、5/6
B、1/2
C、-1/2
D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）
A、л
B、2л
C、4л
D、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、л
B、6л/15
C、16л/15
D、32л/15
50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
A、 B、2 C、31/2 D、 21/2
51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）
A、Z=4
B、Z=0
C、Z=-2
D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）
A、椭圆
B、双曲线
C、抛物线
D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为（）
A 、原点（0，0，0）
B 、三坐标轴
C 、三坐标轴
D 、曲面，但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）
A 、X 轴
B 、Y 轴
C 、Z 轴
D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）
A 、双叶双曲面
B 、单叶双曲面
C 、椭圆抛物面
D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（ ）
A 、发散数列必无界
B 、两无界数列之和必无界
C 、两发散数列之和必发散
D 、两收敛数列之和必收敛
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A 、.必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ） A 、[0,л] B 、（0,л） C 、[-л/4,л/4] D 、（-л/4,л/4）
59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ） A 、f(x)=x+1 B 、f(x)=x-1
C 、f(x)=x 2-1
D 、f(x)=5x 4-4x+1
60设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 不存在
二、填空题
1、求极限1
lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）
2、求极限 0
lim →x [(x 3
-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）
3、求极限2
lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）
4、求极限∞
→x lim [x/(x+1)]x
=（ ）
5、求极限0
lim →x (1-x)1/x
= （ ）
6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）
7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）
9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ） 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）
14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）
15、点（0，1）是曲线y=ax 3
+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）
17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=（ ）
20、已知函数f(x)=??
??
?=≠?-0,0,022)1(1x a x x t dt e x
在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ） 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ） 25、∫л/3л
sin(л/3+x)dx=（ ）
26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）
9 x1/2(1+x1/2)dx=（）
31、∫
4
9 x1/2(1+x1/2)dx=（）
32、∫
4
33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为 ( )
34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）
35、函数Y=|sinx|的周期是（）
36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）
37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）
38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）
39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）
40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是
（）
41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）
42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )
43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）
44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）
45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限
lim [x/(x+1)]x=（）
x
→
∞
47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）
9 x1/2(1+x1/2)dx=（）
48∫
4
49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）
50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）
三、解答题
1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=e x，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4
14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=e x下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。
27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cos θ)的全长。 30、求点M （4，-3，5）与原点的距离。
31、在yoz 平面上，求与三已知点A （3，1，2），B （4，-2，-2）和C （0，5，1）等距离的点。
32、设U=a-b+2c ，V=-a+3b-c ，试用a,b,c 表示2U-3V 。
33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。 34、将xoz 坐标面上的抛物线z2=5x 绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。 35、将xoy 坐标面上的圆x2+y2=9绕Z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 36、将xoy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
37、求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x+z=1的交线在xoy 面上的投影方程。 38、求球体x 2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy 平面上的投影方程。
39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程。 41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。 45、求过两点M （3，-2，1）和M （-1，0，2）的直线方程。
46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z 平行的直线方程。 47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。 48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。 49、求点P （3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。 51求抛物线y=x 2-4x+3在其顶点处的曲率半径。 52求y=e x ，y=e -x 与直线x=1所围图形的面积。 53求曲线y 2=4(x-1)与y 2=4(2-x)所围图形的面积
54求曲线y=x 2与x=y 2绕y 轴旋转所产生旋转体的体积。 四、证明题
1．证明不等式：?
-≤
+≤1
1
43
812dx x 2．证明不等式?>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明：
??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
4．设n 为正整数，证明??
=2
20
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5．设)(t ?是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a
a
?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。 6.证明：??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8．若)(x f 是连续函数，则???-=??
????x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(2
2
11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，证明：
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)(
《高等数学》练习测试题库参考答案
一． 选择题
1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA 31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA 56------60 DACDC
二． 填空题 1．2 2．3/4 3．0
4．e -1
5．e -1
6．(31/2
+1)/2 7．
42（1+2
π） 8．9/25 9．
2π-1或1-2
π 10．2 11．-1，0 12．-2 13．1/5 14．0 15．0，1
16. C ＋ 2 x 3/2
/5 17. F(x)＋C 18. 2xe x
2(1+x)
8 6
23. π/3a 24. π/6
26. 2(31/2
-1) 27. π/2 28. 2/3 29. 4/3
30. 21/2
31. 0 32. 3π/2 33. (1,3) 34. 14 35. π
36. 7/6 37. 32/3 38. 8a
39. 等腰直角
40. 4x+4y+10z-63=0 41. 3x-7y+5z-4=0 42. (1,-1,3) 43. y+5=0 44. x+3y=0
45. 9x-2y-2=0 46. e -1
48. 21/2 49. 7/6
50. 3x-7y+5z-4=0
三． 解答题
1. 当X=1/5时，有最大值1/5
2. X=-3时，函数有最小值27
3. R=1/2
4. 在点(
22,-2
2ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2
5. 7/6
6. e+1/e-2
7. x-3y-2z=0
8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. （-5/3，2/3，2/3）
10. 2(21/2
-1) 11. 32/3
12. 4×21/2
/3 13. 9/4
14.4
2a (a π2-e π2-)
15. e/2
16. 8a 2
/3 17. 3л/10 18.
??
????
-+-)(224222e e a a a π 19. 160л2
20. 2л2 a 2
b 21.
π3
6
16 22. 7л2
a 3
23. 1+1/2㏑3/2
33
25.???
?????-??
? ??1259823
26.p
y p y p p y p y 2
222ln
2
2++++
27.
ψ
a e a
a 21+ 2+5/12
29. 8a
30. 5×21/2
31. （0，1，-2） 32. 5a-11b+7c
33. 4x+4y+10z-63=0
34. y 2+z 2
=5x
35. x+y 2+z 2
=9
36. x 轴： 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴：4(x 2+z 2)-9y 2
=36
37. x 2+y 2(1-x)2
=9 z=0
38. x 2+y 2+(1-x)2
≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.
3
31
44. 24-x =11+y =53
-z 45. 43--x =22+y =11-z
46. 2
-x =32-y =14-z
47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)
49.
2
2
3 50. ?
?
?=-+-=--+0140
117373117z y x z y x
51. R=1/2
52. e+1/e-2
53. 4×21/2
/3 54. 3л/10 四．证明题
1．证明不等式：?
-≤
+≤1
1
43
812dx x 证明：令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f 则4
34
312124)(x
x x
x x f +=
+=
'，
令,0)(='x f 得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则2)(1≤≤x f
上式两边对x 在[]1,1-上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是
???---+≤+≤1
1
21
1
4
11
,)1(1dx x dx x dx 故
?-≤
+≤1
1
43
812dx x
2．证明不等式?>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
证明：显然当??
?
???∈21,0x 时，（n>2）有
??==-≤-≤?-≤-≤21021
0226
021arcsin 112111
11
1π
x x dx x dx x x n n
即，?>≤-≤21
0)2(,6121n x dx n π
3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明：??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
证明：
dx x g x f dx x g x f dx x g x f a
a
a
a
???
+=--0
)()()()()()(
dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a
a
a
???
-=---=-0
00
)()()()()()(令Θ
[]?????=-+=+-=∴-a
a a a a a
dx
x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0
)()()()()()()()()()(
4．设n 为正整数，证明??
=202
cos 2
1sin cos ππ
xdx xdx x n n
n
n
证明：令t=2x,有
?
?
?
++=
=
π
π
π
1
20
20
1
sin 212)2(sin 21sin cos tdt x d x xdx x n n n n n
n
,sin sin 212201???
? ??+=??+πππ
tdt tdt n
n n
又，???=---=0
2
20
2
sin )(sin sin ππ
ππ
ππudu du u u t tdt n n
n
，
所
以，
?
?
???==+=+ππ
π
π
π
π2
2
2020
201sin 2
1
sin 21)sin sin (21
sin cos xdx tdt tdt tdt xdx x n n
n
n
n
n
n n
n
又，
???
=--=
20
2
2
cos cos 2
sin π
πππ
π
xdx tdt t x xdx n n
n
因此，??
=202
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5．设)(t ?是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a a
?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
证明：?
?--+-=
x
a
a
x
dt t x t dt t t x x f )()()()()(??
????----+-=x
a
a
x
x a
x
a
dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(???? ????--+=-='x
a
x
a
x
a
a
x
dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????
0)(2)()()(>=+='x x x x f ??? 故，曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
6.证明：??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 证明：????=
+=+=-?++=
1
1
1111
1222
2
1
2
11)1(111
1x x x x u
x x dx u du du u u
x dx
令 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
证明：?
??
?=++=+=
+=+=
a
a
a T x f x f T x f T
u x T
a T dx x f dx
T x f du T u f dx x f 0
)()
()()()()()(为周期以令ΘΘ
0)()(0
=+∴
?
?
+T
a T
a
dx x f dx x f
在等式两端各加
?
T
dx x f 0
)(，于是得??+=T a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8．若)(x f 是连续函数，则???-=??
????x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
证明：????-=??????x u x
u du u uf x dt t f u du dt t f 000
0)(0)()(
??-=x
x du u uf dt t f x 0
)()(
?-=x
du u f u x 0
)()(
9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
证明：作辅助函数??=x a
b
x
dt t g dt t f x F )()()(，由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续，所
以)(x F 在[]b a ,上连续，在（a,b ）内可导，并有0)()(==b F a F 由洛尔定理
),(,0)(b a F ∈='ξξ
即ξ
ξ
==??
?????-='
??
????????x b x x
a x x x a b
x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()(
??-=b
a
dx x f g dx x g f ξ
ξ
ξξ)()()()(
＝0 亦即，??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
证明：令??--??
? ??=x a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22
[]?≤--='x
a
dt x f t f x F 0)()()(2
Θ
故)(x f 是 []b a ,上的减函数，又0)(=a F ，0)()(=≤a F b F
故 ??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，证明：
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)( 证明：由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理，于是有
()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(，因而，)()(a x M x f -≤
由定积分比较定理，有 ??-=
-≤b
a
b
a
a b M
dx a x M dx x f 2)(2
)()(
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）
A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大一高数试题及答案.doc
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x. 《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日 星期三 考试时间： 120 分钟 一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的 （ ） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（ ） A 必要条件 B )、 充分条件 C )、 充要条件 D )、 无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（ ） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（ ） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （ ） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （ ） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C 高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2高等数学上考试试题及答案
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