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概率统计与随机过程知识点总结--最终版

《概率统计与随机过程》知识总结

第1章随机事件及其概率

一、随机事件与样本空间 1、随机试验

我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验，（1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；

（2）多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；（3）随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。

随机试验一般用大写字母E 表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。 2、样本空间

随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S ，样本空间中的元素，即E 的每个基本结果，称为样本点。 3、随机事件

称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件。随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。

在一次试验中，当且仅当这一子集（事件）中的某个样本点出现时，称这一事件发生。特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本事件；

样本空间S 包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S 为必然事件；

事件?（S ??）不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称?为不可能事件。 4、随机事件间的关系及运算

（1）包含关系：若B A ?，则称事件A 包含事件B ，也称事件B 含在事件A 中，它表示：若事件B 发生必导致事件A 发生。

（2）相等关系：若B A ?且A B ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A B =。（3）事件的和：称事件{|A B x x A ?=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。事件A B ?发生意味着事件A 发生或事件B 发生，即事件A 与事件B 至少有一件发生。

类似地，称1

n i i A =?为n 个事件12n A A A ?、、

、的和事件，称1

i i A ∞

=?为可列个事件12 A A ?、、的和事件。

（4）事件的积：称事件{|A B x x A ?=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。事件A B ?发生意味着事件A 发生且事件B 发生，即事件A 与事件B 都发生。

A B ?简记为AB 。

类似地，称1

n i i A =?为n 个事件12n A A A ?、、

、的积事件，称1

i i A ∞

=?为可列个事件12 A A ?、、的积事件。

（5）事件的差：称事件{|A B x x A -=∈且}x B ?为事件A 与事件B 的差事件。事件A B -发生意味着事件A 发生且事件B 不发生。（A B AB A AB -==-）

（6）互不相容（互斥关系）：若A B ?=?，则称事件A 与事件B 互不相容，又称事件A

与事件B 互斥。事件A 与B 互不相容意味着事件A 与B 不可能同时发生。（7）互逆关系（对立关系）：若A B S ?=且A B ?=?，则称事件A 与事件B 互为逆事

件，又称事件A 与事件B 互为对立事件，记为A B =或B A =。注意：事件A 的对立事件记为A ；基本事件是两两互不相容的；对立事件与互斥事件的关系：对立一定互斥，但互斥不一定对立。事件的运算满足的规律：

交换律：A B B A ?=? A B B A ?=?；结合律：()()A B C A B C ??=?? ()()A B C A B C

??=??；分配律：()()()A B C A B A C ??=??? ()()()A B C A B A C ??=???；对偶律：A B A B ?=? A B A B ?=? (德·摩根律)

二、随机事件的概率 1、频率

在相同的条件下，将一个试验重复进行n 次，在这n 次试验中，记事件A 发生的次数为A

N 次，称比值

N n

为事件A 在这n 次试验中发生的频率，记为()n f A 。频率描述了事件发生的频繁程度。频率所具有的三个性质：性质1：非负性 ()01n f A ≤≤；性质2：规范性 ()1n f S =；

性质3：可加性如果事件12 , ,, k A A A ?两两互不相容，则

()()()()1212 n k n n n k f A A A f A f A f A ????=++?+。

2、概率的公理化定义

设E 是随机试验, S 是它的样本空间, 对于E 的每一事件A 赋予一个实数, 记为P (A ), 称为事件A 的概率，且满足以下三条公理：非负性：对于任意事件A , 有P (A )≥0; 规范性：对于必然事件S , 有P (S )=1;

可列可加性：设A 1,A 2,...是两两互不相容事件, 即对于i ≠j , A i A j =f , i ,j =1,2,..., 则有 P (A 1?A 2?...)=P (A 1)+P (A 2)+...

3、概率的性质

性质1 对不可能事件?，有P (?)=0.

性质2(有限可加性) 若A 1,A 2,...,A n 是两两互不相容的n 个事件, 则有

P (A 1?A 2?...?A n )=P (A 1)+P (A 2)+...+P (A n ) 性质3(逆事件的概率) 对任意事件A , 有()1()P A P A =-

性质4 设A ,B 是两个事件, 若B ?A , 则有P (A -B )=P (A )-P (B ) P (A )≥P (B )

性质5 对于任意事件A , P (A )≤1

性质6(加法公式) 对任意两个事件A ,B 有P (A ?B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 性质6的推论：() P A B ?()()P A P B ≤+ 性质6的推广：

()P A B C ??()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

1n i i P A =??

? ???()1n

i i P A ==∑()1,i j i j n P A A ≤≤-∑()

1,,i j k i j k n

P A A A ≤≤+∑()()1121n n P A A A --?+-?

三、古典概率模型 1、古典概率模型

若随机试验满足下述两个条件：

(1) 它的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限； (2) 每个样本点出现的可能性相同.

称这种试验为古典概率模型，简称古典概型，又称为等可能概率模型。若事件A 包含k 个基本事件，即{}{}

{}

12 k i i i A e e e =??

?，则有

()P A k n =

A S =包含的基本事件数中的基本事件总数

四、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 1、条件概率

设A 、B 是两个事件，且P (B )>0,则称()

(|)()

P AB P A B P B =(1)为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.

2、条件概率的性质

条件概率()|P A ?具备概率定义的三个条件：（1）非负性：对于任意的事件B ，()|0P B A ≥；（2）规范性：()|1P S A =；

（3）可列可加性：设12,,B B …是两两互斥事件，则有：()11

i i i i P B A P B A ∞

∞==???= ???∑。

3、乘法公式

由条件概率的定义：()

(|)()

P AB P A B P B =

即得乘法定理：

若P (B )>0，则P (AB )=P (B )P (A |B )；若P (A )>0 ，则P (AB )=P (A )P (B |A ). 乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况，

设A 、B 、C 为三个事件，且()0P AB >，且()()()()||P ABC P C AB P B A P A =，一般地，设有n 个事件12,, , , 2 ,n A A A n ?≥并且()1210n P A A A -?>，则由条件概率的定义可得：

()()()()()()

1212-1112-2312211||||n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A A P A A P A -?=???4、样本空间的划分

定义：设S 为试验E 的样本空间, B 1,B 2,...,B n 为E 的一组事件, 若（1）,,,1,2,,i j B B i j i j n =?≠=；

（2）1

2n B B B S =

则称12,,

,n B B B 为样本空间S 的一个划分。

5、全概率公式

定理：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，B 1,B 2,...,B n 为S 的一个划分，且

()0(1,2,

,),i P B i n >=则恒有全概率公式：

1122()()()()()()()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =++

+()()1

i i i P B P A B ==∑

6、贝叶斯公式

定理：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，B 1,B 2,...,B n 为S 的一个划分，且()0,P A >

()0,(1,2,,),i P B i n >=则1

()()

(),1,2,,.()()

i i i n

j P A B P B P B A i n P A B P B ==

=∑（贝叶斯公式）

n =2时，两个公式的简化：

全概率公式：()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B =+ 贝叶斯公式：(|)()

(|)(|)()(|)()

P A B P B P B A P A B P B P A B P B =

7、条件概率()P B A 与积事件概率()P AB 的区别

()P AB 表示在样本空间S 中，AB 发生的概率，而()P B A 表示在缩小的样本空间A S 中，B

发生的概率，用古典概率公式，则

()A AB P B A S =

中基本事件数中基本事件数， ()AB P AB S =中基本事件数

中基本事件数

，

一般来说，()P B A 比()P AB 大。

五、事件的独立性 1、事件的相互独立性

定义：设A ，B 是两事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =，则称事件A ，B 相互独立，简称A ，B 独立。说明：

(1) 事件 A 与事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. (2) 两事件相互独立与两事件互斥的关系：

两事件相互独立()()()P AB P A P B =与两事件互斥AB =?二者之间没有必然联系（3）事件 A 、B 独立的充要条件为：

()()()| ,0P A B P A P B => 或 ()()()|,0P B A P B P A =>

三事件两两相互独立的概念

定义：设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()(),()()(),()()(),P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C =??

=??=?

则称事件,,A B C 两两

相互独立。

三事件相互独立的概念

定义：设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()(),()()(),()()(),()()()(),

P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C =??=?

?=??=?则称事件,,A B C

相互独立。

注意：三个事件相互独立 ? 三个事件两两相互独立

推广：设12,,

,n A A A 是n 个事件，如果对于任意(1)k k n <≤，任意121k i i i n ≤<<

<≤，

具有等式1212()()()

()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =，则称12,,

,n A A A 为相互独立的事件。

结论：若事件12,,

,(2)n A A A n ≥相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。

2、几个重要定理

定理一：设,A B 是两事件，且()0P A >，若,A B 相互独立，则()().P B A P B =反之亦然。

定理二：若,A B 相互独立，则下列各对事件，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

推广：n 个事件12,,,(2)n A A A n ≥相互独立，则将12,,,n A A A 中任意多个事件换成它

们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。 3、事件的独立性在可靠性问题中的应用

所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常工作的概率。补充：排列与组合知识 1、加法原理

设完成一件事有m 种方式，第i 种方式有n i 种方法，则完成这件事共有: n 1＋n 2＋……＋n m 种不同的方法。 2、乘法原理

设完成一件事有m 个步骤，第i 种步骤有n i 种方法，则完成这件事共有: n 1×n 2 ×……×n m 种不同的方法。 3、排列公式

（1）从n 个不同元素中不放回（不重复）地选取m 个元素进行排列，称为选排列，则所有不同排列的总数为：()(1)

(1)()m

n n n A P n n n m n m =

=--+-！

！

（2）当n =m 时，称为全排列，其计算公式为：n

n n P A n ==！

（3）有重复排列: 从n 个不同元素中有放回（可重复）地取m 个元素进行排列，称为可重

排列，其总数为 n m 。 4、组合公式

（1）从n 个不同元素中不重复地选取m 个元素，组成一组(不管其顺序)，称为从n 个不同元素中选取m 个元素的组合。则所有不同组合的总数为：()m

n n C m m n m ??==

?-??

！！！选排列与选组合的关系：!m m

n n A C m =

说明：选组合也等价于：如果把n 个不同的元素分成两组，一组m 个，另一组n -m 个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法的总数为：

!()!

n m n m -

（2）多组组合：把n 个不同元素分成k 组(1≤ k ≤ n ) ，使第 i 组有n i 个元素，

i n

n ==∑，

若组内元素不考虑顺序，那么不同分法的总数为：

k n n n

（3）常用组合公式：k n k n n

C C -=，11

k k k n n n C

C C

-+=+，

k i k i n m

i C

C C

-+==∑，

2.n

i n n

i C

==∑

第2章随机变量及其分布

一、随机变量

1、随机变量的概念

定义：设E 是随机试验，它的的样本空间为S ={e }. 如果对于每一个,e S ∈有一个实数X (e )与之对应，这样X =X (e )是定义在样本空间S 上的实值单值函数. 称X =X (e )为随机变量. 说明：(1)随机变量与普通的函数不同；

(2)随机变量的取值具有一定的概率规律； (3)随机变量与随机事件的关系 2、随机变量的分类

(1)离散型：随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量. (2)连续型：随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.

二、离散型随机变量的概率分布 1、离散型随机变量的分布律

定义：设离散型随机变量X 所有可能取的值为x k (k =1,2,...), X 取各个可能值的概率，即事件{X =x k }的概率，为P {X =x k }=p k , k =1,2,...，称此为离散型随机变量X 的分布律。说明：（1）0,

1,2,

k p k ≥=；（2）

k p

∞

==∑

离散型随机变量的分布律也可表示为：1

~n n

x x x X p p p ??

???

2、常见离散型随机变量的概率分布（1）两点分布

（2）等可能分布

其中（i j a a ≠），（i j ≠），则称X 服从等可能分布. （3）二项分布

n 重伯努利试验：设实验E 只有两个可能结果：A 及A ，则称E 为伯努利试验。

设()(01)P A p p =<<，此时()1P A p =-，将E 重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验。

用X 表示n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，则

{}P X k ==(1)k n k n p p k -??

- ???

，k =0,1, ...，n

称X 服从参数为n 和p 的二项分布，记为X ~b (n ,p ) 显然：

{}00()1n

k n k n

k k n P X k p q p q k -=

=??===+= ???

∑∑ 注意：当n =1时，二项分布就是(0-1)分布

Possion 定理

设0n np λ=>，则对固定的 k ，lim (1)

k k k n k

n n C p p e

k λ

λ--→∞

-=，0,1,2,k =

Poisson 定理说明若X ~ B ( n , p ), 则当n 较大， p 较小, 而np λ=适中, 则可以用

近似公式：(1),0,1,2,

k k

n k

C p p e

k k λ

λ---≈=

（4）泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：

e {},0,1,2,,!

k P X k k k λ

λ-==

其中λ>0 是常数,则称 X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ~π(λ). （5）几何分布

其中，1p q +=，则称 X 服从几何分布。

说明：几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.

三、随机变量的分布函数 1、分布函数的概念

定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数(){}F x P X x =≤为 X 的分布函数。

性质：

（1）0()1,(,)F x x ≤≤∈-∞∞；

（2）1212()(),

()F x F x x x ≤<；

（3）()lim ()0x F F x →-∞

-∞==，()lim ()1x F F x →∞

∞==；（4）0

00lim ()(),

()x x F x F x x +→=-∞<<∞，即任一分布函数处处右连续，

0121220,,,,(),,1,

x x p x x x F x p x x x x x

≤

重要公式

（1）{}()()P a X b F b F a <≤=-；（2）{}1()P X a F a >=-

四、连续型随机变量及其分布 1、概率密度的概念与性质

定义：如果对于随机变量 X 的分布函数F （x ），存在非负函数，使得对于任意实数x 有

()()d ,x

F x f t t -∞

则称X 为连续型随机变量，其中f (x )称为X 的概率密度函数，简称为

概率密度。性质：

（1）()0f x ≥；（2）

()d 1f x x +∞

-∞

；

这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某一随机变量的概率密度的充要条件（3）1221{}()()P x X x F x F x <≤=-

{}()P X a F a ≤=()d a

f x x -∞

{}1{}P X a P X a >=-≤1()F a =-；

（4）若 f (x ) 在点 x 处连续 , 则有()()F x f x '=；

（5）对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即：{}0.P X a == 由此（5）可得：{}P a X b ≤≤{}P a X b =<≤{}P a X b =≤<{}.P a X b =<< 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关

2、常见连续型随机变量的分布（1）均匀分布

设连续型随机变量X 具有概率密度：1

,,()0,

,a x b f x b a ?<

=-???其它

则称X 在区间( a, b )上服从均匀分布，记作X ～ U (a , b ) 均匀分布的意义

在区间(a , b )上服从均匀分布的随机变量X ，落在区间(a , b )中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。

概率密度函数图形分布函数

,(),,1,

.x a x a F x a x b b a x b

≥??

(2)指数分布

设连续型随机变量X 具有概率密度: e ,0,

()0,

0.x x f x x λλ-?>=?≤? 其中0λ>为常数，

则称 X 服从参数为λ的指数分布。

概率密度函数图形注：1

θλ

分布函数

1e ,0,

()0,

0.x x F x x λ-?->=?

≤?

如X 服从指数分布, 则任给s ,t 有 P {X >s +t | X > s }=P {X > t }（无记忆性）（3）正态分布(或高斯分布)

设连续型随机变量X 具有概率密度

: 22

()2(),,x μσf x x --

-∞<<+∞

其中,(0)μσσ>为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布或高斯分布，记作2

~(,)X N μσ。正态概率密度函数的几何特征

（1）曲线关于xμ

=对称；（2）当xμ

=时，()

f x

；

（3）当x→±∞时，()0

f x→；（4）曲线在xμσ

=±处有拐点；

（5）曲线以x轴为渐近线；

（6）当固定σ，改变μ的大小时，()

f x图形的形状不变，只是沿着x轴作平移变换；（7）当固定μ，改变σ的大小时，()

f x图形的对称轴不变，而形状在改变，σ越小，图形越高越瘦，σ越大，图形越矮越胖。

正态分布的分布函数

()

()e d

tμ

F x t

-∞

标准正态分布

当正态分布2

(,)

Nμσ中的0,1

μσ

==时，这样的正态分布称为标准正态分布，记为(0,1)

标准正态分布的概率密度表示为：

(),,

x x

φ-

=-∞<<∞

标准正态分布的分布函数表示为：

()d,.

x t x

Φ=-∞<<∞

标准正态分布的图形

常用结论：（1）()1

Φ=

；（2）()(),1x R x x ?∈Φ-=-Φ 引理：若2

~(,)X N μσ，则~(0,1)X μZ N σ

3σ准则

由标准正态分布的查表计算可以求得，当X ～N (0,1)时，

P (|X |≤1)=2Φ(1)-1=0.6826；P (|X |≤2)=2Φ(2)-1=0.9544；P (|X |≤3)=2Φ(3)-1=0.9974；这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 将上述结论推广到一般的正态分布,当2

~(,)Y N μσ时，

(||)P Y μσ-≤=0.6826；(||2)P Y μσ-≤=0.9544；(||3)P Y μσ-≤=0.9974

可见服从正态分布2

(,)N μσ的随机变量X 之值基本上落在区间(2,2)μσμσ-+内，而几乎不落在(3,3)μσμσ-+之外，在实际应用中称为3σ准则。

五、一维随机变量函数的分布 1、离散型随机变量函数的分布

如果X 是离散型随机变量，其函数Y =g （X ）也是离散型随机变量，若X 的分布律为：

若()k g x 中有值相同的，应将相应的k p 合并。 2、连续型随机变量函数的分布

如果X 是连续型随机变量，其概率密度为()X f x ，欲求Y =g （X ）的概率密度()Y f y ，一般，我们采用先求分布函数，再求概率密度的方法，步骤如下：

（1）求出Y =g （X ）的分布函数()Y F y ；（2）由关系式()()Y y f y F y '=求出()Y f y 。

定理：设随机变量X 具有概率密度()X f x ，其中x -∞<<+∞，又设函数()g x 处处可导，且恒有()0g x '>（或恒有()0g x '<），则称()Y g X =是连续型随机变量，其概率密度为：

[()](),,

()0,.X

Y f h y h y αy βf y '?<<=??其他，其中min((),())αg g =-∞+∞， max((),())βg g =-∞+∞，()h y 是()g x 的反函数。

第3章多维随机变量及其分布

一、二维随机变量及其分布函数 1、二维随机变量

定义：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}S e =，设()X X e =和()Y Y e =是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个向量(,)X Y ，叫做二维随机向量或二维随机变量。 2、二维随机变量的分布函数

定义：设(,)X Y 是二维随机变量，对于任意实数,x y ，二元函数

(,){()()}{,}F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤=≤≤称为二维随机变量(,)X Y 的分布函

数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。

(,)F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区域内的概率。

性质：

（1）0(,)1F x y ≤≤，

(,)1F +∞+∞=，(,)0F -∞-∞=，(,)0F x -∞=，(,)0F y -∞=；

（2）对每个变量单调不减，

固定 x , 对任意的 y 1< y 2 , F (x , y 1) ≤ F (x , y 2)；固定 y , 对任意的 x 1< x 2 , F (x 1,y ) ≤ F (x 2, y )；（3）对每个变量右连续

F (x 0 , y 0) = F (x 0+ 0 , y 0 )，F (x 0 , y 0) = F (x 0 , y 0 + 0 )；

（4）对于任意 a < b , c < d ，F (b ,d ) – F (b ,c ) – F (a ,d ) + F (a ,c ) ≥ 0

3、二维离散型随机变量定义：若二维随机变量 ( X , Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X , Y ) 为二维离散型随机变量.

4、二维离散型随机变量的分布律

设二维离散型随机变量(,)X Y 所有可能取的值为(,),,1,2,i j x y i j =，

记{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2,

i j =，称此为二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律，

或随机变量X 和Y 的联合分布律。其中，0ij p ≥，11

1ij

i j p

∞∞

===∑∑。

定义：对于二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y ，如果存在非负的函数(,)f x y 使对于任意x ，y 有(,)(,)d d y

F x y f u v u v -∞-∞

，则称(,)X Y 是连续型的二维随机变量，函数

(,)f x y 称为二维随机变量(,)X Y 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度。

性质：

（1）(,)0f x y ≥；（2）

(,)d d (,)1f x y x y F +∞+∞

-∞

=∞∞=??

；

（3）设G 是xoy 平面上的一个区域，点(,)X Y 落在G 内的概率为

{(,)}(,)d d G

P X Y G f x y x y ∈=?? ；

（4）若(,)f x y 在(,)x y 连续，则有

2(,)

(,)F x y f x y x y

?=??。 6、两个常用的分布（1）均匀分布

定义：设 D 是平面上的有界区域,其面积为S ,若二维随机变量( X , Y )具有概率密度

,(,),

(,)0,.

x y D f x y S

?∈?=???其他则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布. （2）二维正态分布

定义：若二维随机变量( X ,Y )具有概率密度

2211222221212()2()()()1

2(1)(,)x μρx μy μy μσσρσσf x y ??

------+??-????=

(,)x y -∞<<∞-∞<<∞

其中1212,,,,μμσσρ均为常数，且120,0,1 1.σσρ>>-<<则称( X ,Y )服从参数为1μ，2μ，

1σ，2σ，ρ的二维正态分布，记为22

1212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ。

推广：n 维随机变量的概念

定义：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}S e =，设11()X X e =，

22()X X e =，…，()n n X X e =，是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个 n 维向量12(,,

,)n X X X 叫做n 维随机向量或n 维随机变量。对于任意n 个实数12,,,n x x x ，n

元函数

1211

22(,,

{,,,}n

n F x x x P X

x X

x X x =≤≤≤称为随机变量

12(,,

,)n X X X 的联合分布函数。

二、边缘分布 1、边缘分布函数

定义：设(,)F x y 是随机变量(,)X Y 的分布函数，则(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，令

y →∞，称{}{,}(,)P X x P X x Y F x ≤=≤<∞=∞为随机变量(,)X Y 关于X 的边缘分

布函数，记为()(,)X F x F x =∞。

同理令x →∞，()(,){,}{}Y F y F y P X Y y P Y y =∞=<∞≤=≤为随机变量(,)X Y 关于Y 的边缘分布函数。

2、二维离散型随机变量的边缘分布律

定义：设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布律为{,}i j ij P X x Y y p ===，

,1,2,i j =，记1

{}i ij

i j p p

P X x ∞

?==

==∑，1,2,i =，1

{}j ij

j i p p

P Y y ∞

?==

==∑，

1,2,

j =，分别称(1,2,)i p i ?=和(1,2,)j p j ?=为( X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘分

布律。

{},1,2,

i ij j P X x p i ∞

====∑； 1

{},1,2,

j ij

i P Y y p

j ∞

===

=∑

得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为：

()(,)i X ij x x j F x F x p ∞

≤==∞=∑∑；1

()(,)j Y ij

y y i F y F y p

∞

≤==∞=

∑∑

3、二维连续型随机变量的边缘概率密度

定义：对于连续型随机变量( X ,Y )，设它的概率密度为(,)f x y ，由于

()(,)[(,)d ]d x X F x F x f x y y x ∞

-∞

=∞=??

，记()(,)d X f x f x y y ∞

-∞

，称其为随机变量

( X ,Y ) 关于X 的边缘概率密度。

同理可得 Y 的边缘分布函数()(,)(,)d d y Y F y F y f x y x y +∞

-∞

=∞=

，

()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

为随机变量( X ,Y ) 关于Y 的边缘概率密度。

三、随机变量的独立性

定义：设(,)F x y 及()X F x ，

()Y F y 分别是二维随机变量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数，若对所有x ，y 有{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤，即(,)()()X Y F x y F x F y =，则称随机变量X 和Y 是相互独立的。说明：

（1）若离散型随机变量( X ,Y )的联合分布律为{,}ij P X i Y j p ===, ,1,2,

i j =,

X 和Y 相互独立?{,}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y =====,即ij i j p p p ??=?；（2）设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为(,)f x y ，边缘概率密度分别为

()X f x ，()Y f y ，则有

X 和Y 相互独立?(,)()()X Y f x y f x f y =；

（3）X 和Y 相互独立，f （x ）与g （y ）连续，则f （X ）和g （Y ）也相互独立。

四、二维随机变量函数的分布

1、二维离散型随机变量函数的分布

结论：若二维离散型随机变量的联合分布律为{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2,j =，

则随机变量函数(,)Z g X Y =的分布律为{}{(,)}k k P Z z P g X Y z ===()

k i j ij z g x y p ==

∑

，

1,2,k =。

具有可加性的两个离散分布

（1）设 X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，则 X + Y ~ B ( n 1+n 2, p ) （2）设 X ~ ∏ (λ1), Y ~ ∏ (λ2), 且独立，则 X + Y ~ ∏ (λ1+ λ2) 2、连续型随机变量函数的分布（1）Z =X +Y 的分布

设(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，则Z

X Y =+的分布函数为(){}Z F z P Z z =≤

(,)d d x y z

f x y x y +≤=

??(,)d d z y

f x y x y +∞

--∞

-∞

=??

，两边求导可得概率密度函数为：

()(,)d Z f z f z y y y +∞

-∞

=-?

，由于 X 与 Y 对称, ()(,)d Z f z f x z x x +∞

-∞

=-?

，当 X , Y

独立时, ()Z f z 也可表示为()()()d Z X Y f z f z y f y y +∞

-∞

=-?

，

或()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞

-∞

=-?

，称之为函数 f X ( z )与 f Y ( z)的卷积。

（2）max(,)M X Y =及min(,)N X Y =的分布

设X ,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则有：

max (){}F z P M z =≤{,}P X z Y z =≤≤{}{}P X z P Y z =≤≤()()X Y F z F z =， min (){}F z P N z =≤1{}P N z =->1{,}P X z Y z =->>1{}{}P X z P Y z =->?>

1[1{}][1{}]P X z P Y z =--≤?-≤1[1()][1()].X Y F z F z =--- 故有：max ()()()X Y F z F z F z =，min ()1[1()][1()]X Y F z F z F z =--- 推广：设12,,

,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为

()(1,2,

,)i X i F x i n =，则12max(,,,)n M X X X =及12min(,,,)n N X X X =的分布

函数分别为12max ()()()()n X X X F z F z F z F z =?，

12min ()1[1()][1()][1()].n X X X F z F z F z F z =----

若12,,

,n X X X 相互独立且具有相同的分布函数()F x ，则max ()[()]n F z F z =，

min ()1[1()].n F z F z =--

第4章随机变量的数字特征

一、随机变量的数学期望

1、离散型随机变量的数学期望

定义：设离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k , k =1,2,…，若级数

k k x

p ∞

=∑绝对收敛，

则称级数

k k x

p ∞

=∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ，即1

()k k k E X x p ∞

==∑。

2、连续型随机变量的数学期望

定义：设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分

()d x f x x +∞

-∞

绝对收敛，则称积分

()d x f x x +∞

-∞

的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X ，即()()d E X x f x x +∞-∞

。

数学期望的性质

（1）设C 是常数, 则有()E C C =；

（2）设X 是一个随机变量,C 是常数, 则有()()E CX CE X =；（3）设X , Y 是两个随机变量, 则有()()().E X Y E X E Y +=+；（4）设X , Y 是相互独立的随机变量, 则有()()()E XY E X E Y = 3、随机变量函数的数学期望

（1）离散型随机变量函数的数学期望若Y =g (X ), 且{}k k P X x p ==，1,2,k =，则有1

(())()k

k E g X g x p

∞

∑

（2）连续型随机变量函数的数学期望

若X 是连续型的,它的分布密度为f (x ) , 则(())()()d E g X g x f x x +∞

-∞

（3）二维随机变量函数的数学期望

设X , Y 为离散型随机变量，(,)g x y 为二元函数，则[(,)](,)i

E g X Y g x y p

=∑∑，其

中，(,)X Y 的联合概率分布为ij p ；

设X , Y 为连续型随机变量，(,)g x y 为二元函数，则

[(,)](,)(,)d d E g X Y g x y f x y x y +∞

+∞

-∞

，其中，(,)X Y 的联合概率分布为(,)f x y 。

二、随机变量的方差 1、随机变量方差的概念

定义:设X 是一个随机变量，若2

{

[()]}E X EX -存在，则称2

{[()]}E X E X -为X 的方差，

记为()D X 或Var()X ，即2

()Var(){[()]}D X X E X E X ==-为标准差或均方差，记为()σX 。 2、随机变量方差的计算

（1）利用定义计算

离散型随机变量的方差

()[()]k k k D X x E X p +∞

==-∑，其中{}k k P X x p ==，1,2,

k =是X 的分布律。

连续型随机变量的方差

2()[()]()d D X x E X f x x +∞

-∞

=-?，其中，()f x 是X 的概率密度。

（2）利用公式计算

22()()[()]D X E X E X =-

3、随机变量方差的性质

（1）设C 是常数, 则有()0.D C =；

（2）设X 是一个随机变量, C 是常数, 则有2

()()D CX C D X =；（3）()()()()2(())(())D X Y D X D Y E X E X Y E Y ±=+±--；特别地，设X , Y 相互独立, D (X ), D (Y )存在, 则()()()D X Y D X D Y ±=+；推广：若12,,

,n X X X 相互独立，则有

1212()()()()n n D X X X D X D X D X ±±±=++

（4）()0D X =的充要条件是X 以概率1取常数C ，即{}1P X C ==

4、重要概率分布的数学期望及方差（1）两点分布

则有：()10E X p q

=?+?p =，

22()()[()]D X E X E X =-22210(1)p p p =?+?--(1).p p =-

（2）二项分布

设随机变量 X 服从参数为n , p 二项分布,其分布律为：

{}(1),(0,1,2,

,)k n k n P X k p p k n k -??

==-= ???

，

()E X np =，()D X (1)np p =-

（3）泊松分布

设~π()X λ，且分布律为{}e !

k P X k k λλ-==

，0,1,2,k =，0λ>，则有：

()e

k E X k k λ

λ∞

-==?

∑1

(1)!k k k λ

λλ-∞

-==?-∑e

e λ

λλ-=?.λ=

参照二项分布的计算法可推得：()D X λ= （4）均匀分布

设~(,)X U a b ，其概率密度为1

,,()0,

a x

b f x b a

=-???其他，则有：

()()d E X xf x x ∞-∞

=?1d b

x x b a =-?1

=().2

a b + 结论：均匀分布的数学期望位于区间的中点

()()[()]D X E X E X =-2

1d 2b

a b x x b a +??=- ?-??

().12b a -= （5）指数分布

设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为e ,0,

()0,

0.x x f x x λλ-?>=?≤?其中0.λ>

则有：()()d E X xf x x +∞

-∞

e d x x x λλ+∞

-=??

e e d x

x x x λλ+∞

+∞--=-+?1

.λ

()()[()]D X E X E X =-220

e d x x x λλλ+∞

λλ=-

.λ=

随机信号分析期末总复习提纲重点知识点归

第一章 1.1不考条件部分不考 △雅柯比变换（随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质（一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??

第二章随机过程的时域分析 1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。（P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验概率第二章（一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率（二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量（三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量（四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数概率第三章二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

随机过程知识点汇总

第一章随机过程得基本概念与基本类型一.随机变量及其分布 1.随机变量, 分布函数离散型随机变量得概率分布用分布列分布函数连续型随机变量得概率分布用概率密度分布函数 2.n 维随机变量其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３.随机变量得数字特征数学期望:离散型随机变量连续型随机变量方差: 反映随机变量取值得离散程度协方差(两个随机变量): 相关系数(两个随机变量): 若,则称不相关。独立不相关４.特征函数离散连续重要性质:,,, ５.常见随机变量得分布列或概率密度、期望、方差０－１分布二项分布泊松分布均匀分布略正态分布指数分布６.Ｎ维正态随机变量得联合概率密度 )}()(2 1ex p{||)2(1 ),,,(121221a x B a x B x x x f T n n ---=-π ,,正定协方差阵二.随机过程得基本概念１.随机过程得一般定义设就是概率空间,就是给定得参数集,若对每个,都有一个随机变量与之对应,则称随机变量族就是上得随机过程。简记为。含义:随机过程就是随机现象得变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象得全部统计规律性。另一方面,它就是某种随机实验得结果,而实验出现得样本函数就是随机得。当固定时,就是随机变量。当固定时,时普通函数,称为随机过程得一个样本函数或轨道。分类:根据参数集与状态空间就是否可列,分四类。也可以根据之间得概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等。２.随机过程得分布律与数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程得统计规律性。随机过程得一维分布,二维分布,…,维分布得全体称为有限维分布函数族。随机过程得有限维分布函数族就是随机过程概率特征得完整描述。在实际中,要知道随机过程得全部有限维分布函数族就是不可能得,因此用某些统计特征来取代。 (１)均值函数表示随机过程在时刻得平均值。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑，分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强；六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

概率论知识点总结

概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。定义6：逆事件/对立事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

通信原理知识点归纳

1.2.1 通信系统的一般模型 1.2.3 数字通信的特点 (1) 抗干扰能力强，且噪声不积累 (2) 传输差错可控 (3) 便于处理、变换、存储，将来自不同信源的信号综合到一起传输 (4) 易于集成，使通信设备微型化，重量轻 (5) 易于加密处理，且保密性好 1.3.1 通信系统的分类按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统。调制传输系统又分为多种调制，详见书中表1-1。按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统 3.1.2 随机过程的数字特征均值（数学期望）：方差：相关函数 3.2.1 平稳随机过程的定义（1）其均值与t 无关，为常数a ；（2）自相关函数只与时间间隔τ 有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 3.2.2 各态历经性如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。 3.2.4 平稳过程的功率谱密度非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 []∫∞∞?=dx t x xf t E ),()(1ξ} {2)]()([)]([t a t E t D ?=ξξ2121212212121),;,()] ()([),(dx dx t t x x f x x t t E t t R ∫∫ ∞∞?∞∞?==ξξ???==)()(τR R a a ∫∫ ∞ ∞?∞∞??==ω ωπτττωωτξωτξd e P R d e R P j j )(21)()()(

3.3.2 重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。 3.3.3 高斯随机变量（1）f (x )对称于直线 x = a ，即（2） 3.4 平稳随机过程通过线性系统输出过程ξo (t )的均值: 输出过程ξo (t )的自相关函数：输出过程ξo (t )的功率谱密度: 若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 3.5 窄带随机过程若随机过程ξ(t )的谱密度集中在中心频率f c 附近相对窄的频带范围Δf 内，即满足Δf << f c 的条件，且 f c 远离零频率，则称该ξ(t )为窄带随机过程。 3.7 高斯白噪声和带限白噪声白噪声n (t ) 定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声－双边功率谱密度－单边功率谱密度 4.1 无线信道电磁波的分类：地波：频率 < 2 MHz ；距离：数百或数千千米天波：频率：2 ~ 30 MHz ；一次反射距离：< 4000 km 视线传播：频率 > 30 MHz ；距离: 4.3.2 编码信道模型 P(0 / 0)和P(1 / 1) －正确转移概率，P(1/ 0)和P(0 / 1) －错误转移概率 P (0 / 0) = 1 – P (1 / 0) P (1 / 1) = 1 – P (0 / 1) 2)(0 n f P n =)(+∞<

概率论与随机过程题集

第二章概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk

2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。证明：由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j)

随机过程知识点

第一章:预备知识 §1、1 概率空间随机试验,样本空间记为Ω。定义1、1 设Ω就是一个集合,F 就是Ω的某些子集组成的集合族。如果 (1)∈ΩF; (2)∈A 若F ,∈Ω=A A \则F; (3)若∈n A F , ，，21=n ,则 ∞=∈1n n A F; 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间,F 中的元素称为事件。由定义易知: . 216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（；则若（；定义1、2 设(Ω,F )就是可测空间,P(·)就是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞ =∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 就是()F ,Ω上的概率,(P F ，，Ω)称为概率空间,P(A)为事件A 的概率。定义1、3 设(P F ，，Ω)就是概率空间,F G ?,如果对任意 G A A A n ∈,,,21 , ,2,1=n 有: (),1 1∏===???? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1、2 随机变量及其分布随机变量X ,分布函数)(x F ,n 维随机变量或n 维随机向量,联合分布函数,{}T t X t ∈,就是独立的。 §1、3随机变量的数字特征定义1、7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,若?∞ ∞-∞<)(||x dF x ,则称 )(X E ＝?∞ ∞-)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。方差,()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差,而 DY DX B XY XY = ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 (Schwarz 不等式)若,,22∞<∞

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。（10）测量一汽车通过给定点的速度。（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。（2） A 与B 都发生，而C 不发生。（3） A ，B ，C 都发生。（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。（5） A ，B ，C 都不发生。（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

概率论知识点总结

概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量连续型随机变量方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）：相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。独立不相关４．特征函数离散连续重要性质：，，，５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布二项分布泊松分布均匀分布略正态分布指数分布６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。（２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。（３）协方差函数且有（４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

《概率论与随机过程》第1章习题

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1）在第5次测试发现。（2）在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品。（2）二只都是次品。（3）一只是正品，一只是次品。（4）第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111）从0~9中随机取一行一列然后初方向随机（上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布 1．随机变量X ，分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 ) (k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ= 其联合分布函数) ,,,,(),,,()(2211 2 1 n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤==ΛΛ 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 22 )() (EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量Y X ,）： EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）： DY DX B XY XY ?= ρ 若 0=ρ，则称Y X ,不相关。独立?不相关?0=ρ

４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ =EX λ =DX 均匀分布略正态分布),(2 σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2 σ=DX 指数分布 ?? ?<≥=-0, 00,)(x x e x f x λλ λ 1 = EX 2 1 λ = DX ６．Ｎ维正态随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ=的联合概率密度 ),(~B a N X )} ()(2 1 ex p{| |)2(1),,,(12 12 21a x B a x B x x x f T n n ---= -πΛ ) ,,,(21n a a a a Λ=，),,,(2 1 n x x x x Λ=，n n ij b B ?=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设) , (P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量

概率统计与随机过程复习提纲

概率统计与随机过程课程编号：H0600071S学分： 4 开课学院：理学院课内学时：64 课程类别：学科基础课课程性质：必修一、课程的性质和目的课程性质：本课程是我校有关专业的学科基础课目的：通过本课程的学习，使学生系统地掌握概率论、数理统计和随机过程的基本理论和基本方法，为后续各专业基础课和专业课的学习提供必要的数学理论基础。另外，通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，从而逐步培养学生的创新思维能力和创新精神。二、课程教学内容及基本要求（一）课程教学内容及知识模块顺序第一章概率论的基本概念 8学时（1）随机试验（2）样本空间、随机事件（3）频率与概率（4）等可能概型（古典概型）（5）条件概率（6）独立性教学基本要求：了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算。了解事件频率的概念，理解概率的统计定义。了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。了解概率的公理化定义，熟练掌握概率的基本性质，会运用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题。理解事件的独立性概念。理解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法。第二章随机变量及其分布 6 学时（1）随机变量（2）离散型随机变量及其分布律（3）随机变量的分布函数（4）连续型随机变量及其概率密度（5）随机变量的函数的分布教学基本要求：理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。理解离散型随机变量及其分布律的概念，熟练掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，熟练掌握正态分布、均匀分布和指数分布。会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布。

概率统计与随机过程 知识点总结--最终版

随机信号分析期末总复习提纲重点知识点归

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