泊松过程的应用

应用随机过程课程论文

题目:浅谈泊松过程及其应用

姓名:

学院:理学院

学号:

2013年7月1 日

浅谈泊松过程及其应用

摘要： 本文论述了泊松过程的有关定义，并对其进行相应的推广，阐述了时齐泊松过程、非时齐泊松过程、复合泊松过程以及条件泊松过程，从中很容易看出它们之间的联系。同时，本文也在排队论、数控机床可靠性、保险、航空备件需求上简单描述了泊松过程的应用。另外，泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中也有着广泛的应用。

关键词：泊松过程；复合泊松过程；排队论

一、泊松过程

1．时齐泊松过程

定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：

（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;

（2） 它是独立增量过程;

（3） 0,0,,()()s t k N s t N s ?≥∈+-是参数为t λ的泊松分布，即

{}()()().!

k

t t P N t s N t k e k λλ-+-== 则称此随机过程为时齐泊松过程。

2．非时齐泊松过程

定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：

（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;

（2） 它是独立增量过程;

（3） 0,0,,s t k ?≥∈满足{}()()[()()]()().!

k

m s m s t m s t m s P N t s N t k e k -++-+-==其中 0()()t

m t s ds λ=?，则称此随机过程为具有强度函数为{}(t)>0λ的非时齐泊松过程。 3．复合泊松过程

定义：设{},1i Y i ≥是独立同分布的随机变量序列，{}(),0N t t ≥为泊松过程，

且{}(),0N t t ≥与{},1i Y i ≥独立，记()

1()N t i i X t Y ==∑，则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程。

4．条件泊松过程

定义：设Λ为一正的随机变量，分布函数为(),0G x x ≥，当给定λΛ=的条件下，{}(),0N t t ≥是一个为泊松过程，即0,0,,0s t k λ?≥∈≥， 有{}()()().!

k

t t P N t s N t k e k λλλ-+-=Λ== 则称{}(),0N t t ≥是条件泊松过程。 注：这里{}(),0N t t ≥不再是增量独立的过程，由全概率公式，可得

{}0()()()().!

k t t P N t s N t k e dG k λλλ∞

-+-==?

二、泊松过程的部分应用

泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。下面就谈谈部分的应用。

1．时齐泊松过程在排队论中的应用

泊松过程在排队论中应用很广泛，下面就一个例子来简单说明下：假设顾客到达服务站的人数服从强度为λ的泊松过程, 到达的顾客很快就可以接受服务, 并且假设服务时间是独立的并且服从一个普通的分布, 记为G 。为了计算在时刻t 已完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布, 把在时刻t 完成服务的顾客称为第一类, 在时刻t 未完成服务的顾客称为第二类顾客, 现在如果第一个顾客到来的时间为S , S t ≤, 如果他的服务 时间少于t s -, 那么他就是第一类顾客, 并且因为服务时间服从G 分布, 所以服务时间少于t s -的概率为()G t s -。因而, ()();.P s G t s S t =-≤ 设()i N t 表示的是到时间t 为止发生的第i 类事件的数量12(1,2),(),()i N t N t =分别表示的是参数为tp λ和(1)t p λ-的独立泊松随机变量。利用齐次泊松过程分解定理。我们得到1()N t 2,()N t 的分布。到时间t 为止, 已完成服务和仍然在接受服务的顾客的数目都服从泊松分布, 可利用期望算出参数值。 2. 非时齐泊松过程在数控机床可靠性的应用

基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下，构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计，得到了该模型的可靠性指标。以6台加工中心的现场数据为例，建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。

3. 非时齐泊松过程在航空备件需求的应用

在应用非齐次泊松过程计算航空备件需求量时, 需要假设：1、航空设备的故障为系列随机点；2、故障后用备用件替换；3、当设备为可修件时, 维修方式为最小维修( 修复如旧)；4、计算更换复杂系统的故障次数, 该系统满足更换新件但不影响系统故障特性。这时, 备件需求量可采用随机点过程中的非齐次泊松过程, 利用该方法不仅可以进行故障发生时间点以及时间间隔模拟, 而且可以计算一定时间内故障次数的期望。

对于维修方式为最小维修的可修件来说, 应用非齐次泊松过程不仅可以预测备件的需求量而且还可以预计下次故障的时间期望, 在这些方面, 非齐次泊松过程适宜应

用于这类备件需求分析和决策。同时针对故障率随时间变化的特点将非齐次泊松过程应用到特定的航空装备故障预测和需求量的计算上, 精度得到很大提高。

4. 复合泊松过程在人寿保险问题中的应用

设()N t 表示在时间区间(]0,t 内死亡的“保险单持有者”的人数, 由于{}(),0N t t ≥服从参数为λ的负指数分布的更新计数过程, 故随机过程{}(),0N t t ≥为时齐泊松过程。 同时, 若()W t 表示保险公司在时间区间(]0,t 内, 对所有“持保险单”的死亡者支付的总金额, 而k ξ表示第k 个保险单持有者, 在k τ时刻死亡时, 总共向保险公司索取的保险金, 显然{},1,2,3k k ξ=是随机序列, 且有以下关系式成立:

()123()1()(1)

N t N t k

k W t t ξξξξξ==++++=≥∑

又123(),,,,N t ξξξξ是相互独立的随机序列, 但不论哪一个“保险单持有者”死亡时,

总共向保险公司索取的保险金额分别为123(),,,

,N t ξξξξ等, 都必须服从同一个概率密度分布函数()f s ξ( 其中s 为“保险单持有者”终生领取保险金的时间间隔)，总之:

123(),,,,N t ξξξξ是相互独立, 同分布的随机序列。又因为保险公司支付给某死亡者的款数k ξ,与当时对应的第()N t 个死亡者无关, 故可认为:{},1,2,3

k k ξ=与{}(),0N t t ≥也是

相互独立。 综上所述,人寿保险过程{}(),0W t t ≥属于复合泊松过程的范畴。

可由上面的结论，计算出()W t 的数字特征。

（1）()W t 的特征函数 ()()exp((()1))W t v t v ξ?λ?=-

说明保险公司支付的总金额()W t 的特征函数与每一个“保险单持有者”死亡时一共所索取的保险金额ξ的特征函数有关。

（2）()W t 的数学期望 {}()()E W t tE λξ=

说明{}(),0W t t ≥是非稳恒过程, 其均值{}()E W t 随时间t 而随机变化, 有一定的风险性。{}()E W t 与()tE ξ成正比，比例常数为泊松流强度λ。

（3）()W t 的方差 {}2()()Var W t tE λξ=

说明{}()Var W t 与2()tE ξ成正比，比例常数为泊松流强度λ。{}()Var W t 显示了随机变量()W t 在人寿保险过程中的一切可能之值在其均值{}()E W t 周围的分散程度，2()E ξ越大，t 越长，则()W t 也越分散,{}()Var W t 之值越小越好, 否则在(]0,t 漫长的岁月里, 公司所支付的总金额()W t , 涨落起伏变化较大, 不好进行宏观调控, 所以一般而言, 所历时间取三年或五年为一次单位结算为宜。而ξ概率密度分布函数()f s ξ可用负指数分布

模拟。

另外，复合泊松过程也具有复合泊松分布的可加性。在多险种风险模型中, 由于索赔过程的复杂化, 使得在经典风险模型中的一些较好的结论,如破产概率的渐进性、上界、破产瞬间盈余分布等难以在新的模型中得到类似证明。这样可以把两个复合泊松过程描述的索赔过程化简为一个复合泊松过程描述的索赔过程。

对于复合泊松过程来说，如果λ较大，可以用正态过程近似，就可以运用正态过程的很多特性, 从而更好的解决问题。

5. 复合泊松过程在系统损伤模型中的应用

在工程实际中, 许多设备系统在其工作环境中往往会承受到各种冲击损伤。显然, 系统每次承受冲击而造成的损伤是不同的, 它是一个随机变量. 并且根据实际问题, 在大多数情况下可以认为每次冲击引起的系统损伤程度是独立同分布的。 另外, 各次冲击引起系统的损伤有累积的效应, 即冲击引起的系统损伤是可以叠加的。为了建立系统的冲击模型, 做出如下假设: 设(]0,t 时间内系统受到冲击的次数()X t 形成参数为K 的泊松过程, 且第n 次冲击造成的损害为n X , 并设(1,2)n X n =相互独立, 且服从均值为μ的指数分布。设损害会累加, 且当损害超过一定极限A 时, 系统将停止运行。由于系统在t 时的损伤()Y t 是时间(]0,t 内的累积损伤, 根据上面的假设和记号, 可以知道

()

1()X t n n Y t X ==∑, 故{}(),0Y t t ≥为复合泊松过程。

参考文献：

[1] 林元烈.应用随机过程[M].清华大学出版社,2002.11.

[2] 王东升,刘玉堂.泊松过程在排队论中的应用 [J].河南机电离等专科学校学报,2007,15(4).

[3] 许彬彬等.非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模[J]. 吉林大学学报（工学版）,2011,41.

[4] 陈凤腾等.基于非齐次泊松过程的航空备件需求研究和应用[J].系统工程与电子技术,2007, 29(9).

[5] 张雅清等. 复合泊松过程在系统可靠性中的应用[J].河南师范大学报,2007,35(1).

[6] 魏艳华等. 复合泊松过程性质及其应用[J]. 宜宾学院学报,2009,12(9).

[7] 卢学源.复合泊松过程在人寿保险问题中的应用[J]. 北京广播学院学报.1999. 2.

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！